选修23第二章随机变量及其分布测试题.docx
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选修23第二章随机变量及其分布测试题
随机变量及其分布测试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
2．已知随机变量X满足D（X）＝2，则D（3X＋2）＝（ ）
A．2 B．8 C．18 D．20
3．设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和
，则n、p的值分别是（ ）
A．50，
B．60，
C．50，
D．60，
.
4．某次语文考试中考生的分数X～N（90,100），则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是（ ）
A．68.26%B．95.44%C．99.74%D．31.74%
5．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小
Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
6．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ）
A．0.9B．0.2C．0.7D．0.5
8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是
的事件为（ ）
A．恰有1只是坏的B．4只全是好的
C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的
9．若X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝
，P（X＝x2）＝
，且x1＜x2.又已知E（X）＝
，D（X）＝
，则x1＋x2的值为（ ）
A.
B.
C.
D．3
10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是（ ）
自然状况
A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
－20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
－10
A.A1B．A2C．A3D．A4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）
11．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E（X）＝________.
12．一离散型随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
且E（X）＝1.5，则a－b＝________.
13．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望（均值）E（ξ）________（结果用最简分数表示）
14.在高三某个班中，有
的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B
，则P（X＝k）＝C
k·
5－k取最大值时k的值为________
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）＝
；
②P（B|A1）＝
；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．
17．（本题满分12分）9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（3）求有坑需要补种的概率（精确到0.001）．
18．（本题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．
19．（本题满分12分）（2010·浙江杭州高二检测）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（3）设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．
20.（本题满分13分）坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
（1）第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；
（2）第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
（3）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
21．（本题满分14分）（2010·山东理，20）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为
，
，
，
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
参考答案
一、选择题：
1、D2、C3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、C
二、填空题：
11、
12、013、
14、115、②④
三、解答题：
16.[解析] 取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差，可先求X的分布列．
P（X＝1）＝
＝0.2，
P（X＝2）＝
×
＝0.2，
P（X＝3）＝
×
×
＝0.2，
P（X＝4）＝
×
×
×
＝0.2，
P（X＝5）＝
×
×
×
×
＝0.2.
于是，我们得到随机变量X的分布列
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由随机变量的均值和方差的定义可求得：
E（X）＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2
＝0.2×（1＋2＋3＋4＋5）＝3，
D（X）＝（1－3）2×0.2＋（2－3）2×0.2＋（3－3）2×0.2＋（4－3）2×0.2＋（5－3）2×0.2＝0.2×（22＋12＋02＋12＋22）＝2.
17.[解析]
（1）因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为（1－0.5）3＝
，
所以甲坑不需要补种的概率为1－
＝
＝0.875.
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
C
×
×
2≈0.041.
（3）因为3个坑都不需要补种的概率为
3，所以有坑需要补种的概率为1－
3≈0.330.
18.[解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.
Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
P（E）＝P（A1·
·
）＋P（
·A2·
）＋P（
·
·A3）＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.
Ⅱ.解法一：
因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B（3,0.3），故E（X）＝np＝3×0.3＝0.9.
解法二：
分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则
P（A）＝P（B）＝P（C）＝0.3，
所以P（X＝0）＝（1－0.3）3＝0.343，
P（X＝1）＝3×（1－0.3）2×0.3＝0.441，
P（X＝2）＝3×0.32×0.7＝0.189，
P（X＝3）＝0.33＝0.027.
于是，E（X）＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.
19.[解析]
（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P（EA）＝
＝
.
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
.
（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P（E）＝
＝
.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（
）＝1－P（E）＝
.
（3）随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P（X＝2）＝
＝
.所以P（X＝1）＝1－P（X＝2）＝
，X的分布列为：
X
1
2
P
20.[解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.
（1）从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ（Ω）＝A
＝20.
又μ（A）＝A
×A
＝12.于是P（A）＝
＝
＝
.
（2）因为μ（AB）＝A
＝6，所以P（AB）＝
＝
＝
.
（3）解法一：
由
（1）
（2）可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P（B|A）＝
＝
＝
.
解法二：
因为μ（AB）＝6，μ（A）＝12，所以P（B|A）
＝
＝
＝
.
21.[解析]
（1）因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1－
×
＋
×
×
＋
×
×
＝
.
（2）ξ可能取2,3,4，则
P（ξ＝2）＝
×
＝
；P（ξ＝3）＝
×
×
＋
×
×
＝
；
P（ξ＝4）＝1－P（ξ＝2）－P（ξ＝3）＝1－
－
＝
，
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P（ξ）
数学期望E（ξ）＝2×
＋3×
＋4×
＝
.
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