高考数学考前回归基础训练题不等式与数列交汇.docx

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高考数学考前回归基础训练题不等式与数列交汇

高考数学考前回归基础训练题——不等式与数列交汇

1.数列是以为首项，为公比的等比数列．令，

，．

（1）试用、表示和；

（2）若，且，试比较与的大小；

（3）是否存在实数对，其中，使成等比数列．若存在，求出实数对和；若不存在，请说明理由．

2.已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x<0时，f（x）>1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），

（Ⅰ）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；

　（Ⅱ）数列{an}满足,

①求通项公式an的表达式；

②令，

试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.

3.设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有

（Ⅰ）求,判断并证明函数的单调性；

（Ⅱ）数列满足,且

①求通项公式。

②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。

4.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（），其中xn为正实数.

（Ⅰ）用表示xn+1；

（Ⅱ）若=4，记an=lg，证明数列成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

5.已知函数的图象经过点A（1，1），B（2，3）及C（，为数列的前项和．

（１）求和；

（２）若数列满足，求数列的前项和；

（３）比较2与的大小．

6.已知，P1（x1,y1）、P2（x2,y2）是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是。

（1）求证：

点P的纵坐标是定值；

（2）若数列的通项公式是…m），求数列的前m项和Sm；

（3）在

（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

7.已知函数横坐标为的点P满足，

（1）求证：

为定值。

（2）若

（3）、已知其中n∈N*,Tn为数列的前n项和，若Tn

8.设函数

.对于正项数列，其前

（1）求实数

（2）求数列的通项公式

（3）若大小，并说明理由。

9.已知函数同时满足：

不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为

（1）求数列的通项公式；

（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数

10.已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以为方向向量的直线上．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，问是否存在，使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）证明不等式：

，，……

参考答案

1.解：

（1）当时，，

当时，

所以

；

（2）因为，

所以

当时，，

当时，，

所以当，且时，，即；

（3）因为，，所以，

因为为等比数列，则或，

所以或（舍去），所以.

2.解：

（I）由题意，令y=0，x<0，得f（x）[1－f（0）]=0，∵x<0时，f（x）>1.

∴1－f（0）=0.f（0）=1.

适合题意的f（x）的一个解析式为f（x）=（）x.

（II）①由递推关系知f（an+1）·f（－2－an）=1，即f（an+1－2－an）=f（0）.

∵f（x）的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），

又a1=1，故an=2n－1.

②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+（）3+…+（）2n－1

欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小.

由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.

下用数学归纳法证明

（i）当n=1时，41>2×1+1成立

（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1

当n=k+1时，4k+1=4×4k>4（2k+1）=8k+4=2（k+1）+1+6k+1>2（k+1）+1，

说明当n=k+1时命题也成立.

由（i）（ii）可知，4n>2n+1对于n∈N*都成立.

故Sn>.

注：

证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，

如：

4n=（1+3）n=1+

3.解：

（Ⅰ）时，f（x）＞1

令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1

∴f（0）=1

若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故

故x∈Rf（x）＞0

任取x1＜x2

故f（x）在R上减函数

（Ⅱ）①由f（x）单调性

an+1=an+2故{an}等差数列

②

是递增数列

当n≥2时，

即

而a＞1，∴x＞1

故x的取值范围（1，+∞）

4.解：

（Ⅰ）由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：

．

即．

令，得．即．显然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

从而，即．所以，数列成等比数列．

故．即．

从而所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴∴

当时，显然．

当时，

∴．

　　　综上，．

5.解：

①

②设

相减得：

③

当时，当时，当≥3时，

下面证明

（1）当时，，显然成立；

（2）假设当≥3时，不等式成立，即

则当时，

这说明当时，不等式成立.由

（1）

（2）可知，当≥3时，

6.解：

（1）由知，x1+x2=1，则

故点P的纵坐标是，为定值。

（2）已知…+…

又……

二式相加，得

…

因为…m-1），故，

又，从而。

（3）由得…①对恒成立。

显然，a≠0，

（ⅰ）当a<0时，由得。

而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；

（ⅱ）当a>0时，因为，则由式①得，

又随m的增大而减小，所以，当m=1时，有最大值，故。

7.

（1）证：

由已知可得，

（1）由

（1）知当时，

（2）解：

当

8.解：

（1）∵

不论为何实数恒有

即对

∴

（2）∵

∴

∴∵a>0∴

∴是首项为a，公差为2的等数列

由

∴∴

（3）∵

∴

9.解：

（1）由的解集有且只有一个元素知

或

当时，函数在上递增，此时不满足条件

综上可知

（2）由条件可知

当时，令或

所以或

又时，也有

综上可得数列的变号数为3

10.解：

（1）将点代入得

因为直线，所以

（2），

当为偶数时，为奇数，

当为奇数时，为偶数，（舍去）

综上，存在唯一的符合条件

（3）证明不等式即证明

成立，下面用数学归纳法证明

当时，不等式左边=，原不等式显然成立

假设时，原不等式成立，即

当时

=

，即时，原不等式也成立

根据所得，原不等式对一切自然数都成立