因式分解法解一元二次方程典型例题.docx

1、因式分解法解一元二次方程典型例题典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1)y2+ 7y+ 6= 0; (2) t(2t 1) = 3(2t 1); (2 x 1)( x 1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0 y +1 = 0 或 y+ 6=0二 y1= 1, y2 = 6方程可变形为t(2t 1) 3(2t 1) = 0(2t 1)( t 3) = 0, 2t 1 = 0 或 t 3 = 0 1二 t 1= , t 2= 3.2(3)方程可变形为2x2 3x= 0x(2x 3) = 0, x = 0 或 2x 3= 0X1= 0, X2 =2说明：(1)在用

2、因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般 式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就 是原方程的两个解了. 应用因式分解法解形如(x a)( x b) = c的方程，其左边是两个一次因 式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x e)( x f) = 0的形式，这时才有 X1= e，X2 = f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x 1= 1 或 x 1 = 1 . X1= 1，X2 = 2.(3)在方程 中，为什么方程两边不能同除以(2t 1)，请同学们思

3、考典型例题二例用因式分解法解下列方程6x2 3、.3x 2、2x .6解：把方程左边因式分解为：(2x 、3)(3x 、.2) 0.2x . 3 0 或 3x . 2 0.3说明：对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形 式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解下列方程。2y2 y 15解：移项得：2y2 y 15 0把方程左边因式分解得：(2y 5)(y 3) 0 2y 5 0或 y 3 05 3% 2, y2 3说明：在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般 式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右边为零时，则可令每

4、一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解 就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程(1)6x2 13x 2 0；(2)3(2x 1)2 9( . 3x 2)2 0 ；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项 式，右边是零二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式 的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如(2) 符合平方差公式的结构特征.解：(1)原方程可变形为(6x 1)(x 2) 0,6x 1 0 或 x 2 0，12x1 ,x2 2.6(2)原方程可化为(2 .3x ,3)2 (3

5、 3x 6)2 0，即(2 3x .3 3 一 3x 6)(2 ._3x 3 3 3x 6) 0，(5、3x .3 6)(、3 6 、3x) 0，5.3x . 3 6 0 或.3 6 , 3x 0，2,3 1,x2 1 2 3.Xi5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用 这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想” .事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法典型例题五例 用因式分解法解方程：(1)x2 5x 36 0 ；(2)2(2x 3)2 3(2x 3) 0 ；(3) x2 (2 2、2)x 3 2 2 0 ；(4) y2 (2、3 3 .2)x 6 6 0.

6、分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为 A B 0的形式，然 后通过A 0或B 0 ,求出xi,x2.解：(1)(x 9)(x 4) 0，x 9 0或 x 4 0.x-i 9,x2 4.(2)(2x 3)(4x 6 3) 0，即(2x 3)(4x 9) 0 . 2x 3 0 或 4x 9 0， %3 9严(3)(x 1) x (3 2.2)0，即x1 0或 x (3 2.2)0 x11,x2 3 2、.2 .(4)(y 2 3)(y 3.2)0，即y 2 .3 0 或 y 3、20 y12%/3, y2 3如2 .说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法,

7、 也可将之和因式分解法求解典型例题六例 用适当方法解下列方程：2 2 1(1)2x2 5 0 ； (2)5x 2 2(1 x) x(x -)；(3)2(x 3) 2(x2 1) 4x 1 ； ( 4)x2 4、.3x 10 0(5)3x2 7x 4 0 (用配方法)解：（1）移项，得方程两边都除以2,得 解这个方程，得即（2） 展开，整理，得方程可变形为2x25，2 x52，x5 2，x丄怖，2x1 210，X2丄 J10.24x2x 0.x(4x1) 0x0或4x1 0，洛0,1x2 ；4x216x 150，(2x 3)(2x 5) 02x 3 0 或 2x 5 03 5X1 2,x2 2(

8、4)v a 1,b 4.3,c 10,(5)配方，得解这个方程，得(x 2)(4x 1) (x 1)(x 2)也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得(x 2)( 4x 1) (x 1) 0，用因式分解法求解，得2为2, X2 -，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以 (x 2)，这3会丢掉一个根x 2 也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.典型例题七例 解关于x的方程20m2x2 11mnx 3n2 0 ( m 0)解法一：原方程可变形为361m2 n典型例题八例已知m 2 1，试解关于x的方程mx(x 2) 2 (x 1)(x 1).分析 由m2 1，容易

9、得到m 3或m 1 整理关干 x的方程，得(m 1)x2 2mx 3 0 .题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次 项系数要进行讨论，当m-1 0时，方程是一元一次方程；当m 1 0时，方程是一元二次方程。解：由m2 1，得m1 3, m2 1.2(m 1)x 2mx 3 0.当m 3时，原方程为2x2 6x 3 0 ,解得33 3 ,3xi ,x2 2当m 1时，原方程为 2x 3 0, 解得3x .2当 m 3 时，x13 当m 1时，x2填空题1 方程(x 2)2 (x 2)的根是 2.方程(x 3)(x 1) 6x 4的解是 3方程(2y 1)2 3(2y 1) 2 0 的解

10、是 1，Y2答案：1. x1 2, x2 3 2 . x1 1 、2, x2 1 2 3 . y1解答题1.用因式分解法解下列方程：(1)(x2)2 2x 4；(2) 4(x3)2x(x3) 0 ；(3)10x2 11x6 07(4) 9(x2)24( x1)2。(5)2 xx 0 ;(6)2 小x 2x35 0;(7)2x7x 100 ；x29x 18 0 ;(9)10x2 11x6 0；(10)26x 11x 70.2.用因式分解法解下列方程：(1) (x 3)(x 1) 5 ; (2) 14(x 4)2 9(x 4) 65 0 ；(3)3(丄 x)2 5(x -) 2 0 0 2 23.

11、用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：(1)x2 x k2x 0 ； (2)x2 2mx m2 n2 0 ；(3) x2 3mx 54m2 0 ； (4) 15m2x2 17mx 18 0 (m 0)；2 2 2(6)abx (a b )x ab 0 (ab 0)4.1和2,第三边的数值是方程2x2 5x 3 0的根,用适当的方法解下列方程：(1)4x249 0 ； (2) 4x29x 0 ;(3)2 Xx 2 ； (4) x2 2x624 ;(5)2 Xx 1 0 ; (6) x22 . 5x 2 05.已知三角形的两边分别是求这个三角形的周长答案：1 . ( 1) X1 2, X2 0

12、；(2) X1 3, X2 4;(3)捲(4)人 8, X2(5) X1 0 , X2 1 (6) X15 , X2 7 (7) X12 , x2 5 (8) x-i3, x2 6(9) X12 15 ( 10) X1 1 , X22X24 -3412,X27X22. (1) X1(2) X1(3) X1X23. (1) x10 , X2k2 1 (2) xm29bX1X2(5)X1X23m5ma4. (1) X17X27(2)X10 ,22n , x2 m n (3) x1 6m , x2 9m (4)ab .9x2 (3) x1 2, x2 1 (4) x1 26 ,4x2 24 (5) x11 . 5丁，X2(6) Xi.5 .3 , x2 . 5 、35 提示：三角形两边之和大于第三边，三角形周长为 4.5.