信息安全数学基础考试复习题.docx
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信息安全数学基础考试复习题
第一章
27证明：
如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么（ab,c）=（a,b）（a,c）
证明：
由题（a,b）=1=（a,c）,因为a,b,c互素，所以（ab,1）=1,所以（ab,c）=（a,b）（a,c）
28求最大公约数
（1）（55,85）
解：
85=55*1+3055=30*1+2525=5*5所以（55,85）=5
（2）（202,282）
解：
282=202*1+80202=80*2+4280=42*1+3842+38*1+438=4*9+24=2*2所以（202,282）=2
29求最大公因数
（1）（2t-1,2t+1）
解：
2t+1=（2t-1）*1+22t-1=2*（t-1）+1t-1=（t-1）*1所以（2t-1,2t+1）=1
（2）（2n，2（n+1））
解：
2（n+1）=2n*1+22n=2*n所以（2n，2（n+1））=2
32运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=（a,b）
（1）1613,3589
3589=1613*2+3631613=363*4+161363=161*2+41161=41*3+3841=38*+338=3*12+23=2*1+12=1*1+1
所以（1613,3589）=1
1=3-1*2=3-1*（38-3*12）=14*4-14*（161-3*41）=-14*161+55*（363-2*161）=55*363+（-124）*（1613-4*363）
=（-124）*1613+551*（3589–2*1613）=551*3589+（-1226）*1613
所以S=-1226t=551
（2）2947,3772
50求最小公倍数
（1）8,60
（3）49,77
解：
77=49*1+2849=28*1+2128=21*1+721=7*3所以（49，77）=7
所以[49,77]=49*77/7=539
51求最大公因数与最小公倍数
（1）22335577,27355372
解：
所以（22335577,27355372）=22335372[22335577,27355372]=27355577
（2）23571113，2*3*5*7*11*13
解：
（23571113，2*3*5*7*11*13）=2*5*7
[23571113，2*3*5*7*11*13]=23*3*57*7*113*13
60求7x+4y=100的整数解
解：
因为（7,4）|100所以该方程有解
当x=4，y=18时，7x+4y=100成立
所以方程的整数解为
X=4-4tt=0,+1,+-2,……
y=18+7t
第二章
62008年5月9日是星期五，问第220080509天是星期几？
8设p是素数，证明：
如果a2≡b2（modp）则p|a-b或p|a+b
10设整数a,b,c（c>0）,满足a≡b（modc）,求证：
（a,c）=（b,c）
16计算232（mod47），247（mod47），2200（mod47）
解：
1）设m=47，b=2，令a=1，将32写成二进制32=25
n0=0，a0=a=1b1=b2≡4（mod47）
n1=0，a1=a0=1b2=b12≡16（mod47）
n2=0，a2=a1=1b3=b22≡21（mod47）
n3=0，a3=a2=1b4=b32≡18（mod47）
n4=0，a4=a3=1b5=b42≡42（mod47）
n5=1，a5=a4*b5≡42（mod47）
2）由费马小定理得247≡2（mod47）
3）2200=24*47+12（mod47）=216（mod47）=18（mod47）
22运用wilson定理，求8*9*10*11*12*13（mod7）
24计算31000000（mod7）
解：
因为36≡1mod7所以31000000=36*166666+4（mod7）≡34（mod7）≡4（mod7）
35证明：
如果p和q是不同的素数，则pq-1+qp-1≡1（modpq）
36证明：
如果m和n是互素的整数，则mΨ（n）+nΨ（m）≡1（modmn）
第三章
1求求出下列一次同余方程的所有解
（1）3x≡2（mod7）
（2）6x≡3（mod9）
解：
因为（6,9）=313所以原同余式有解
同余式6x≡3（mod9）的一个特解x0≡2（mod9）所以所有解为x≡2+3t（mod9）t=0,1,2
即x≡2,5,8（mod9）
8求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1
解：
由题意得：
x≡1mod2x≡1mod3x≡1mod5x≡1mod7x=11k①
M=2*3*5*7=210M1=3*5*7=105M1’M1≡1mod2→M1’=1
M2=2*5*7=70M2’M2≡1mod3→M2’=1
M3=2*3*7=42M3’M3≡1mod5→M3’=1
M4=2*3*5=30M4’M4≡1mod7→M4’=4
X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1（mod210）≡1②
由①②得x=2101……解非唯一
第四章
10计算下列勒让德符号
1）（17/37）2）（151/373）3）（191/397）4）（911/2003）
16判断下列同余方程是否有解
1）x2≡7（mod227）
25求所有素数p使得与5为模p的二次剩余
解：
由题意得：
x2≡5（modp）
因为5/p=（-1）（5-1）（p-1）/（2*2）*（p/5）=（-1）p-1（p/5）
所以当p=2时，（5/2）=（1/2）=1即p=2成立当p=3时，（5/3）=（2/3）=-1,即p=3不成立
所以p=2.
连分数
连分数定理
使用Shanks小步大步法计算离散对数
2是F101的一个本原元，在F101中求log23
解：
m=[
]=10
（mod101）
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
yj
1
2
4
8
16
32
64
27
54
7
y=3穷搜：
i
0
1
2
3
4
5
6
……
y*2-pi
3
94
50
18
59
98
7
……
所以y*2-10*6≡29→3=269→log23=69
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