初中数学重点梳理线段和角度.docx
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初中数学重点梳理线段和角度
线段和角度
知识定位
线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．我们可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．
知识梳理
1、线段
1、直线公理：
经过两点有一条直线，一条直线。
简述为：
.
2、直线、射线、线段之间的联系与区别
联系：
线段和射线都是直线的一部分。
区别：
名称
端点
延伸
度量
表示
直线
射线
线段
3.点与点的距离
连接两点之间的，叫做两点的距离。
线段公理：
两点的所有连线中，线段最短。
简述为：
之间，最短。
4.线段的中点
把一条线段平均分成两条线段的点叫做线段的中点
几何语言：
∵点C是线段AB的中点
∴AC=BC=
AB（中点的定义）
2、角
1.角的概念
（1）有公共顶点的两条射线组成的图形，公共的顶点叫角的顶点
（2）由一条射线绕其端点旋转而成的图形
2.角的表示方法
（1）用三个大写的字母表示如
，
（2）当只有一个角时可用表示角的顶点表示如
（3）可用希腊字母表示
，（4）可用数字表示
3.角的分类锐角，直角，钝角，平角，周角
4.度，分，秒的换算和钟表时针，分针夹角的计算
5.角的比较度量法，叠合法
6.角平分线从角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫该角的角平分线
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知：
AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米（cm），求AD的长.
【答案】18cm
【解析】分析线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．
解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD9等分（9=2+3+4）且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而
EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在直线l上取A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度（如图1－7）．
【答案】4cm或6cm
【解析】分析因为是在直线上取C点，因此有两种情形：
C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．
解若C点在A点的右侧（即在线段AB上）．因为AC=2厘米，N为AC中点，所以AN=1厘米；又AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则
MN=AM-AN=5-1=4（厘米）（如图1－7（a））．
若C点在A点的左侧（即在线段BA延长线上），此时
MN=NA+AM=1+5=6（厘米）（如图1－7（b））．
线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？
【答案】见解析
【解析】分析将河流看作直线l（如图1－9所示）．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．
因此，羊群行走的路程为A＇C＇+C＇B．
线段A＇C＇与C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．
解作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明
AC＇+C＇B＞AC+CB①即可．
利用线段基本性质及点关于直线的对称性知
AC＇=C＇A＇及CA=CA＇，
所以
AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，
AC+CB=CA＇+CB=A＇B．
而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以
C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，
从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
【答案】大于0厘米，小于5厘米
【解析】分析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边（图1－10），而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，AB＜BC+CD+DE+EA．
如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．
解设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为（10-x）厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．
边长必须大于0cm。
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？
【答案】分针共转过了120°，时针转动10°
【解析】分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，因此，时针转动的速度是分针的转动速度的
。
解在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了4×30°=120°．
在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关键是把握住时针转动的速度是分针的转动速度的
。
（或分针转动的速度是时针的转动速度的12倍。
）
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？
【答案】
【解析】 分析在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度（是它的12倍），因此，总有一刻，分针“追上”时针（即两者重合）．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．
解如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了（150°+α）．因为分钟转速是时针的12倍，所以
150°+α=12α，
说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在4点与5点之间（不包含4点，5点），时针与分针在何时
（1）成120°（图1－12）；
（2）成90°（图1－12）．
【答案】
【解析】分析与解
（1）在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为0°）．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）．直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．
设时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟前）成120°，则
12a=120°+a+120°，
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1
经过了
（2）如图1－13（a），（b）所示．
由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况 ：
（i）时针在分针之前（如图1－13（a））．设时针转了a角，分针转了12a角，有
120°+α=90°+12α，
所以11α=30°，
所以
用时
（ii）时针在分针之后（如图1－13（b）），此时，有关系
12α-α=120°+90°，
11α=210°，
用时
综上所述，在4点和5点之间，在4点
分和4点
分两个时间时，时针与分针成90°．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在图中，若线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和．
【答案】5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．
【解析】分析要求出所有线段长的总和，可采用分类计数的方法，分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：
L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6
=a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+a3+a4+a5）
=5a1+4a2+3a3+2a4+a5．
同理：
L2=4a2+3a3+2a4+a5，
L3=3a3+2a4+a5．
L4=2a4+a5．
L5=a5．
故所有线段的长度总和为：
L=L1+L2+L3+L4+L5
=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．
当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：
L=a1（n-1）×1+a2（n-2）×2+a3（n-3）×3+…+an-2×2×（n-2）+an-1×1×（n-1）．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】“希望杯”邀请赛试题
【题目】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．
【答案】1和15
【解析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出答案．
解答：
根据题意可得：
6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时交点为：
=15．
故答案为：
1，15．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】“华杯赛”试题
【题目】摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地．问A、B市相距多少千米?
【答案】600km
【解析】思路点拨画出线段图进行分析．
如图13—1所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息．
∵GE=2EB，∴GE=
BC
∵AD=
AC，∴DC=
AC．
∵DC+CE=
（BC+AC）=
AB
∴DE=
AB，又DE=400km；
∴AB=600km．
注：
线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】“五羊杯”邀请赛
【题目】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：
PQ等于（）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解:
根据B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q是AM的中点,可以知道:
所以
所以B选项是正确的.
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：
桥架在何处，才能使从A到B的距离最短?
【答案】见解析
【解析】解:
如图,作垂直于河岸GH,使等于河宽,
连接,与河岸EF相交于P,作,
则且,
于是为平行四边形,故.
根据“两点之间线段最短”,最短,即最短.
故桥建立在PD处符合题意.
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
（1）如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
（2）如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
（3）如图c，有一正方体的盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?
（假设苍蝇在Cl处不动）
【答案】
【解析】思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．
（1）连AB,AB与l的交点即为所求的P点.
（2）作A关于l的对称点,连交l于P点,即为所求的点.
（3）把盒面展开,使包含点A和点C1的两个盒面在同一平面内,如图是其中的一种,据两点之间线段最短,只要连接,即可,设与交于点,则就是最短路径.
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，数出各条线上线段的总条数．
【答案】
（1）3条
（2）6条（3）
【解析】分析要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏．
在
（1）中，先数以A为左端点的线段：
AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：
CB，1条．故
（1）中共有3条线段．
同样地，在图
（2）中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条．共计3+2+1=6条．
在（3）中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB．共计4+3+2+1=10条．
从上面的分析可见，当线段上有n个点（包括两端点）时，它上面的线段总共有
（n-1）+（n-2）+…+2+1=
（条）
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】“希望杯”邀请赛试题
【题目】如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点．已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为．
【答案】3
【解析】解:
设,,则,
即:
得:
因为线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数,
所以可以知道x最大为3,
可以知道:
y为小数,不符合;
,符合题意;
y为小数,不符合.
所以.
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（）．
A．n（n一1）B．n2一n+1C．
D．
【答案】D
【解析】如图：
2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+5+…+（n-1）=
个交点．
所以a=
，而b=1，
故选D．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少？
【答案】405°
【解析】由图知：
∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，
∠4+∠8=90°，∴∠1+∠2+…+∠9=405°．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】重庆市竞赛题
【题目】五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：
a握了4次，b握了1次，C握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（）次．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题意：
a→bced，
b→a，
c→ade，
d→ac，
总上可知e→ac，
∴e握了2次，
故答案为：
B
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种方法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来？
（2）现有一个17°的“模板”，能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1°的角来？
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来？
对于
（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．
【答案】得到一个1°的角，设“模板”的角度为α，
假设可由m个α角与n个180°角可以画出1°的角来，则有mα-180n=1．
（1）当α=19°时，取m=19，n=2，即用“模板”连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即可得到1°的角．
（2）当α=17°时，取m=53，n=5，可以得到一个1°的角．
（3）当α=21°时，21m-180n=1无正整数解，故不能用21°的“模板”画出1°的角．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，过点O任作7条直线．
求证：
以O为顶点的角中必有一个小于26°．
【答案】见解析
【解析】分析过点O的7条直线被点O分成14条射线，而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°，只要考虑这14个角即可．
证明：
设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14，
则α1+α2+…+α14=360°．
假设α1+α2+…+α14都不小于26°，则：
α1+α2+…+α14≥364°
与α1+α2+…+α14=360°矛盾．
故α1、α2…α14中必有一个角小于26°．
【知识点】线段和角度
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是（）．
A．1条B．4条C6条D．1条或4条或6条
【答案】D
【解析】注意分类讨论即可
【知识点】线段和角度
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，∠A1OA11是一个平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求∠A11OA10的度数．
【答案】27°
【解析】将条件中的9个等式相加，得：
∠A11OA10-∠A2OA1=9×2°，
即∠A11OA10=∠A2OA1+18°，
又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=
（∠A2OA1+∠A11OA10）×10=180°，
两个方程联立解得∠A11OA10=27°．
【知识点】线段和角度
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲和乙两人同时从A、B两地相向而行（如图7-16），甲骑自行车，乙步行．出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从A地在返回B地的路上在P3处与乙相遇．求证：
P1、P2、P3是AB的四等分点．
【答案】见解析
【解析】乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，
故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，
所以甲的速度是乙速度的3倍．
再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，
则P2P3=AP3，
再由第一次相遇知：
AP1=3P1B，
由此2P2P3+P1P2=3P1B，
故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B．
故P1、P2、P3是线段AB的四等分点．
【知识点】线段和角度
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】第13届“希望杯”邀请赛试题
【题目】．在线段AB上，先在A点标注0，在B点标注2002，这称为第一次操作，然后在AB的中点C处标注
，称为第二次操作；又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半，即
与
，称为第三次操作，照此下去，那么经过11次操作之后，在线段AB上所有标注的数字的和是多少?
【答案】1026025
【解析】解:
根据题意可得第一次操作后标注的所有数字的和为
0+2002=2002
第二次操作后标注的所有数字的和是
2002+1001=3003
第三次操作后标注的所有数字的和是
3003+2002=5005
第四次操作后标注的所有数字的和是
5005+4004=9009
……
每一次操作增加的数值是前一次操作增加数值的2倍,
所以经过11次操作后,所有数字之和为
.
【知识点】线段和角度
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】山东省聊城市中考题
【题目】
（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分?
三条直线可以把平面分成几个部分?
试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分?
试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有n条直线。
每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为
，试研究
与n之间的关系．
【答案】见解析
【解析】解:
（1）如图
（1）,两条直线可以把平面分成3或4个部分;如图
（2）,三条直线可以把平面分成4或6或7个部分;
（2）如图（3）,四条直线最多可以把平面分成11部分;四条直线的位置关系:
四条直线两两相交;
（3）一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,则n条最多可以把平面分成:
因为,
…
以上式子相加整理得,.
【知识点】线段和角度
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】江苏省竞赛题
【题目】某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，BN有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（）．
【答案】A
【解析】解:
当停靠点在A区时,所有员工步行到停靠点路程和是:
当停靠点在B区时,所有员工步行到停靠点路程和是:
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