人教版小学数学二年级下册数与代数部分教材解析.docx
《人教版小学数学二年级下册数与代数部分教材解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版小学数学二年级下册数与代数部分教材解析.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
人教版小学数学二年级下册数与代数部分教材解析
培养数感突出关系
二年级下册有关数与代数内容包括第二单元表内除法
（一）及第四单元表内除法
（二），第五单元混合运算，第六单元有余数除法，第七单元万以内数的认识。
（第一单元数据收集整理第三单元图形的运动、第八单元克与千克及第九单元数学广角由梁佩佩老师来解读）修改后的教材和实验教材相比较，应该说变化还是蛮大的，在内容的编排上既有大的调整，也有小的调整。
一、大调整与大改变
（一）去掉了实验教材第一单元的解决问题
修订后的教材对解决问题作了系统的安排，在每一单元教学内容中都安排了有关“解决问题”的教学例题，试图把“结合各部分知识安排应用所学数学知识解决问题的内容”落到实处。
（出示各单元的框架图）去掉原有的两个“解决问题”单元（二下、三下）。
（二）新增两个单元
大家可以看到为了完善教材的结构体系，本册教材新增加了两个单元，把四下的四则运算和三上的有余数除法都移到了本册教学。
（三）“倍的认识”后移修订后的教材将实验教材分散在二年级表内乘除法中有关“倍”的知识集中安排在学生学习表内乘除法之后，后移至三年级上册并且单独成为一个单元。
（四）万以内数的加法和减法
（一）后移到三年级上册。
接下来我们先来具体解读新增的这两个单元
第五单元混合运算
出示本单元框架图前3个例题分别教学同级运算的顺序、含有两级运算的顺序以及含有小括号的算式的运算顺序，例4解决问题是较简单的两步计算的问题。
调整原因：
1．注重已有知识基础。
学生在学习这个单元前已经学习过混合运算的内容，比如说一年级时的连加、连减及加混合运算，在二年级上册学习乘法时接触到了乘加、乘减。
学生已经有了简单的四则运算的基础，在此基础上学习四则运算的顺序，体现了知识的整理性，有助于学生形成更合理的知识结构。
再则体现了知识的迁移，比如说小括号的作用内容的教学。
2．适当与解决问题分开。
如果和解决问题放在一起，数量关系比较复杂，学生既要理解数量关系，又要寻找解决问题的策略，还要了解四则运算的顺序，难点比较集中。
（课件出示实验教材第一单元解决问题）
这样在学习了混合运算的顺序后再教学解决问题，学习利用混合运算的运算顺序，把解决问题中需要多步计算的过程用一个综合算式表示出来，拓展解决问题的内容，获得解决问题的策略，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
例1的教学
在情境中回忆首先利用情境图，通过简单的实际问题引入，唤起学生对以前学过的加减混合运算顺序的回忆。
列综合算式，用递等式算在解决问题的过程中，有的学生列出了综合算式，借由学生的算式，介绍综合算式的概念。
由于以前数值比较小，学生的书写能力不是很强，原来是直接写出得数的。
现在，所列的综合算式，不仅数值变大了，而且为了明确运算顺序，在这里重点教学脱式计算，并用符号标出运算顺序——先算什么，再算什么。
通过这样的方式让学生理解怎样进行脱式计算以及认识了综合算式。
扩展到乘除混合运算
到这里为止其实都是学生熟悉的内容，后面的乘除混合以及连乘连除是学生没有接触过的，教材直接呈现混合运算的算式，利用知识的迁移，让学生试算。
总结在学生试算后给出数学上的规定。
因此，在教学时，老师们可以不用让学生去探索，在让学生试算后直接给出就可以了。
在这里，提出一个供大家讨论与思考的问题，修订教材利用知识的迁移来学习乘除混合的运算顺序，这样的编排是否合理？
（我认为从加减混合运算到乘除混合运算，修订教材的编写还不如实验教材处理得好。
实验教材突出了运算顺序的合理性，而修订教材突出的是数学的规定性。
尽管修订教材编写的导向是让学生通过加减混合运算顺序的推理得出乘除的混合运算顺序，但总使人觉得有点牵强和别扭，有点强词夺理的味道——如果学生问15÷3×5为什么一定要先算15÷3，而不是先算3×5呢？
该怎么回答？
更加奇怪的是加减混合是学生已经熟知的内容，反而有具体的情景引入，而乘除混合对于学生来说是陌生的，却只有抽象的综合算式让学生去思考，岂非怪事。
理由是乘除混合的数量关系比较复杂，学生不容易理解。
那么怎样处理会更好一些呢？
）
例2的教学
情境引入曾教过二年级的老师看到这幅图可能会有似曾相识的感觉，这幅图在原实验教材二上第一单元解决问题时用过。
二年级上册学生已经接触过乘加的内容，在这里再接触乘加的数量关系就不那么复杂了，学生也容易想起来要先算什么，再算什么，自己去探索解决。
唤起经验（乘加小括号）在解决时，教材呈现了学生列式的三种方式：
一、分步计算的。
二是乘加综合算式，这是学生非常熟悉的乘加的内容，学生会很自然地按从左往右的顺序进行计算。
三是含有小括号的加乘算式。
重点是解读第三种算式。
因为学生还不知道含有两级运算的运算顺序，但他根据情境知道要先算乘法，所以就用了小括号来表示要先算乘法，再算加法。
给出规定在这个时候我们老师可以给出数学上的规定，提示学生这个小括号可以不加。
在这里通过含与不含小括号的两个算式的对比，可以使学生体会运算顺序的规定可以保证计算结果的唯一性及追求简洁的数学表达的目的。
紧接着的做一做，突出思考“下面各题第一步要先算什么，把它圈出来”，没有让学生进行实际的计算，突出了对运算顺序的巩固。
例3的教学
扩展例3教学含括号的混合运算的运算顺序。
教材没有给出情境让学生进行迁移，而是让学生回忆有小括号的算式是按怎样的顺序计算的，紧接着把运算顺序的规定扩展到有乘除法混合的内容，这一点学生理解起来应该没有什么难度。
接下来的做一做，第2题以对比的形式呈现，，通过比较让学生进一步认识到小括号的作用——能改变四则混合运算的运算顺序。
第3题这种形式的习题是在修订教材中第一次出现，这种习题形式是对于学生列综合算式的针对性练习，是为例4列综合算式来表达解决过程作了很好的铺垫，这种形式的练习在练习十一中也多次出现（如第6、第8题和第9题）。
我们可以看到修订教材在练习的针对性上加强了很多。
例4的教学
体验过程了解步骤例4教学需要用两步计算才能解决的简单问题，数量关系比较简单，得让学生体验过程，了解步骤，突出的重点是让学生体会到在解决这样的问题时，关键是要找出中间的问题，要明确先算什么，再算什么。
在这道解决问题的过程中，每一个步骤都有要突出的东西。
用图示表示信息分析数量关系我们可以看到，首先在理解信息的步骤里，由于信息的复杂性，学生用色条图来表现所获取的信息，在理解的基础上继续用色条图来表现所知道的信息和要解决的问题，也为后面学习线段图表示信息和问题作好铺垫。
对学生来说，要实现数到形的转换还是有难度的，我们不必要求学生画出规范的线段图，但要注意比例适当。
中间问题在“怎样解答”环节进一步借助色条图分析数量之间的关系，简明、直观地了解要解决问题，必须要先解决隐藏的问题（中间问题）——剩下多少个面包需要烤，也就是没有烤的面包有多少个（我们在教学时也可以进行这样的类似专项训练：
如要解决“剩下的还要烤几次”，那么先要知道什么和什么？
），在这样的基础上通过分步列式以及列综合算式来解决问题，包括在这个过程中怎样运用前面所学的四则运算的知识来列综合算式，在“解答正确吗”环节，，引导学生将求得的结果作为已知条件回到原来的情境中来看看我们是不是解决了问题，以此提醒学生解决问题及时反思的习惯。
这是完整的解决问题的过程。
尽量列综合算式大家要注意从这个单元开始，我们应该要求学生在解决问题时要列综合算式，当然如果有的学生有困难，分步列式也是可以的，但是我们应逐步引导学生用综合算式来表达自己的思路。
写单位名称口答从这册书里我们可以看到，要求学生写出单位名称，答题只需学生口答就可以了。
总结，突出解决此类问题的方法
在例题的最后，大家可以看到对两步计算的问题怎样解决，在思路上给出了总结，突出了解决此类问题的方法。
这一题也体现了对于学生提出和发现问题的能力的培养。
中间问题的提出实际上是对学生比较高的一个提出问题要求的范畴，这一点，我们老师在教学时可以充分加以利用（也可以进行这样的类似专项训练：
如我们要烤90个面包，已经烤了36个，可以提出怎样的数学问题？
还剩下54个面包，每次能烤9个，又可以提出什么样的数学问题等等）。
巩固，中间问题不同，方法不同接下来的做一做是对例题的巩固，同时中间问题不同，方法不同，体现了解决问题方法的多样化，可以培养学生思维的灵活性。
（也可以将两种解答的综合算式用等号连接，用乘法的含义解释左右相等的理由：
3×9－3×6＝3×（9－6），可以结合直观图来讲，渗透乘法的分配性）
第一组
第二组
另外大家可以看到在做一做以及练习中所涉及到的数量关系都是比较简单的，综合算式基本上是两级运算。
第六单元、有余数的除法
出示本单元框架图本单元首先教学有余数除法及余数的含义，还有余数与除数的关系（例1、例2）例3学习除法竖式，例4有余数除法的计算，例5例6安排的是解决问题，分别是进一法和等余问题。
调整原因实验教材将“有余数除法”安排在了“万以内数的认识”与“万以内数的加法和减法
（一）”之后，此时学生已经认识了三、四位数，学习了相关的加减法，接下来的“有余数的除法”单元又涉及两位数除以一位数的除法计算，使得数的认识与运算教学层次不够合理。
修订教材把“有余数除法”从三上移到二下，因为表内除法和有余数除法的联系特别紧密，在具体的平均分的时候就会遇到分不完的情况，这样和表内除法对照，通过操作对比可以使学生更好地理解有余数除法的含义和余数的含义。
主题图
重新设计主题图便于在课堂上操作首先这单元变化最大的是重新设计了主题图，加强了操作性，便于在课堂上操作，通过操作来理解有余数除法的含义以及余数的含义。
为教学提供丰富的素材大家可以看到，图中呈现了用11根小棒摆出下面的图形，各能摆几个，为教学提供丰富的素材，具体的在后面都得到了应用。
例1的教学
加强操作性，在对比中理解在具体学习有余数除法计算之前，让学生进行操作，主要还是通过操作的方式找到商。
并且与表内除法进行对照，在操作对比中去理解有余数除法的含义以及余数的含义。
左边是刚好可以分完的表内除法的算式，右边是可以加以对照的在原来的基础上增加1颗草莓，也是平均分，但是没分完，紧接着结合操作的情境给出有余数除法横式的写法，并且给出了余数的名称。
通过这样的方式，可以让学生充分地理解有余数除法的含义以及余数的含义。
在操作中理解求商在接下来的做一做，教材设计了丰富的让学生进行操作并且写出商和余数的内容，巩固学生对有余数除法的含义以及余数的含义的理解，并且可以初步让学生体会为什么在有的有余数除法中商的单位名称和余数的单位名称不一样。
例2的教学
操作感悟，理解关系例2探索除数与余数的关系，这个内容在原来的实验教材中也有，基本教学思路是一样的，让学生通过逐渐增加小棒的根数摆正方形的活动，让学生在操作过程中列出算式并进行观察，这样可以达到三个教学目的，一是可以巩固有余数除法的含义，二是可以发现余数与除数的关系，三是为后面的试商做好铺垫。
巩固做一做主要把学生关注的重点放在除数上，促进学生对有余数除法含义的理解以及除数与余数关系的理解。
例3的教学
除法竖式操作对比安排除法竖式的内容，这一题的教学仍然是通过操作对比来进行。
一是横式和竖式的对比，通过这个对比可以让学生很清楚地看到竖式商是多少，余数是多少，分完的小棒是多少。
横式里分完的小棒是多少不能直接看出来，而是隐含在横式里面。
二是有余数除法和没有余数除法的对比，通过对比可以让学生很清楚地理解余下来的1和余下来的0分别是什么含义，对于学生理解为什么表内除法的后面写0的意义就非常清楚。
做一做重在让学生借助操作进一步理解除法各部分的含义，巩固除法竖式的写法，以及通过操作得到商和余数。
我们可以看到在这之前商和余数都是让学生通过操作得到的。
例4的教学
例4教学有余数除法的计算。
实验教材淡化了学生计算能力的培养，新标准把“运算能力”重新纳入核心词，计算是基础，修订教材对有余数除法的计算也特别重视，新增试商例题。
教学的关键在于让学生掌握试商的方法，一是、除数和几相乘的积最接近被除数数而小于被除数，二是、余数要比除数小。
在教学过程中例4是教学的难点，学生在实际试商时经常找的商和除数的乘积要么小了，要么大了，找合适的比较困难。
在具体教学例4之前，建议老师们让学生进行一些相对应的练习做铺垫，比如练习十四的第4题就是针对试商的准备性练习。
在具体的教学中，建议老师们让学生多做一些相应的针对性的练习，使学生能更熟练地找到商。
教材也编排了针对性的练习，比如练习十四的第5、6题就是针对试商的巩固性练习，在教学时应充分加以应用。
因为有余数除法计算是后面试商的基础，也是以后学习多位数除以一位数等其他除法的基础，所以在这里打好基础是非常重要的。
例5是解决问题，主要是用进一法来找到问题答案，在原来的实验教材中也有，就不做具体分析。
例6是新增的解决问题的内容，在数学上把它称为等余问题，这时更关心的不是所求的商，而是余数。
例6需要特别强调的是怎样解答的部分，就是分析数量关系的部分。
教材呈现了两种解决问题的方法，第一种是按照找规律的方法继续画的方式，但这样的方式当数量很大的时候找起来就不方便了。
右侧的小孩通过小旗摆的规律，联系所学的知识，得出用除法进行解答，但解答之后，最关键的一点是怎样通过余数来解决问题，需要结合具体的操作。
大家可以看到，在呈现竖式的同时，也呈现了学生分小旗的直观图。
通过直观图让学生很清楚地看到余数是1的时候，说明第16面小旗是一组小旗的第一面小旗，根据规律得出应该是黄色。
有了这个基础就可以按同样的方法来解决做一做。
练习十五里的第4、5题，第11题安排的都是等余问题。
二、微调整与小改进
第二、四单元表内除法
与实验教材相比，表内除法这一部分的内容变化不大，但也有所改进。
新增求商的例题在实验教材表内除法二学习“用7、8、9的乘法口诀求商”只安排了1道例题，而在修订教材中安排了两道，新增了一道，目的是提高口算的速度与正确率。
重编解决问题
1.将需要用两步计算解决的问题移至混合运算单元中进行教学。
（课件出示实验教材第31页的例3和第59页的例4.）
2.设计新的解决问题的例题（第23页的例3和实验教材第29页例3比较）
大家可以看到修订后的教材把平均分的两种情况——等分和包含分以对比的形式进行编排，在这里呈现的仍然是完整的解决问题的过程。
（就是刚才江巧红老师所执教的这节课）
通过对平均分两种情况对比的方式再一次加深对除法含义的认识。
重点需要突出的是对数量关系的分析，也就是怎样解答部分，学生对数量关系的感悟。
让学生读题看图，用示意图将题目中的条件和问题表现出来，便于学生直观感知数量之间的关系。
第一幅图呈现了3个盘，在每个盘下打了个问号，帮助学生理解这是把15只蚕宝宝平均放到3个纸盒里，求每个纸盒放几只，学生可以直接感悟到这是平均分，应该用除法进行计算。
第二种情况图中只出现一个盘，盘里放着5只蚕宝宝，使学生想到要求15里面有几个5，再转化成学生前面对包含分情况的感悟，想到也应该用除法来计算。
通过这样的分析加深学生对除法含义的认识，让学生根据运算的意义选择解决问题的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。
在解答正确吗这一环节，突出了对解决问题整个过程的回顾与反思，通过这样的结果回到情境里，再用画图的方式进行检验，来描述这种数量关系，体现除法的含义。
在最后通过比较让学生发现两个问题不同的地方和相同的地方，目的是加深学生对平均分以及对除法含义的理解，形成相应的数学模型。
延伸：
在解答正确的环节里让学生通过画图来检验，如果没有前面的基础，学生是很难画出来的。
所以在前面教学平均分的含义以及除法的含义时，就非常注重学生的动手能力，让学生画一画，圈一圈。
（课件出示第12页第6题，第13页的第1题第15页的第3题，第16页的第5题）通过画线和圈一圈的方法，让学生进行动手分。
再比如说让学生圈一圈的时候，就可以很清楚地看到多少里面包含有几个几，修订教材不但让学生动手分，还把多少里面包含有几个几用文字的方式呈现出来，不但为后面的分析数量关系提供方便，还为后面教学倍的内容也作了很好的铺垫。
3.新增解决问题的例题（第42页例3）
在表内除法
（二）新增的这一道例题是与表内乘法
（二）的解决问题相对应，是含有价格、数量、总价关系的问题，比较抽象，要求学生在没有操作辅助的情况下，通过分析、理解数量关系并能联系除法的含义加以解决，从而促进抽象思维的发展，提高分析问题和解决问题的能力。
细节上的变化
1.情景图更符合实际主题图由原来的春游图改为参观科技园，因为第二单元教学时，北方还没到春游时间，而参观科技园这种活动不受时间限制。
其次画面上呈现出的分物体的过程，有分好的也有没有分好的，有平均分的也有没有平均分的。
因为如果都呈现平均分好的，这样的主题图和乘法没有太大的区别，体现不出分的含义，也不符合实际，在实际的分中总会出现不能平均分的情况。
2.情景图更直观（第10页例3图和老第15页例3图对比第19页例2图和老第24页例2图对比第38页例1和第39例2图和老的第49页例1图对比。
）
以第38页例1图为例说明可以为学生用乘法口诀求商提供直观形象的支撑，还能沟通乘除法之间的联系，促使利用乘法来计算除法的迁移，这幅图的作用其实跟一年级的一图四式的图的作用差不多。
3.表述上的变化第13页例4和老的第18页例4比较，由原来的可以用除法计算改为可以用除法表示。
因为在这里还没学到除法计算的层面，只是教学除法的含义，除法本身就是用来表示平均分的过程和结果。
所以在这儿改成用除法表示更为确切。
第七单元万以内数的认识
（出示框架图）这个单元内容比较多，共安排了13个例题。
和实验教材相比较，变化最大的是增加了解决问题。
（出示千以内数的认识内容框架图）我们具体来看看千以内数的认识，从数数认识千到千以内数的组成、读写，再到用算盘记数，教材安排了4个例题。
大家可以看到这里增加了实验教材所没有的用算盘记数。
（出示万以内数的认识内容框架图）万以内数的认识内容比较多，大体思路和千以内数的认识比较类似，增加了整理数位顺序表以及读写数方法的总结。
下面我们先来看看和实验教材相比增加的内容。
增加用算盘记数让学生“知道用算盘可以表示多位数”，充分考虑珠算是中国传统文化的要素，算盘是中国的重大发明，体现了十进位值制计数法。
在小学数学教学中，可以借助算盘直观地理解位数，从而认识多位数，但不作计算工具的要求，更不要求学生必备。
算盘最大的特点是：
一颗下珠表示1，一颗上珠表示5。
使用算盘要注意以下两点：
（1）先确定个位。
先任意选定某个档为个位，然后依次左进为十位、百位、千位等。
（2）再用算珠表示数。
个位上的几表示几个一，十位上的几表示几十，……某个数位上是0，则以不拨珠空档表示。
（结合滕老师的课例进行具体阐述）
增加了解决问题例13是把估算的教学作为解决问题的策略来呈现。
在实际教学时，学生容易进入一个误区，学生往往更愿意进行精确计算而不愿意估算，有时给人的感觉就是为了估算而估算。
这道例题安排在这儿，让学生估500元买这两件商品够吗，学生还没学习多位数加法的笔算，不大会精确计算，这就迫使学生用估算来解决。
到底怎么估呢？
这就需要会根据实际问题的需要来采取估的方法。
大家可以看到，教材中左边的小男孩想用精确计算，但还不会算，很自然地就引出用估算的策略来解决问题。
右边的小女孩选近似数的时候是往小的选，往小里选还不够，说明500元不够。
这种方法有没有解决问题呢？
在回顾与反思的阶段，回到原来的情境中去检验。
估算的内容是数学课程改革重点强调的内容之一，修订稿把在第一学段中，将“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”修改为“能结合具体情境选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在生活中的作用”；教材以这样的方式呈现了估算内容，充分地体现了估算问题一定要有“具体的情境”，要让学生感悟结合具体情境“选择适当的单位进行估算”的重要性。
接下来的想一想，情境大致相同，最后采取什么样的估的方法要根据具体情况来定。
在练习中，通过参观的人数、摆椅子的数量、以及礼堂的座位等问题的情境，老师们可以充分加以利用，让学生根据具体情境选择估的方法。
细节上的变化
1.素材的变化修订后的教材在例1中将斜着的“百板（100个方块组成的板）”转成正面，例2
出现的235个绿圆点，例3的1000个彩点，例6的2458颗彩色小星星都是原来的实验教材中所没有的，这些素材的呈现可以让学生切实感受到较大数目物品的规模，有利于学生数感的形成。
例3可以说是一个新增的例题，在实验教材中没有专门认识一千的例题。
教学这一题时，我们可以让学生一百一百地圈，通过计数单位一百去数数。
另外通过数彩点学生可以很清楚地看到1000个这样的点子有多少，使学生对于1000这个数有一个很直观的认识。
另外让学生说说你有什么发现，让学生对1000从多个角度进行认识，突出了计数的本质。
2.数线（数轴）的引入大家可以看到，例3引入了数轴，在这里把抽象的数轴和点子图相对应，让学生对照数轴数彩点，以彩点图使数轴直观化，进一步认识数轴，体会数序，使学生对数的大小有一个感知。
在第86页做一做的第2题也出现了数轴。
数轴的引入也为后面近似数的教学提供了一个很好的工具。
（出示第91页例10）通过这样的数轴，学生可以很清楚地看到近似数的由来是怎样的，也就是怎样得到近似数，看它接近哪个整千、整百，或者几百几十、几千几百等。
3.数位顺序表由原来的多位数认识时教学提前到万以内数认识时出现这主要是根据学生计数单位认识的情况而定的，也使得体系和结构更加完整。
三、教学中需要加强与注意的几点
（一）重视数感的培养
在课程标准中是这么描述数感的：
数感是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
简单通俗地讲数感就是关于数的感觉和理解，它是最朴实的数学素养。
通过数概念的教学培养数感是使学生逐步建立数感的最直接的途径。
本册教材万以内数的认识不仅安排了传统教学万以内概念教学的基本内容，还增加了有助于学生理解一万、三位数、四位数的意义的教学。
（比如通过可容纳一万人的体育馆的主题图，让学生对10000有一个整体的感受。
）
新教材让学生在认识万以内的这些数的过程中感知和经历更多的实例（如上面讲到的点子图、星星图等）使学生更具体更直观地理解万以内数的意义。
在练习中，教材也提供了丰富多彩的练习形式，让学生感受和体验更大的数。
如第80页的第5题，出示1000个方格让学生动手涂出368个小方格。
再如：
第80页第8题第84页第1题，1元、10元、100元一张的钞票，10支一捆的铅笔，100张一捆的明信片等，通过生活中的以“一”“十”“百”为单位的事物，帮助学生直观认识数的结构。
如第80页第7题、第85页第2题，第86页第1题等，给学生提供有关三位数、四位数的具体而生动的实例，让学生结合现实素材感受较大数的含义。
数感的培养可以在数概念教学中培养，也可以在计算教学中培养数感，还可以在解决实际问题中激活数感。
数感是可以“数出来读出来算出来估出来用出来……”
在我们的实际教学中，充分利用教材给我们提供的丰富而有效的素材，以多方面的教学活动，逐步培养发展学生的数感。
（二）重视知识的渗透
数学知识是前后联系的，教材编排的很多例题及练习，就注重了知识的渗透，并为后面的教学做铺垫。
如：
第8页第2题，渗透了第12页的第8题；第16页的第8题渗透了乘除法的关系，为学生学习除法的计算作了很好的铺垫。
第14页的第1题和第16页的第5题，渗透了几里面包含有几个几，为后面分析数量关系以及教学倍的认识作铺垫。
升级会员 