信息安全数学基础考试复习题.docx

1、信息安全数学基础考试复习题第一章27 证明：如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么（ab,c)=(a,b)(a,c)证明：由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以（ab,1）=1, 所以（ab,c)=(a,b)(a,c)28 求最大公约数（1）（55,85）解：85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以（55,85）=5（2）（202,282）解：282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以（202,282）=229 求最大公因数（1）（2t-1,2t+1）解：2t+1

2、=（2t-1）*1+2 2t-1=2*（t-1）+1 t-1=（t-1）*1 所以（2t-1,2t+1）=1（2）（2n，2（n+1）解： 2（n+1）=2n*1+2 2n=2*n 所以（2n，2（n+1）=232 运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b)(1) 1613,35893589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+3 38=3*12+2 3=2*1+1 2=1*1+1所以（1613,3589）=11=3-1*2=3-1*（38-3*12）=14*4-14*（161-3*41）= - 1

3、4*161+55*（363 - 2*161）=55*363+（-124）*（1613 - 4*363） =(-124)*1613+551*(3589 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以S=-1226 t=551(2) 2947,377250 求最小公倍数 （1）8,60（3）49,77 解：77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以（49，77）=7 所以49,77=49*77/7=53951 求最大公因数与最小公倍数（1）22335577,27355372解：所以（22335577,27355372）=22335372 22

4、335577,27355372=27355577（2）23571113，2*3*5*7*11*13解：（23571113，2*3*5*7*11*13）=2*5*7 23571113，2*3*5*7*11*13=23*3*57*7*113*1360 求7x+4y=100的整数解解：因为 (7,4)|100 所以该方程有解当x=4，y=18时，7x+4y=100成立所以方程的整数解为X=4-4t t=0,+1,+ -2,y=18+7t第二章6 2008年5月9日是星期五，问第220080509天是星期几？8 设p是素数，证明：如果a2b2(mod p) 则p|a-b或p|a+b10 设整数a,b,

5、c(c0),满足ab(mod c),求证：（a,c）=(b,c)16 计算232(mod 47)，247（mod 47），2200(mod 47)解：1）设m=47，b=2，令a=1，将32写成二进制 32=25n0=0，a0=a=1 b1=b24(mod 47)n1=0，a1=a0=1 b2=b1216(mod 47)n2=0，a2=a1=1 b3=b2221(mod 47)n3=0，a3=a2=1 b4=b3218(mod 47)n4=0，a4=a3=1 b5=b4242(mod 47)n5=1，a5=a4*b542(mod 47)2)由费马小定理得2472(mod 47)3)2200=2

6、4*47+12(mod 47)=216(mod 47)=18(mod 47)22 运用wilson定理，求8*9*10*11*12*13（mod 7）24 计算 31000000（mod 7）解：因为361 mod 7 所以31000000=36*166666+4（mod 7）34（mod 7）4（mod 7）35 证明：如果p和q是不同的素数，则pq - 1+qp - 11(mod pq)36 证明：如果m和n是互素的整数，则m(n)+n(m)1(mod mn)第三章1 求求出下列一次同余方程的所有解（1）3x2（mod 7）（2）6x3（mod 9） 解：因为（6,9）=313 所以原同余

7、式有解 同余式6x3（mod 9）的一个特解x02（mod 9）所以所有解为x2+3t（mod 9） t=0,1,2 即x2,5,8（mod 9）8 求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1 解：由题意得：x1 mod 2 x1 mod 3 x1 mod 5 x1 mod 7 x=11k M=2*3*5*7=210 M1=3*5*7=105 M1M11mod 2 M1=1 M2=2*5*7=70 M2M21mod 3 M2=1 M3=2*3*7=42 M3M31mod 5 M3=1 M4=2*3*5=30 M4M41mod 7 M4=4 X=105*1*1+70*1*1+42*3*1

8、+3*4*1(mod 210)1 由得x=2101解非唯一第四章10 计算下列勒让德符号1）（17/37） 2)(151/373) 3)(191/397) 4)(911/2003)16 判断下列同余方程是否有解1） x27（mod 227）25 求所有素数p使得与5为模p的二次剩余 解：由题意得：x25（mod p） 因为5/p=(-1)(5-1)(p-1)/(2*2)*(p/5)=(-1)p-1(p/5) 所以当p=2时，（5/2）=(1/2)=1 即p=2成立 当p=3时，（5/3）=(2/3)= - 1,即p=3不成立所以p=2.连分数连分数定理使用Shanks小步大步法计算离散对数2是F101的一个本原元，在F101中求log23解：m=10(mod 101)j0123456789yj124816326427547 y=3穷搜：i0123456y*2-pi394501859987所以y*2-10*6 293=269log23=69