高中数学全参数方程知识点大全.docx
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高中数学全参数方程知识点大全
实用标准
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参
数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程
化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的
参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
（1）标准式过点Po（x0,y0），倾斜角为α的直线l（如图）的参数方程是
x
y
xtcosa
0（t为参数）
ytsina
0
（2）一般式过定点P0（x0,y0）斜率k=tgα=
b
a
的直线的参数方程是
x
y
xat
0（t不参数）②
ybt
0
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a
2+b2=1,②即为标准式，此
时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a
2+b2≠1，则动点P到定点P
0的距离是
2b2
a｜t｜.
直线参数方程的应用设过点P0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数方程是
x
y
x
0
y
0
t
t
cosa
sina
（t为参数）
若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则
（1）P1、P2两点的坐标分别是
（x0+t1cosα,y0+t1sinα）
（x0+t2cosα,y0+t2sinα）；
（2）｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
（3）线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则
t=
t1t
2
2
中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜
t1t
2
2
｜
（4）若P0为线段P1P2的中点，则
t1+t2=0.
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2.圆锥曲线的参数方程
（1）圆圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是
x
y
a
b
r
r
cos
sin
（φ是参数）
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］（见图）
22
xy
（2）椭圆椭圆1
（a＞b＞0）的参数方程是
22
ab
xacos
ybsin
（φ为参数）
22
yy
椭圆1
22
ab
（a＞b＞0）的参数方程是
x
y
bcos
asin
（φ为参数）
3.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角
度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，
射线Ox叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，
缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到
OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ,θ）叫做M点的极
坐标.（见图）
极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
（2）互化公式
x
y
cos
sin
'
tg
2
2
x
y
x
2
y
（x0）
三、知识点、能力点提示
（一）曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
例1在圆x
2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最
短和最长.
解：
将圆的方程化为参数方程：
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x
y
2
1
5
cos
5sin
（为参数）
则圆上点P坐标为（2+5cos，1+5sin），它到所给直线之距离
d=
120cos
4
15sin
23
2
30
故当cos（φ-θ）=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为（6，4）；当cos（φ-θ）=-1,
即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为（-2，2）.
（二）极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
1
例2极坐标方程ρ=
所确定的图形是（）
23sincos
A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物
线
1
解：
ρ=
1
1
2
2[1（
3
2
1
2
cos
）]
1sin（）
6
（三）综合例题赏析
x3cos
例3椭圆（是参数）的两个焦点坐标是
y15sin
（）
A.（-3，5），（-3，-3）B.（3，3），（3，-5）
C.（1，1），（-7，1）D.（7，-1），（-1，-1）
2y2（x3）
（1）
解：
化为普通方程得1
925
∴a2=25,b
2=25,b
2=9,得c2＝１６,c=4.
∴F（x-3,y+1）=F（0,±4）
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是（3，3）和（3，-5）.
应选B.
例4参数方程
xcossin
22
1
y
2
（1sin）
（02
）
表示
A.双曲线的一支，这支过点（1，
1
2
）B.抛物线的一部分，这部分过（1，
1
）2
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C.双曲线的一支，这支过（-1，
1）D.抛物线的一部分，这部分过（-1，
2
1
2
）
解：
由参数式得x2=1+sinθ=2y（x＞0）
2=1+sinθ=2y（x＞0）
即y=
1
2
x2（x＞0）.
2（x＞0）.
∴应选B.
例5在方程
x
y
sin
cos
（θ为参数）所表示的曲线一个点的坐标是（）
A.（2,-7）B.（
1
3
，
2
3
）C.（
1
2
，
1
2
）D.（1，0）
解：
y=cos2=1-2sin2=1-2x2
11
将x=代入，得y=
22∴应选C.
例6下列参数方程（t为参数）与普通方程x
2-y=0表示同一曲线的方程是（）
x
y
t
t
B.
x
y
cost
2
cos
t
C.
x
y
tgt
1
1
A.
cos2t
cos2t
xtgt
D.
y
1
1
cos2t
cos2t
解：
普通方程x
2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排
除A.和B.
C.中y=
2
2cos
2
2sin
t
t
=ctg
2t=
1
tg
2
t
1
2
x
2y=1，故排除C.
=，即x
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为（）
A.x
2+（y+2）2=4B.x2+（y-2）2=4C.（x-2）2+y2=4
D.（x+2）
2+y2=4
解：
将ρ=
2y2
x，sinθ=
y
2y
2
x
代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+（y-2）
2+y2=4y，即x2+（y-2）
2=4.
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos（）表示的曲线是（）
4
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
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解：
原极坐标方程化为ρ=
1
2
（cosθ+sinθ）
2
2=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为2（x
2+y2）=x+y，表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是（）
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4
例9图
解：
如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l交极轴于B（2，0）点P（ρ,θ）为l上任意一点，则有
cosθ=
OB
OP
2
，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例104ρsin
2
2=5表示的曲线是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物
线
解：
4ρsin
2
cos1
2=54ρ·22cos5.
2
把ρ=
2y
2
xρcosθ=x，代入上式，得
2
2y
2
x=2x-5.
25
平方整理得y
∴应选D.
2=-5x+.
4
.它表示抛物线.
例11极坐标方程4sin
2θ=3表示曲线是（）
A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物
线
解：
由4sin
2
θ=3,得4·
2
x
2
y
2
y
＝3,即y2=3x
2=3x
2
，y=±3x,它表示两相交直线.
∴应选B.
四、能力训练
（一）选择题
3.极坐标方程ρcosθ=
4
3
表示（）
A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线
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C.一个圆D.一条抛物线
x2cos
4.直线：
3x-4y-9=0与圆：
（为参数）
y2sin,
的位置关系是（）
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直
线不过圆心
5.若（x，y）与（ρ，θ）（ρ∈R）分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列
各组曲线：
①θ=和sinθ=
6
1
2
；②θ=
6
和tgθ=
3
3
，③ρ
2-9=0和ρ=3；④
x2
2
2
t
x22t
和
y3
1
2
t
y3t
其中表示相同曲线的组数为（）
A.1B.2C.3D.4
6.设M（ρ1，θ1），N（ρ2，θ2）两点的极坐标同时满足下列关系：
ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，
则M，N两点位置关系是（）
A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=D.关于极轴
2
对称
7.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是（）
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
8.经过点M（1，5）且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3是（）
A．
x1
y5
1
2
t
3
2
t
B.
x
y
1
5
1
2
t
3
2
t
C.
x
y
1
5
1
2
t
3
2
t
D.
y1
x5
3
2
1
2
t
t
9.将参数方
xa
yb
2
m
2
m
2m
2m
2
m
2m
2m
2
2
2
（m是参数，ab≠0）化为普通方程是（）
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2
x
y
2
A.1（）
xa
22
ab
22
xy
B.1（xa）
22
ab
22
xy
C.1（）
xa
22
ab
22
xy
D.1（xa）
22
ab
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin（θ+），则圆心的极坐标和半径分别为（）
6
A.（1,）,r=2B.（1,）,r=1C.（1,）,r=1D.（1,
363
-）,r=2
3
xt
1
t
9.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）
y2
A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条
直线
10.双曲线
x
y
2
1
tg
2sec
（θ为参数）的渐近线方程为（）
11
A.y-1=
（2）
xxB.y=
22
C.y-1=2（x2）
D.y+1=2（x2）
11.若直线
x4
ybt
at
（（t为参数）与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为（）
2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为（）
A.B.
3
2
3
C.
3
或
2
3
D.
3
5
或
3
2
x2pt
12.已知曲线（t为参数）上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，
y2pt
那么M，N间的距离为（）
A.2p（t1+t2）B.2p（t
2
1+t
2
2）C.│2p（t1-t2）│
D.2p（t1-t2）2
13.若点P（x，y）在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M（-2xy，y2-x
2-x
2）也在单位
圆上运动，其运动规律是（）
A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向
14.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin
2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin
2
θ与x轴两个交点距离的最大值是（）
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A.5B.10C.23D.3
3
10.直线ρ=与直线l关于直线θ=（ρ∈R）对称，则l的方程是（）
2cossin4
33
A．
B．
2cossin2coscos
33
C．
D．
cos2sincos
2sin
（二）填空题
11.若直线l的参数方程为
x3
y2
4
5
t
3
5
t
（t为参数），则过点（4，-1）且与l平行的直线
在y轴上的截距为
.
12.参数方程
x
y
1
1
cos
cos
sin
cos
（为参数）化成普通方程为.
13.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.
14.直线
x
y
1
2
3t
3t
（t为参数）的倾斜角为；直线上一点P（x，y）与点M（-1，
2）的距离为.
（三）解答题
15.设椭圆
x
y
4
2
cos
3sin
（θ为参数）上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=
3
，求
点P的坐标.
2
x2pt
16.曲线C的方程为（p＞0，t为参数），当t∈［-1，2］时，曲线C的端
y2pt
点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.
17.已知椭圆
2
x
2
2
y
=1及点B（0，-2），过点B作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、
D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.
（1）试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2H│成立的直线BD是否存在?
并说明理
2│·│F
由.
（2）若点M为弦CD的中点，S△BMF2=2，试求直线BD的方程.
18.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
x
y
8
3tg
4sec
（θ为参数）的左焦点
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9
和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
4
19.A，B为椭圆
2
x
2
a
y
b
2
2
=1，（a＞b＞0）上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大
值和最小值.
20.已知椭圆
2y
2
x
2416
=1，直线l∶
x
12
y
8
=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，
又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│
2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.
并说明轨迹是什么曲线.
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参考答案
（一）1.B2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.C12.C13.C14.C15.D
（二）16.-4；17.y
２=-2（x-
1
2
）,（x≤
1
2
）;18.抛物线；19.135°,|32t|
（三）20.（
854
5
15
5
23
）；21.;
3
21.
（1）不存在，
（2）x+y+2=0；23.
1
5
（27-341）；24.Smax=
max=
ab
2
，smax=
2
a
2
a
2
b
2
b
;
2.
（x
1）
5
2y
（
1）
5
2
=1（x,y）不同时为零）
22
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