因式分解法解一元二次方程典型例题.docx
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因式分解法解一元二次方程典型例题
典型例题一
例用因式分解法解下列方程：
（1）y2+7y+6=0;
（2）t（2t—1）=3（2t—1）;⑶（2x—1）（x—1）=1.
解：
（1）方程可变形为（y+1）（y+6）=0y+1=0或y+6=0
二y1=—1,y2=—6
⑵方程可变形为t（2t—1）—3（2t—1）=0
（2t—1）（t—3）=0,2t—1=0或t—3=01
二t1=—,t2=3.
2
（3）方程可变形为2x2—3x=0
x（2x—3）=0,x=0或2x—3=0
X1=0,X2=—
2
说明：
（1）在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令
每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.
⑵应用因式分解法解形如（x—a）（x—b）=c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如（x—e）（x—f）=0的形式，这时才有X1=e，X2=f，否则会产生错误，如（3）可能产生如下的错解：
原方程变形为：
2x—1=1或x—1=1..••X1=1，X2=2.
（3）在方程⑵中，为什么方程两边不能同除以（2t—1），请同学们思考
典型例题二
例用因式分解法解下列方程
6x23、.3x2、2x..6
解：
把方程左边因式分解为：
（2x、3）（3x、.2）0
.2x.30或3x.20
.3
说明：
对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题三
例用因式分解法解下列方程。
2y2y15
解：
移项得：
2y2y150
把方程左边因式分解
得：
（2y5）（y3）0
•••2y50或y30
53
••%2,y23
说明：
在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令
每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题四
例用因式分解法解下列方程
（1）6x213x20；
（2）3（2x1）29（...3x2）20；
分析：
一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零•二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如
（2）符合平方差公式的结构特征.
解：
（1）原方程可变形为
（6x1）（x2）0,
6x10或x20，
12
…x1,x22.
6
（2）原方程可化为
（2.3x,3）2（33x6）20，
即（23x.33一3x6）（2._3x333x6）0，
•（5、3x.36）（、36、、3x）0，
•5.3x.360或.36,3x0，
2,31
x2123.
…Xi
5
说明：
因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用•这种化
未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为
一元方程，也是此法•
典型例题五
例用因式分解法解方程：
（1）x25x360；
（2）2（2x3）23（2x3）0；
（3）x2（22、、2）x3220；
（4）y2（2、33..2）x660.
分析：
用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为AB0的形式，然后通过A0或B0,求出xi,x2.
解：
（1）（x9）（x4）0，
x90或x40.
x-i9,x24.
（2）（2x3）（4x63）0，
即（2x3）（4x9）0.
•••2x30或4x90，
•%
39
严
（3）
（x1）x（32.2）
0，
即x
10或x（32.2）
0
•x1
1,x232、.2.
（4）
（y23）（y3.2）
0，
即
y2.30或y3、2
0
•y1
2%/3,y23如'2.
说明：
有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解•
典型例题六
例用适当方法解下列方程：
221
（1）2x250；
（2）5x22（1x）x（x-）；
（3）2（x3）2（x21）4x1；（4）x24、..3x100
（5）3x27x40（用配方法）
解：
（1）移项，得
方程两边都除以2,得解这个方程，得
即
（2）展开，整理，得
方程可变形为
2x2
5，
2x
5
2，
x
5
\2，
x
丄怖，
2
x1210，
X2
丄J10.
2
4x2
x0.
x（4x
1）0
x
0
或4x
10，
洛0,
1
x2；
4x2
16x15
0，
（2x3）（2x5）0
2x30或2x50
35
X12,x22
（4）
va1,b4..3,c10,
（5）
配方，得
解这个方程，得
（x2）（4x1）（x1）（x2）也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移
项后提取公因式，得（x2）[（4x1）（x1）]0，用因式分解法求解，得
2
为2,X2-，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以（x2），这
3
会丢掉一个根x2•也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
典型例题七
例解关于x的方程20m2x211mnx3n20（m0）
解法一：
原方程可变形为
361m2n
典型例题八
例已知m21，试解关于x的方程mx（x2）2（x1）（x1）.
分析由m21，容易得到m3或m1•整理关干x的方程，得
（m1）x22mx30.题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-10时，方程是一元一次方程；当m10时，方程是
一元二次方程。
解：
由m21，得
m13,m21.
2
（m1）x2mx30.
当m3时，原方程为2x26x30,
解得
333,3
xi—^,x2—2—
当m1时，原方程为2x30,解得
3
x.
2
当m3时，x1
3当m1时，x
2
填空题
1•方程（x2）2（x2）的根是
2.方程（x3）（x1）6x4的解是
3•方程（2y1）23（2y1）20的解是
1，Y2
答案：
1.x12,x232.x11、2,x2123.y1
解答题
1.用因式分解法解下列方程：
（1）
（x
2）22x4；
（2）4（x
3）2
x（x
3）0；
（3）
10x
211x
60
7
（4）9（x
2）2
4（x
1）2。
（5）
2x
x0;
（6）
2小
x2x
350;
（7）
2
x
7x10
0；
⑻x2
9x180;
（9）
10x
211x
60
；（10）
2
6x11x7
0.
2.用因式分解法解下列方程：
（1）（x3）（x1）5;
（2）14（x4）29（x4）650；
（3）3（丄x）25（x-）20022
3.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：
（1）x2xk2x0；
（2）x22mxm2n20；
（3）x23mx54m20；（4）15m2x217mx180（m0）；
222
（6）abx（ab）xab0（ab0）
4.
1和2,第三边的数值是方程2x25x30的根,
用适当的方法解下列方程：
（1）
4x2
490；
（2）4x2
9x0;
（3）
2X
x2；（4）x22x
624;
（5）
2X
x10;（6）x2
2.5x20
5.已知三角形的两边分别是
求这个三角形的周长
答案：
1.
（1）X12,X20；
（2）X13,X24;
（3）捲
（4）人8,X2
（5）X10,X21（6）X1
5,X27（7）X1
2,x25（8）x-i
3,x26
（9）X1
21
5（10）X11,X2
2
X2
4-
3
41
2,
X2
7
X2
2.
（1）X1
（2）X1
（3）X1
X2
3.
（1）x1
0,X2
k21
（2）x
m
2
9
b
X1
X2
（5）
X1
X2
3m
5m
a
4.
（1）X1
7
X2
7
（2）
X1
0,
2
2
n,x2mn（3）x16m,x29m（4）
a
b.
9
x2（3）x12,x21（4）x126,
4
x224（5）x1
1..5
丁，X2
（6）Xi
..5..3,x2..5、3
5•提示：
三角形两边之和大于第三边，三角形周长为4.5.
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