人教版初二上数学第28讲全等三角形教师版.docx
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人教版初二上数学第28讲全等三角形教师版
全等三角形概念和性质
1、知识与能力:
理解全等三角形及相关概念,能够从图形中寻找全等三角形,探索并掌握全等三角形的性质,能够利用性质解决简单的问题。
2、过程与方法:
在探索全等三角形性质的过程中,体会研究问题的方法,感受图形变化途径。
3、情感、态度与价值观:
培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。
1.全等形
(1)定义:
能够________的两个图形叫做全等形。
理解要点:
图形的全等与他们的位置无关,只要满足能够完全重合即可;而完全重合包含两层意思:
图形的________、________;全等形的周长、面积分别相等,但周长或面积相等的两个图形不一定全等。
(2)几种常用全等变换的方式:
平移、翻折、旋转。
2.全等三角形及相关的概念
(1)全等三角形的定义:
能够________的两个三角形叫做全等三角形。
(2)全等三角形对应元素:
把两个全等的三角形重合到一起,①对应顶点:
重合的顶点;②对应边:
重合的边;③对应角:
重合的角。
(3)全等三角形的表示方法:
两个三角形全等用符号“≌”来表示,如图所示△ABC≌△DEF。
符号“≌”的含义:
“∽”表示_______,“=”表示________,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等。
(4)全等三角形的书写:
①字母顺序确定法:
根据书写规范,按照对应顶点确定对应边,对应角,如△CAB≌FDE,则AB与__、AC与__、BC与__是对应边,∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角;②图形位置确定法:
公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角;③图形大小确定法:
两个全等三角形的最大的边(角)是________,最小的边(角)是对应边(角)。
(5)对应边(角)与对边(角)的区别:
对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边,两个角的关系;而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。
对边是与对角相对的边,对角是与边相对的角。
易错提示:
记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,字母顺序不能随意书写。
3.全等三角形的性质
性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
还具备:
全等三角形的对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角平分线相等;全等三角形的_________、_________。
易错提示:
周长相等的两个三角形不一定全等,面积相等的两个三角形也不一定全等。
参考答案
1.完全重合形状相同大小相等
2.完全重合形状相同大小相等DEDFEF对应边(角)位置关系
3.周长相等面积也相等
1.全等三角形对应角相等,对应角相等
【例1】如图是“人”字形屋梁,AB=AC.现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁,工人师傅取BC的中点D,然后在A,D之间竖支柱AD.那么这根AD符合“垂直”的要求吗?
为什么?
【解析】AD⊥BC符合要求,理由如下:
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD⊥BC.
练1.如图所示,已知:
A,C,F,D四点在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:
AB∥DE.
【解析】先根据SSS证明两三角形全等,由三角形全等的性质得出:
∠A=∠D,即可证明AB∥DE.
证明:
∵AF=DC,
∴AF-CF=DC-CF.
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠A=∠D.
∴AB∥DE.
练2.已知:
如图所示,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,求证:
∠C=∠A.
【解析】连接BD,在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠C=∠A.
练3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,求证:
∠A+∠D=180°.
【解析】证明:
连接AC,在△ADC与△CBA中,
∴△ADC≌△CBA(SSS),
∴∠ACD=∠CAB,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°.
【例2】如图,△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为( )
A.40°B.35°C.30°D.25°
【解析】:
∵∠B=80°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°-80°-30°=70°,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠DAE=∠BAC=70°,
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC,
=70°-35°,
=35°.
答案:
B
练4.如图,若△ABC≌△AEF,则对于结论:
(1)AC=AF;
(2)∠FAB=∠EAB;(3)EF=BC;(4)∠EAB=∠FAC.其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】∵△ABC≌△AEF,
∴AC=AF,EF=BC,∠EAF=∠BAC,故
(1)(3)正确,
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF,
即∠EAB=∠FAC,故(4)正确,
只有AF平分∠BAC时,∠FAB=∠EAB正确,故
(2)错误.
综上所述,正确的是
(1)(3)(4)共3个.
答案:
C
【例3】.如果△ABC≌△ADC,AB=AD,∠B=70°,BC=3cm,那么∠D=______,DC=________.
【解析】:
∵△ABC≌△ADC,
∴∠D=∠B=70°,
DC=BC=3cm.
答案:
70°;3cm
练5.如图,如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm,∠E=∠B,则AC=____cm.
【解析】:
DF=32-DE-EF=10cm.
∵△ABC≌△DEF,∠E=∠B,
∴AC=DF=10cm.
练6.(2014秋•涞水县期末)如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为()
A.50°B.30°C.80°D.100°
【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB,则∠D=∠B=30°.
解:
∵OA=OC,OD=OB,∠AOD=∠COB,
∴△AOD≌△COB(SAS),
∴∠D=∠B=30°.
故选B.
【例4】如图,若△OAD≌△OBC,且∠0=65°,∠BEA=135°,求∠C的度数。
【解析】:
∵△OAD≌△OBC,
∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,
∵∠0=65°,
∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C,
在四边形AOBE中,∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°,
∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°,
解得∠C=35°
答案:
∠C=35°
练7.如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
【解析】:
∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠DFE=∠ACB=100°,EF=BC,
∴EF-CF=BC-CF,即EC=BF,
∵BF=2,
∴EC=2.
答案:
∠DFE=100°;EC=2.
【例5】(2015凉山州一中月考)若△ABC≌△DEF,△ABC的周长为100,AB=30,EF=25,则AC=()
A、55B、45C、30D、25
【解析】三角形全等的性质:
周长相等,对应边相等。
∵△ABC≌△DEF
∴EF=BC=25
∴AC=100-AB-BC
=45
答案:
B
练8.(2015鹰潭一中月考)如图,△ABC≌△ADE,且∠EAB=120°,∠B=30°,∠CAD=10°,∠CFD=______°
【解析】∵△ABC≌△ADE
∴∠DAE=∠BAC=(120º-10º)/2=55º
∴∠CFA=180º-30º-10º-55º
=95º
∴∠CFD=180º-∠CFA=85º
答案:
85º
总结:
全等三角形对应角相等,三角形内角和180º的性质,互为补角的两个角和为180º.
【例6】(2014湖北新县大王镇中学期中)如图,△ABD≌△CBD,若∠A=80°,∠ABC=30°,则∠ADC的度数为()
A.160°
B.110°C.140°D.120°
【解析】∵△ABD≌△CBD
∴∠ABD=∠CBD=30º
∵∠A=80°
∴∠C=80º
∴∠ADC=360º-30º-80º-80º=170º
练9.如图:
△ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出x=___________.
【解析】∵△ABC≌△DEF
∴∠E=∠B=50º
答案:
50º
练10.(2015镇江枫叶国际学校月考)如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=55°,∠E=50°,BC=10,CE=7,则∠D=;∠2=;CF=.
【解析】
∵△ABC≌△DEF
∴∠D=∠A=55º
∠1=180º-∠D-∠E=75º
EF=BC
∴CF=EF-CE=3
答案:
55º75º3
1.(2014-2015北京七中第一学期期中)如图,已知△ABC的六个元素,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙
2.(2014-2015北京市第三十一中第一学期期中考试)如图所示,
a,b,c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
3.(2014-2015北京市第四十四中学第一学期期中)如图,△ABC≌△CDA,∠BAC=85°,∠B=65°,则∠CAD度数为()
A.30°B.65°C.40°D.85°
4.如图所示,△AOB≌△COD,∠AOB=∠COD,∠A=∠C,则∠D的对应角是_______,图中相等的线段有___________.
5.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),△OA′B′≌△OAB,A′在x轴上,则点B′的坐标是__________.
6.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18cm2,则EF边上的高的长是____cm.
7.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(5,5),C(5,2),存在点E,使△ACE和△ACB全等,写出所有满足条件的E点的坐标___________.
8.如图,△ABC≌△DCB,AC与BD相交于点E,若∠A=∠D=80°,∠ABC=60°,则∠BEC等于___________.
_________________________________________________________________________
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一、选择题
1.(2015太原一中月考)如图1,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为( )
A.20°B.30°C.35°D.40°
2.(2014铜仁地区五中期末)如图2,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是()
A.5B.4C.3D.2
3.(2014黑龙江齐齐哈尔一中期末)如图3,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
图1图2图3
4.(2014-2015北京市第四十一中学第一学期期中)已知:
如图,ΔABD≌CDB,若AB∥CD,则AB的对应边是()
A.DBB.BCC.CDD.AD
图4图5
5.已知:
如图,ΔABD≌CDB,若AB∥CD,则AB的对应边是()
A.DBB.BCC.CDD.AD
二、填空题
6.(2014-2015北京市第四十一中学第一学期期中)如图6,已知△ABE≌△DCE,AE=2cm,BE=1.5cm,∠A=25°,∠B=48°;那么DE=_____cm,EC=_____cm,∠C=_____°;∠D=_____°
图6
7.全等三角形的对应边_____,对应角_____,这是全等三角形的重要性质.
8.如果ΔABC≌ΔDEF,则AB的对应边是_____,AC的对应边是_____,∠C的对应角是_____,∠DEF的对应角是_____.
图9
9.如图9所示,ΔABC≌ΔDCB.
(1)若∠D=74°∠DBC=38°,则∠A=_____,∠ABC=_____
(2)如果AC=DB,请指出其他的对应边_____;
(3)如果ΔAOB≌ΔDOC,请指出所有的对应边_____,对应角_____.
图10
10.如图10,已知△ABE≌△DCE,AE=2cm,BE=1.5cm,∠A=25°,∠B=48°;那么DE=_____cm,EC=_____cm,∠C=_____°;∠D=_____°.
11.一个图形经过平移、翻折、旋转后,_____变化了,但__________都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形。
12.下列命题中,真命题的个数是()
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A.4B.3C.2D.1
13.如图13,△ABC≌△BAD,A和B、C和D是对应顶点,如果AB=5,BD=6,AD=4,那么BC等于()
A.6B.5C.4D.无法确定
图13图14图15
14.如图14,△ABC≌△AEF,若∠ABC和∠AEF是对应角,则∠EAC等于()
A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC
15.如图15,△ABC≌ΔADE,若∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为()
A.40°B.35°C.30°D.25°
二、填空题
16.如图16,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,则∠α的度数为______.
17.已知:
如图17所示,以B为中心,将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD,若∠E=35°,求∠ADB的度数.
图17图16图18
18.已知:
如图18,△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度数与DH的长;
(2)求证:
AB∥DE.
参考答案
当堂检测
1.B2.B3.A4.∠OBA,OA=OC、OB=OD、AB=CD
5.(3,-2)
6.6
7.(1,5)或(1,-1)或(5,-1)
8.100°
家庭作业
1.B2.B3.D4.C5.C
6.21.54825
7.相等相等
8.DEDF∠F∠ABC
9.78º68ºAB=DCBC=CBAB=DCAO=DOBO=CO
10.21.548º25º
11.位置形状和大小
12.B13.B14.C15.B
16.70º
17.∵RT△EBC旋转得到RT△ABD,
∴∠ADB=∠ECB
∵∠E=35º
∴∠ADB=90º-35º=55º
18.
(1)∵△ABC≌△DEF
∴∠F=∠ACB=180º-∠A-∠B
=180º-85º-60º=35º
DE=AB=8
∵EH=2
∴DH=DE-EH=6
(2)∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC=∠EBF
∴AB‖DE