离散数学第三版屈婉玲课后习题答案.docx
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离散数学第三版屈婉玲课后习题答案
离散数学习题答案
习题一及答案：
（P14-15）
14、将下列命题符号化：
（5）李辛与李末是兄弟
解：
设p：
李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p
（6）王强与刘威都学过法语
pq
解：
设p：
王强学过法语；q：
刘威学过法语；则命题符号化的结果是
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班
qp
解：
设p：
天下大雨；q：
他乘班车上班；则命题符号化的结果是
（11）下雪路滑，他迟到了
解：
设p：
下雪；q：
路滑；r：
他迟到了；则命题符号化的结果是
（pq）r
15、设p：
2+3=5.
q：
大熊猫产在中国.
r：
太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值：
（pqr）（（pq）r）
（4）
解：
p=1，q=1，r=0，
（pqr）（110）1
，
（（pq）r）（（11）0）（00）1
（pqr）（（pq）r）111
19、用真值表判断下列公式的类型：
（pp）q
（2）
解：
列出公式的真值表，如下所示：
ppq
q
（pp）（pp）q
001111
011010
100101
110001
由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：
（4）
（pq）q
解：
因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：
p0
（pq）1
q0
q0
成真赋值有：
01，10，11。
所以公式的
习题二及答案：
（P38）
5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（2）
（pq）（qr）
解：
原式
（pq）qr（pp）qr
qr
，此即公式的主析取范式，
mm
（pqr）（pqr）
37
所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：
（2）
（pq）（pr）
解：
原式，此即公式的主合取范式，
M
（ppr）（pqr）（pqr）
4
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：
（1）
（pq）r
解：
原式
pq（rr）（（pp）（qq）r）
（pqr）（pq）r（pq）r（pq）r（pq）r（pqr
（pqr）（pq）r（pq）r（pq）r（pqr
，此即主析取范式。
mmmmm
13567
主析取范式中没出现的极小项为，，，所以主合取范式中含有三个极大项，，
MM
mmm
02
024
，故原式的主合取范式。
MMMM
4024
9、用真值表法求下面公式的主析取范式：
（1）
（pq）（pr）
解：
公式的真值表如下：
pppqpr
q
r
（pq）（pr）
0001000
0011011
0101101
0111111
1000101
1010101
1100101
1110101
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式，故主析取范式
mmmmmmm
1234567
习题三及答案：
（P52-54）
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：
pq,qr,rs,p
结论：
s
证明：
①p前提引入
②前提引入
pq
③q①②析取三段论
④前提引入
qr
⑤r③④析取三段论
rs
⑥前提引入
⑦s⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：
（2）前提：
（pq）（rs）,（st）u
结论：
pu
证明：
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②①附加
pq
③前提引入
（pq）（rs）
rs
④②③假言推理
⑤s④化简
⑥⑤附加
st
⑦前提引入
（st）u
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
rs
（1）前提：
，，
pqrq
结论：
p
证明：
用归谬法
①p结论的否定引入
②前提引入
pq
③①②假言推理
q
④前提引入
rq
⑤③④析取三段论
r
rs
⑥前提引入
⑦r⑥化简
⑧⑤⑦合取
rr
由于，所以推理正确。
rr0
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开，看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以，A是谋杀嫌犯。
解：
设p：
A到过受害者房间，q：
A在11点以前离开，r：
A是谋杀嫌犯，s：
看门人看见
过A。
s
则前提：
，，，
pqs
（pq）r
结论：
r
证明：
①前提引入
qs
s
②前提引入
③①②拒取式
q
④前提引入
p
⑤③④合取引入
pq
⑥前提引入
（pq）r
⑦⑤⑥假言推理
r
习题四及答案：
（P65-67）
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：
（2）有的火车比有的汽车快。
解：
设F（x）：
x是火车，G（y）：
y是汽车，H（x,y）：
x比y快；则命题符号化的结果是：
xy（F（x）G（y）H（x,y））
（3）不存在比所有火车都快的汽车。
解：
方法一：
设F（x）：
x是汽车，G（y）：
y是火车，H（x,y）：
x比y快；则命题符号化的结果是：
x（F（x）y（G（y）H（x,y）））
x（F（x）y（G（y）H（x,y）））
或
方法二：
设F（x）：
x是火车，G（y）：
y是汽车，H（x,y）：
x比y快；则命题符号化的结果是：
x（G（x）y（F（y）H（x,y）））
xy（G（x）（F（y）H（x,y）））
或
9、给定解释I如下：
（a）个体域为实数集合R。
a0
（b）特定元素。
f（x,y）xy,x,yR
（c）函数。
F（x,y）:
xy,G（x,y）:
xy,x,yR
（d）谓词。
给出以下公式在I下的解释，并指出它们的真值：
xy（F（f（x,y）,a）G（x,y））
（2）
xy（xy0xy）
解：
解释是：
，含义是：
对于任意的实数x，y，若x-y=0则x该公式在I解释下的真值为假。
14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：
x（F（x）y（G（y）H（x,y）））
（1）
I
解：
取解释如下：
个体域为全总个体域，
F（x）H（x,y）
G（y）
：
x是兔子，：
y是乌龟，：
x比y跑得快，则该公式在解释I下真值是1；
''
II
H（x,y）
取解释如下：
：
x比y跑得慢，其它同上，则该公式在解释下真值是0；
故公式
（1）既不是永真式也不是矛盾式。
此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。
习题五及答案：
（P79-81）
5、给定解释I如下：
（a）个体域D={3,4}
f（x）:
f（3）4,f（4）3
（b）
F（x,y）:
F（3,3）F（4,4）0,F（3,4）F（4,3）1
（c）
试求下列公式在I下的真值：
xyF（x,y）
（1）
解：
方法一：
先消去存在量词
xyF（x,y）x（F（x,3）F（x,4））
（F（3,3）F（3,4）F）（（4F,3）
（01）（10）
1
15、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N
（3）前提：
，
x（F（x）G（x））xG（x）
结论：
xF（x）
证明：
①前提引入
xG（x）
②①置换
xG（x）
③②UI规则
G（c）
④前提引入
x（F（x）G（x））
⑤④UI规则
F（c）G（c）
⑥③⑤析取三段论
F（c）
⑦⑥EG规则
xF（x）
*22、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N
（2）凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋。
所以王晓山不是大学生。
解：
设F（x）：
x为大学生，G（x）：
x是勤奋的，c：
王晓山
则前提：
，
x（F（x）G（x））G（c）
结论：
F（c）
证明：
①前提引入
x（F（x）G（x））
②①UI规则
F（c）G（c）
③前提引入
G（c）
④②③拒取式
F（c）
25、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：
N
每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者，并且是聪明的。
所以，王大海在他的事业中将获得成功。
（个体域为人
类集合）
解：
设F（x）：
x是科学工作者，G（x）：
x是刻苦钻研的，H（x）：
x是聪明的，I（x）：
x在他的事
业中获得成功，c：
王大海
则前提：
，，
x（F（x）G（x））x（G（x）H（x）I（x））F（c）H（c）
结论：
I（c）
证明：
①前提引入
F（c）H（c）
②①化简
F（c）
③①化简
H（c）
④前提引入
x（F（x）G（x））
⑤④UI规则
F（c）G（c）
⑥②⑤假言推理
G（c）
⑦③⑥合取引入
G（c）H（c）
⑧前提引入
x（G（x）H（x）I（x））
⑨⑧UI规则
G（c）H（c）I（c）
⑩⑦⑨假言推理
I（c）
习题六及答案（P99-100）
28、化简下述集合公式：
（（AB）C）（（AB）C）（（AB）C）（（AB）C）
（3）
（（AB）C）（（AB）C）（（AB）C）（（AB）C）
解：
（AB）（AB）
A
30、设A,B,C代表任意集合，试判断下面命题的真假。
如果为真，给出证明；如果为假，给
出反例。
（AB）AB
（6）
（AB）ABA
BAB
BA
，如果，则解：
该命题为假，，否则
BAB
BAB
，故为假。
（AB）A{3}B
A{1,2},B{1,3},
举反例如下：
则
。
ABACBC
（8）
ABAC
一定成立，解：
该命题为假，举反例如下：
如果B，C都是A的子集，则
B{1}
C{2}
1,2}A{
ABACA
BC
但不一定成立，例如：
，则
，,，
BC
但
。
33、证明集合恒等式：
A（BA）BA
（1）
A（BA）
证明：
（AB）（AA）
（AB）
BA
AB
习题七及答案：
（P132-135）
A1,2,3,4,5,6
26设，R为A上的关系，R的关系图如图7.13所示：
23
（1）求的集合表达式；
R,R
（2）求r（R）,s（R）,t（R）的集合表达式。
解：
（1）由R的关系图可得
R1,5,2,5,3,1,3,3,4,5
232
所以，，
RRR3,1,3,3,3,5RRR3,1,3,3,3,5
n
可得；
R3,1,3,3,3,5,当n>=2
（2），
r（R）=RI1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6
A
1
s（R）RR1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4
232
t（R）RRR...RR1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5
41、设A={1，2，3，4}，R为
AA
a,b,c,dAA
上的二元关系，，
a,bRc,dabcd
（1）证明R为等价关系；
（2）求R导出的划分。
（1）只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可，证明过程如下：
a,bAAa,bRa,b
abab
（a）任取，有，，所以R具有自反性；
a,b,c,dAAa,bRc,d
（b）任取，若，
c,dRa,b
abcdcdab
则有，，，所以R具有对称性；
a,b,c,d,e,fAAa,bRc,dc,dRe,f
（c）任取，若且，
cdefabefa,bRe,f
abcd
则有且，，，所以R具有传递性，
AA
综合（a）（b）（c）可知：
R为集合上的等价关系；
AA
（2）先求出集合的结果：
AA{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}
AA
再分别求集合各元素的等价类，结果如下：
[1,1]{1,1},
R
[1,2][2,1]{1,2,2,1},
RR
[1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1},
RRR
[1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1},
RRRR
[2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2},
RRR
[3,4][4,3]{3,4,4,3},
RR
[4,4]{4,4}
。
R
A/RA/R
等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集，而集合A关于R的商集是由R的所有等
价类作为元素构成的集合，所以等价关系R导出的划分是：
{{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}}
A,R
46、分别画出下列各偏序集的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
（1）
Ra,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,eI
A
解：
哈斯图如下：
e
bcd
f
a
A的极大元为e、f，极小元为a、f；
A的最大元和最小元都不存在。
A1,2,3,4
*22、给定，A上的关系，试
R1,3,1,4,2,3,2,4,3,4
（1）画出R的关系图；
（2）说明R的性质。
解：
（1）
12
●●
●●
34
（2）R的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的；
R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R是反对称的，不是对
称的；
R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边，但顶点x
到顶点z没有边的情况，故R是传递的。
A,R和B,S
*48、设为偏序集，在集合上定义关系T如下：
AB
a,b,a,bAB,
1122
a,bTa,baRabSb
11221212
证明T为上的偏序关系。
AB
证明：
（1）自反性：
任取a,bAB，则：
11
R为偏序关系，具有自反性，aRa
11
S为偏序关系，具有自反性，bSb
11
aRabSb
1111
又a,bTa,baRabSb，
11221212
a,bTa,b，故T具有自反性
1111
（2）反对称性：
任取a,b,a,bAB，若a,bTa,b且a,bTa,b，则有：
112211222211
aRabSb
（1）
1212
aRabSb
（2）
2121
aRaaRa，又R为偏序关系，具有反对称性，所以aa
122112
bSbbSb，又S为偏序关系，具有反对称性，所以bb
122112
a,ba,b，故T具有反对称性
1122
（3）传递性：
任取a,b,a,b，a,bAB，若a,bTa,b且a,bTa,b，则有：
11223311222233
a,bTa,baRabSb
11221212
a,bTa,baRabSb
22332323
aRaaRa,又R为偏序关系，具有传递性，所以aRa
122313
bSbbSb,又S为偏序关系，具有传递性，所以bSb
122313
aRabSba,bTa,b，故T具有传递性。
13131133
综合
（1）
（2）（3）知T具有自反性、反对称性和传递性，故T为上的偏序关系。
AB
习题九及答案：
（P179-180）
8、
S=QQ,Q为有理数集，为S上的二元运算，a,b,x,yS有
a,bx,yax,ay+b
（1）
运算在S上是否可交换、可结合？
是否为幂等的？
（2）。
运算是否有单位元、零元？
如果有，请指出，并求出S中所有可逆元素的逆元
解：
（1）
x,ya,bxa,xb+y
ax,bx+ya,bx,y
运算不具有交换律
x,ya,bc,d
ax,bx+yc,d
acx,adx+bx+y
而x,ya,bc,d
x,y*ac,ad+b
xac,xad+xb+yacx,adx+bx+y
x,ya,bc,d
运算有结合律
任取a,bs，则有：
2
a,ba,ba,abba,b
运算无幂等律
（2）
令a,b*x,ya,b对a,bs均成立
则有：
ax,ay+ba,b对a,bs均成立
axa
ax10
对a,b成立
aybb
ay0
x10x1
必定有
y0y0
运算的右单位元为1，0，可验证1，0也为运算的左单位元，
运算的单位元为1，0
令a,b*x,yx,y，若存在x,y使得对a,bs上述等式均成立，
则存在零元，否则不存在零元。
由a,b*x,yx,y
ax,ay+bx,y
a1x0
axx
a1y+b0
ayby
由于a1y+b0不可能对a,bs均成立，
故a,b*x,yx,y不可能对a,bs均成立，故不存在零元；
设元素a,b的逆元为x,y，则令a,b*x,ye1，0
1
x
ax1
a
（当a0）
ayb0b
y
a
当a0时，a,b的逆元不存在；
1b
当a0时，a,b的逆元是,
aa
11、
设S12，，...,10，问下面的运算能否与S构成代数系统S，?
如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。
（3）；
xy=大于等于x和y的最小整数
解：
（3）由*运算的定义可知：
，
xy=max（x,y）
x,yS,有xyS，故运算在S上满足封闭性，所以运算与非空集合S能构成代数系统；
任取x,yS,有xy=max（x,y）=max（y,x）=yx,所以运算满足交换律；
任取x,y,zS,有（xy）z=max（max（x,y）,z）=max（x,y,z）=max（x,max（y,z））=x（yz）,所以运算满足结合律；
任取xS，有x1=max（x,1）=x=max（1,x）=1x,所以运算的单位元是1；
任取xS，有x10=max（x,10）=10=max（10,x）=10x,所以运算的零元是1
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