选修22生活中的优化问题举例.docx

1、选修22生活中的优化问题举例1.4生活中的优化问题举例预习案一新知导学1.问题导航生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？(2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3)求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？2.例题导读通过P3435例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容:(1)研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2)求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解；(3)解决优化问题的过程是典型的数学建模过程；(4)掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.1.优化问题生活中经常遇到的求利润最大、 用料最省、效率最高等问题， 通常称为优化问题， 导数是求函

2、数最大(小)值的有力工具.2.利用导数解决优化问题的基本思路建立数学模型 解决数学模型作答 3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变 量之间的函数关系 y= f(x),注明定义域;(2)求函数的导数f刈，解方程fx) = 0;(3)比较函数在区间端点和使 f x)= 0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值;(4)写出答案.1下列不属于优化问题的是 ( )A 汽油的使用效率何时最高B .磁盘的最大存储量问题C.求某长方体容器的容积D .饮料瓶大小对饮料公司利润的影响答案：C2.有一长为16 m的篱笆，要围

3、成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为A . 32 m2 B. 14 m2C. 16 m2 D. 18 m2解析：选C.设矩形的长为x m,则宽为(8-x)m，矩形面积为S= x(8 x)(x0)，令S= 8 2x = 0,得 x= 4，此时 Smax = 42= 16(m2).3. 内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为 ( )a.233rC.R解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为 2h,则底面半径为 R2- h2,圆柱体体积为 V=n (R2h2) 2h = 2 TtR2h- 2冗h3令V = 2 %R2-6冗h2 = 0,h =中只即当2h= 2JR时，圆柱体的体积最大.1OO

4、Ov24.一艘船从A地到B地，其燃料费 w与船速v的关系为w(v)= (18W vW 30),v 8则燃料费最低时的船速 v = .2000v (v 8) 1 000v2 1 000v (v 16)解析：w v(= 2 = 2一 0,所以 w(v)在18, 30上(v 8) 2 (v 8) 2单调递增，所以当 v= 18时，w(v)有最小值.答案：181.解决优化问题的常用方法解决优化问题的方法很多，如： 判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数 的性质及导数法等. 不少优化问题，可以化为求函数的最值问题. 一般来说，导数方法是解 决这类问题的有效工具.2.解决生活中的优化问题应当注意

5、的问题几何中的最值问题卩越(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S,要使它的容积最大，它的高 h与底面半径R的比应为 . S 2 冗 R2解析因为S= 2冗Rh+ 2冗R2，所以h =2冗RS 2 TtR2所以 V(R)= ttR2,2冗R=2(S- 2 ttR2)R= 1SR-n R3.1由 VR)= 2S- 3%R2= 0,得 S= 6 冗R2,所以当S= 6冗R2时，容积最大，此时6冗R2= 2冗Rh+ 2冗R2即 h : R= 2 : 1.答案2 : 1请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，

6、使得 A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE= FB = x(cm).1某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问x应取何值？2某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底a = 2x，h =60 -22x= .；2面边长的比值.解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得, (30 x)，0x/2x(20 x). 由V= 0，得x= 0(舍去)或x= 20.当 x (0，20)时，V0;当 x (20，30)时，V0.所以当x

7、= 20时，V取得极大值，也是最大值.h 1 一 1此时匚=亍，即包装盒的高与底面边长的比值为a 2 2r -(.方怙用： r解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数， 结合 实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.11.(1)如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y= x2 + 2, x 1的坐标为(0, 2)，直线BC的方程为y= 2因为y=空/+ 2,所以y= x,所以yx斗t= t,1 2所以直线 AB的方程为y 2t2 + 2 = t(x t),1即 y = tx + 尹+ 2,令 y= 0,得x=于，所以At2 + 42t ，1

8、1令 y = 2,得 x= 1，所以 B t，2 ,1 1 t2 + 4 4 4所以 S= 2X 尹+ - x 2 x 2= 2t + 4, S=2 12,令S= 0，得t = 2故当t= .2时，S有最小值为4,：2.所以梯形ABCD的面积的最小值为 4J2.(2)从长为32 cm ,宽为20 cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形， 做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为 x cm，则箱子的容积 V(x)= x(32 2x)(20 2x)= 4x3 104*+ 640x, (0x10)V(x) = 12x2 208x+

9、640=4(3x2 52x+ 160)=4(3x 40)(x 4).40令 V x)= 0，得 X1= (舍去),x2= 4.当 0x0,当 4x10 时，V(x)0 , 所以V(x)在(0, 4)内为增函数, 在(4, 10)内为减函数.因此V(x)在(0, 10)内有唯一的极大值 V(4)，且该极大值即为函数V(x)的最大值，其最大值 V(4)= 4 X (32 8) X (20 8) = 1 152(cm3).故当剪去的正方形边长为 4cm时，箱子的容积最大，最大容积为1 152 cm3.用料、费用最省问题A处，乙厂与甲厂在忖巴 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边海的同

10、侧，乙厂位于离海岸 40 km的B处，乙厂到海岸的垂足 D与A相距50 km.两厂要在 此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米 3a元和5a解 法一：设 C 点距 D 点 x km(0x50)，贝U BD = 40 km , AC= (50 x)km , BC = BD2+ CD2= 402+ x2(km).又设总的水管费用为 y元，依题意，得 y= 3a(50 x) + 5a x2+ 402(0x50).= -3a+5ax,x2+ 402，令 y= 0，解得 x= 30.当 x (0, 30)时，y0.当x= 30时函数取得最小值，此时 AC = 50- x

11、= 20(km).即供水站建在 A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.40法二：设/ BCD = 0,贝U BC=,sin 0设总的水管费用为f( 0元,40 40依题意有 f( 0) = 3a(50 ) + 5a tan 0 sin 05 3cos 0 =150a+ 40a sin 03sin 0sin 0( 5 3cos 0) cos 00) = 40a - sin203 5cos 0=40a sin2 03 令 f 0 = 0，得 cos 0= 5.3根据问题的实际意义，当 cos 0= 3时，函数取得最小值，44此时 sin 0= .tan 0=.5340.AC = 50 =

12、 20(km).tan 0即供水站建在 A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.r 盘哇用佛法二取 / BCD = 0(1)选取合适的量作为自变量 (如法一取C、D之间的距离x为自变量， 为自变量)，并确定其取值范围.正确列出函数关系式；(3)利用导数求最值；回归到原实际问题.其中，正确列出函数关系式是解题的关键.2.左右边各空 b cm，(1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm2, 上、下边各空a cm， 若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为 X，则宽为S，报刊的面积为y，如图所示x小 Sc 2bS则 y = (x + 2b) x+ 2a =

13、2ax+ + S+ 4ab(x0),x x求导得y = 2a-2bS.x学或x 罟(舍去)冒,+ , y 0,当x=.乎时，y取得最小值.即报刊长为 bS+ 2b，宽为2a时，报刊用纸最省.(2)某单位用2 160万元购得一块空地， 计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层2 000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x 10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560 +48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用、 建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则f(

14、x)= (560 + 48x) + 160爲00 000厶 UUUA.10 800 *=560+ 48x+ (x 10, x N ),x10 800 f(x)= 48-旷,令 f x) = 0，得 x = 15 或 x=- 15(舍去),当 x15 时，f (x)0 ;当 10W x15 时，f(x)0,因此当x= 15时，f(x)取最小值f(15)= 2 000.15层.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为2 2f(x)= (x 3) + 10( x 6)X 3=2+ 10(x 3)(x 6)2(3x0),已知生产此产品的年固定投入为x+ 13万元，每生产 1万件此产品需再投

15、入 32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的150% ”与“年平均每件所占广告费的 50% ”之和.(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企 业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解: (1)由题意，每年销售Q万件，共计成本为(32Q + 3)万元，销售收入是(32Q + 3) 150%+ x 50%,11 3x+1所以年利润y=(年收入)(年成本)(年广告费)=(32Q+ 3 x) = 32X + 3 x22 x+1x + 98x+ 35 (x 0)，当x = 100时，y 0)，可得:(x+ 1) (-2x+

16、98) (x+ 1) 2 (- x2+ 98x+ 35)令 fx) = 0，则 x2 + 2x 63= 0.所以x= 9(舍去)或x= 7.又 x (0, 7)时，f(x)0; x (7,+)时，f(x)0)；固定部分为a元.(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？S s解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 V，全程运输成本为 y= a； +2 S abv2 v= S(v+ bv),c.所求函数及其定义域为 y = Sa + bv，v (0，令 y= S + b = 0，得 v= : b

17、， y最小;若，ac，则 v (0，c时 y( c时，行驶速度v= c.错因与防范(1) 一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解错误；另一方面由于忽视了对 v=b是否在区间(0, c内的讨论，致使答案错误.在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且注意自变量的取值范围. 根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内， 易因忽视定义域而出错.4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交a元(3 a 5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9 xw 11)时，一年的销售量为(12 x)2万件.(1)

18、求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时， 分公司一年的利润 L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式为：L = (x 3 a)(12x)2, x 9, 11 (2)由(1)知 L = (x 3 a)(12 x)2, x 9 , 11,贝U L= (12 x)2 2(x 3 a)(12 x)=(12 x)(18 + 2a 3x) 2令L= 0解得x= 6 + 或x= 12(舍去)2 283w aw 5,.8w 6 + 3aw .2在x = 6+ 两侧L的值由正变负，2 9当8

19、w6+尹9，即3wa-时，Lmax = L(9) = (9 3 a)(12 9)2 = 9(6 a) 2 28 9当9W 6+ |aw詈，即2w aw 5时，2 2 2 2 Lmax = L(6 + 尹)=(6 + 3a 3 a)12 (6 + ?a)21 3=4(3 a)3,9(6 a) , 3 w a0)，为使利润最大，应生产 ( )A 9千台 B 8千台C. 6千台 D 3千台解析：选 C.构造利润函数 y= y1 y2= 18/ 2x3(x0)，求导得 y= 36x 6x2= 0? x= 6(x=0舍去)2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27 n且用料最省，则圆柱的底面半径

20、为 ( )A 5C. 3解析：选C.设圆柱的底面半径为则 V=nR2l = 27n,/l = RL要使用料最省，只需使水桶的表面积最小,2 2 54 n而S表=冗氏+ 2冗Rl =nR +解得R= 3，即当R= 3时，S表最小.故选C.54 n令 Sbl= 2 冗R眉=0,3.如图，内接于抛物线x轴上运动，则此矩形的面积x 2矩形 ABCD 的面积 S= f(x)= x I 23x 厂=4 + x, x (0, 2). 由 f x)=孑/ + 1= 0,2 2 得 x1= 3(舍去)，x2= .3,一 2 .3当 x 0,273 时，f(x)0, f(x)是递增的,2时，f(x)0, f(x)

21、是递减的, ,f(x)取得最大值誓.答案：骨训练案仙能提升A.基础达标1. 将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为 ( )A . 2 和 6 B. 4 和 4C. 3和5 D .以上都不对解析：选B.设一个数为x,则另一个数为 8 x,贝U y= x3 + (8 x)3, 0 x 8, y=3x23(8 x)2,令 y= 0,即 3/ 3(8 x)2= 0，解得 x= 4当 0W x4 时，y0;当 40. 当x= 4时，y最小.32. 设函数ht(x)= 3tx 2t2，若有且仅有一个正实数 x,使得h7(x。)ht(x)对任意的正数t都成立，则X0=( )A. 5 B. 5C. 3

22、 D. 7解析：选D. h7(x0) ht(x0)对任意的正数t都成立，3 1hi7(x0) ht(X0)max.记 g(t) = ht(X0)= 3tX0 2，则 g t(= 3X0 3t2，令 g tx= 0,得 t= x0,易 得ht(X0)max= g(X0) = x0,21x0 14.7 X3，将选项代入检验可知选 D.3.要建造一个容积为 8 m3，深为2 m的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为 100元/m,池底的造价为300元/m2,则总造价最低为( )A . 400 元 B. 1 200 元C. 1 600 元 D . 2 800 元解析：选D.设总造价为y元，池底的一边长为

23、 x m.由题意知池底的面积为 4 m2,则池4 4 4 4底的另一边长为；m,池壁的面积为 4 x+ - m2, 有 y= 1 200 + 100X 4 x + - = 400 x + - + 1x4200(x0). y= 400 1 x2，令 y= 0,得 x= 2，由 y 0得 x2，由 y 0得 0x0).由 L (x)= 新+破=0,得 x= 25.令 L x)0,得 0x25 ;令 L x)25 ,得L(x)在区间(0, 25)上单调递增，在区间(25,+ a)上单调递减，所以当 x= 25时，总利润 最高.答案：257.某工厂要围建一个面积为 512 m2的矩形堆料场，其中一边可

24、以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为 .解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短， 设堆料场地宽为x m,则长为512 m ,x512 512因此新墙总长为 L = 2x+ -x(x0)，贝U L = 2 5x2，令 L = 0,得 x= 16,又 x0 ,.x= 16,512则当 x= 16 时，Lmin= 64,长为 16 = 32 (m).答案：32 m, 16 m&已知正三角形 ABC的边长为2,点D是边BC上一动点，点 D到AB, AC的距离分 别为x, y,则xy的最大值为 .(1)求全程运输成本 Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值. 解：(1)Q= P 400=盘v4-