高三月考数学试题.docx
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高三月考数学试题
2021年高三8月月考数学试题
一、填空题：
本大题共14小题，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，b={x丨x=n2，n∈A}，则A∩B= {1，4} ．
考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
由已知条件化简集合B，然后直接利用交集概念求解．
解答：
解：
由A={1，2，3，4}，B={x丨x=n2，n∈A}，
所以B={1，4，9，16}，
则A∩B={1，2，3，4}∩{1，4，9，16}={1，4}．
故答案为{1，4}．
点评：
本题考查了交集及其运算，是基础的运算题．
2．（5分）已知，B={x|log2（x﹣2）＜1}，则A∪B= {x|1＜x＜4} ．
考点：
并集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
首先求解指数不等式和对数不等式化简集合A和集合B，然后根据并集的概念取两个集合的并集．
解答：
解析：
由，得：
，所以1＜x＜3，所以
，
再由0＜x﹣2＜2，得2＜x＜4，所以B={x|log2（x﹣2）＜1}={x|2＜x＜4}，
所以A∪B={x|1＜x＜3}∪{x|2＜x＜4}={x|1＜x＜4}．
故答案为{x|1＜x＜4}．
点评：
本题考查了并集及其运算，解答此题的关键是指数不等式和对数不等式的求解，求并集问题属基础题．
3．（5分）已知P：
|x﹣a|＜4；q：
（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围为 ﹣1≤a≤6 ．
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
根据题意，由p、q，可得￢p为x≤a﹣4或x≥a+4，￢q为x≤2或x≥3；进而由￢p是￢q的充分不必要条件，可得集合{x|x≤a﹣4或a≥a+4}是集合{x|x≤2或x≥3}的真子集，由集合间的包含关系可得答案．
解答：
解：
根据题意，P：
|x﹣a|＜4，则￢p为：
|x﹣a|≥4，
解|x﹣a|≥4可得，x≤a﹣4或x≥a+4，
则￢p为：
x≤a﹣4或x≥a+4，
条件q：
（x﹣2）（3﹣x）＞0，则￢q为：
（x﹣2）（3﹣x）≤0，即x≤2或x≥3．
若￢p是￢q的充分不必要条件，则有集合{x|x≤a﹣4或x≥a+4}是集合{x|x≤2或x≥3}的真子集，
必有a﹣4≤2，且a+4≥3，解得﹣1≤a≤6；
故答案为：
﹣1≤a≤6．
点评：
本题考查充分必要条件的判断及运用，注意充分必要条件与集合间关系的转化．
4．（5分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的否定是 存在等腰三角形的两个底角不相等 ．
考点：
命题的否定．
专题：
规律型．
分析：
分别对题设和结论进行否定即可．
解答：
解：
原命题“等腰三角形的两个底角相等”是一个全称命题
它的否定是一个特称命题，
即“存在等腰三角形的两个底角不相等”
故答案为：
存在等腰三角形的两个底角不相等．
点评：
本题考查了命题的否定，注意题设和结论否定时的写法．
5．（5分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为 [0，1） ．
考点：
对数函数的定义域．
专题：
计算题．
分析：
根据偶次根式下大于等于0，对数函数的真数大于0建立不等式关系，然后解之即可求出函数的定义域．
解答：
解：
要使原函数有意义，则
解得：
0≤x＜1
所以原函数的定义域[0，1）．
故答案为[0，1）．
点评：
本题主要考查了对数函数的定义域及其求法，以及偶次根式的定义域，属于基础题．
6．（5分）函数y=2x﹣4的值域为 （﹣∞，2] ．
考点：
函数的值域．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
求得函数定义域为（﹣∞，1]，判断出函数y=2x﹣4是（﹣∞，1]上的增函数，利用单调性求值域．
解答：
解：
由1﹣x≥0，得x≤1，函数定义域为（﹣∞，1]，
由于y1=2x在（﹣∞，1]上单调递增，
y2=﹣4（﹣∞，1]上也是单调递增，
所以函数y=2x﹣4是（﹣∞，1]上的增函数，
所以y≤f
（1）=2
值域为（﹣∞，2]
故答案为：
（﹣∞，2]
点评：
本题考查函数值域求解，这里用到了函数的单调性．属于基础题．
7．（5分）（2011•安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f
（1）= ﹣3 ．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
计算题．
分析：
将x≤0的解析式中的x用﹣1代替，求出f（﹣1）；利用奇函数的定义得到f（﹣1）与f
（1）的关系，求出f
（1）．
解答：
解：
∵f（﹣1）=2+1=3
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（﹣1）=﹣f
（1）
∴f
（1）=﹣3
故答案为﹣3．
点评：
本题考查奇函数的定义：
对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x）．
8．（5分）函数的最大值是 5 ．
考点：
基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
令t=log2x，依题意，1≤t≤2，利用双钩函数的单调性质即可求得答案．
解答：
解：
∵2≤x≤4，
∴1≤log2x≤2，
令t=log2x，（1≤t≤2），
则y=t+（1≤t≤2），
由双钩函数的性质得：
y=t+在[1，2]上单调递减，
∴当t=1时，ymax=5．
故答案为：
5．
点评：
本题考查双钩函数的单调性质，考查掌握双钩函数的性质，并熟练应用之解决问题的能力，属于中档题．
9．（5分）已知函数在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为 1＜a≤3 ．
考点：
复合函数的单调性．
专题：
计算题．
分析：
先讨论外层函数的单调性，发现外层函数只能为增函数，即a＞1，再将问题转化为内层函数为增函数且内层函数大于零恒成立问题，列不等式组即可得a的取值范围
解答：
解：
若0＜a＜1，y=logat在（0，+∞）上为减函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为减函数，这是不可能的，故a＞1
a＞1时，y=logat在（0，+∞）上为增函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为增函数，且t＞0在（2，+∞）上恒成立
只需，解得a≤3
∴1＜a≤3
故答案为1＜a≤3
点评：
本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和应用，对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，分类讨论的思想方法
10．（5分）（xx•东莞二模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是 （，） ．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
压轴题．
分析：
本题采用画图的形式解题比较直观．
解答：
解：
如图所示：
∵f（2x﹣1）＜f（）
∴﹣＜2x﹣1＜，
即＜x＜．
故答案为：
（，）
点评：
本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质．
11．（5分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为 6 ．
考点：
带绝对值的函数；奇偶函数图象的对称性．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
根据题意得f（2+x）=f（2﹣x），代入表达式采用比较系数法，即可算出a的值．
解答：
解：
∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，
∴f（2+x）=f（2﹣x），即|x+4|+|2+x﹣a|=|4﹣x|+|2﹣x﹣a|
等价于|x+4|+|x+2﹣a|=|x﹣4|+|x+a﹣2|
∴x+2﹣a=x﹣4且x+4=x+a﹣2，可得a=6
故答案为：
6
点评：
本题给出含有绝对值的函数图象关于定直线对称，求参数a的值．着重考查了绝对值的性质和函数图象的对称性等知识，属于基础题．
12．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+5），则实数c的值为 ．
考点：
二次函数的性质；一元二次不等式的解法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用二次函数的值域和不等式f（x）＜c的解集为（m，m+5），确定c的取值．
解答：
解：
因为f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
所以△=0，即a2﹣4b=0．
又f（x）＜c的解集为（m，m+5），
所以m，m+5是对应方程f（x）=c的两个不同的根，
所以x2+ax+b﹣c=0，
所以根据根与系数之间的关系得，
又，
所以，
即，
所以c=．
故答案为：
．
点评：
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系．
13．（5分）（2011•遂溪县一模）已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有 5 个．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
讨论x大于等于0时，化简f（x），然后分别令f（x）等于0和1求出对应的x的值，得到f（x）为减函数，根据反比例平移的方法画出f（x）在x大于等于0时的图象，根据f（x）为偶函数即可得到x小于0时的图象与x大于0时的图象关于y轴对称，可画出函数的图象，从函数的图象看出满足条件的整数对有5个．
解答：
解：
当x≥0时，函数f（x）=﹣1，
令f（x）=0即﹣1=0，解得x=2；
令f（x）=1即﹣1=1，解得x=0
易知函数在x＞0时为减函数，
利用y=平移的方法可画出x＞0时f（x）的图象，
又由此函数为偶函数，
得到x＜0时的图象是由x＞0时的图象关于y轴对称得来的，所以函数的图象可画为：
根据图象可知满足整数数对的有（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（0，2），（﹣1，2）共5个．
故答案为：
5
点评：
此题考查学生会利用分类讨论及数学结合的数学思想解集实际问题，掌握函数定义域的求法，是一道中档题．
14．（5分）（xx•浙江模拟）函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+1的所有零点构成的集合为 {﹣2，} ．
考点：
函数的零点．
专题：
计算题．
分析：
欲求函数函数y=[f（x）]+1的零点，即求方程[f（x）]+1=0的解，下面分：
当x≤0时，当x＞0时分别求出函数y=[f（x）]+1的所有零点所构成的集合即可．
解答：
解：
当x≤0时，f（x）=x+1，
由f（x）+1=0得x+1+1=0，∴x=﹣2；
当x＞0时，f（x）=log2x，
由f（x）+1=0得log2x+1=0，∴x=；
则函数y=[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为{﹣2，}
故答案为：
{﹣2，}．
点评：
本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（15分）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R}，B={x|＜1，x∈R}．
（1）求A、B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题．
专题：
阅读型．
分析：
（1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B即可；
（2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可．
解答：
解：
（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A={x|a﹣2＜x＜a+2}，
由＜1，得＜0，即﹣2＜x＜3，∴B={x|﹣2＜x＜3}．
（2）若A⊆B，∴⇒0≤a≤1，
∴0≤a≤1．
点评：
本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、形象．
16．（15分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
考点：
二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．
（2）转化为x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立问题，找其在[﹣1，1]上的最小值让其大于0即可．
解答：
解：
（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以，∴，
所以f（x）=x2﹣x+1
（2）由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．
设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．
故只需g
（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，
解得m＜﹣1．
点评：
本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．
17．（15分）已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．
（1）若f（x）=，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
考点：
函数最值的应用；函数的值．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
（1）分类讨论可得：
当x≥0时，f（x）=2x﹣=3，解以2x为单位的一元二次方程得2x=2或﹣，结合2x＞0，得2x=2，解之得x=1；
（2）根据函数表达式将原不等式化简，可得不等式等价于m≥﹣（22t+1），由t∈[1，2]时，F（t）=﹣（22t+1）是单调减函数，得到﹣（22t+1）的最小值为﹣17，最大值为﹣5，由此即可求出满足条件的实数m的取值范围．
解答：
解
（1）当x＜0时，f（x）=0，不符合题意；
当x≥0时，f（x）=2x﹣，
由2x﹣=，得2•22x﹣3•2x﹣2=0，
将其看成关于2x的一元二次方程，解之得2x=2或﹣，
结合2x＞0，得2x=2，解之得x=1；
（2）当t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1），
∵22t﹣1＞0，
∴不等式等价于m≥﹣（22t+1），
∵t∈[1，2]，函数F（t）=﹣（22t+1）是单调减函数
∴﹣（22t+1）的最小值为F
（2）=﹣17，最大值为F
（1）=﹣5
即﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]，
故若原不等式恒成立，则m的取值范围是[﹣5，+∞）．
点评：
本题给出含有指数的函数，解关于x的方程并讨论不等式恒成立问题．着重考查了指数函数的性质、一元二次方程的解法和不等式恒成立等知识，属于中档题．
18．（15分）已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证：
；
（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．
考点：
对数函数图象与性质的综合应用．
专题：
综合题．
分析：
（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称，再由=可判断函数奇偶性
（2）分别计算f（a）+f（b）与可证
（3）由
（2）可得f（a）+f（b）=1，f（a）+f（b）=2结合奇函数的性质可得f（﹣b）=﹣f（b），从而可求
解答：
解：
（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称
∵=故函数f（x）为奇函数
（2）∵f（a）+f（b）==
==
∴
（3）∵=1
∴f（a）+f（b）=1=2
∴f（a）+f（﹣b）=2
∵f（﹣b）=﹣f（b），
∴f（a）﹣f（b）=2，解得：
点评：
本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数的奇欧性的判断及利用对数的基本运算性质证明等式，属于对数知识的综合应用．
19．（15分）已知函数f（x）=loga，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数的定义域，并证明：
f（x）=loga在定义域上是奇函数；
（2）对于x∈[2，4]，f（x）=loga＞loga恒成立，求m的取值范围．
考点：
函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）由＞0解得定义域，在定义域范围内考察f（﹣x）=﹣f（x）成立．
（2）根据对数的性质，转化为真数大小关系恒成立，再利用分离参数法求m范围．
解答：
解
（1）由＞0，解得x＜﹣1或x＞1，
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f（﹣x）=loga=loga=﹣loga=﹣f（x），
∴f（x）=loga在定义域上是奇函数．
（2）由x∈[2，4]时，f（x）=loga＞loga恒成立，
①当a＞1时，
∴＞对x∈[2，4]恒成立．
∴0＜m＜（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]
则g（x）=﹣x3+7x2+x﹣7，
g′（x）=﹣3x2+14x+1，
∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g
（2）=15．
∴0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，
f（x）=loga＞loga恒成立
∴＜loga对x∈[2，4]恒成立．
∴m＞（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]，
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，
g（x）max=g（4）=45，∴m＞45．
∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）．
点评：
本题考查了函数奇偶性的判定，不等式恒成立问题，函数最值求解，考查运算求解能力．
20．（15分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．
考点：
函数与方程的综合运用；偶函数．
专题：
计算题．
分析：
（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．
解答：
解：
（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立
即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立
解得k=﹣1
（2）∵a＞0
∴函数的定义域为（，+∞）
即满足
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解
即：
方程在上只有一解
令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解
当a=1时，解得，不合题意；
当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴
∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1
∴方程（*）在无解
当a＞1时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1．
点评：
本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．
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