第二十三章旋转.docx

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第二十三章旋转

第二十三章旋转

1．图形的旋转

（一）

预习归纳

1．把一个平面图形绕着平面内某一点O旋转一个角度，叫做图形的___________，点O叫做____________，转动的角叫____________．

例题讲解

【例】（2013·衡阳）如图，在△AOB中，∠AOB＝30°，将△AOB绕点O逆时针旋转100°得到△COD，求∠a的度数．

基础题训练

1．下列现象中属于旋转现象的是（）．

A．钟摆的摆动B．飞机在飞行C．汽车在奔跑D．小鸟飞翔

2．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A'B'C，则∠A'CA的度数为（）．

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图，将Rt△ABC中，∠B＝35°，∠C＝90°，绕点A按顺时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得点C、A、B'在同一条直线上，那么旋转角等于（）．

A．55°B．70°C．125°D．145°

4．（2014·金华）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠AA'B'＝20°，则∠B的度数为（）．

A．70°B．65°C．60°D．55°

5．如图，△ABC为等边三角形，边长为2cm，点D为BC中点，△AEB是△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的．

（1）求∠ABE的度数及线段BE的长；

（2）连DE，求证：

△ADE为等边三角形．

6．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A'B'O，画图并写出点A'的坐标．

中档题训练

7．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可看做是由△AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角a的大小是（）．

A．30°B．45°C．60°D．90°

8．（2014·益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是___________．

9．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）

A．点AB．点BC．点CD．点D　　　　　　　

10．（2013·毕节）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：

△ADE≌△ABF；

（2）填空：

△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度得到；

（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．

综合题训练

11．（2014·遵义）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝

，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，求C'B的长．

2．图形的旋转

（二）

预习归纳

旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离_________；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________；

（3）旋转前后的图形_________．

例题讲解

【例】一个图形经过旋转，有以下结论：

①图形的形状、大小不变；②对应线段相等；③对应线段平行；④旋转角相等．其中正确的结论是（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

基础题训练

1．如图是日本三菱汽车公司的标志，该图形绕点O按下列角度旋转，能与自身重合的是（）

A．60°B．90°C．120°D．180°

2．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）

A．30°B．45°C．90°D．135°

3．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P'BA，则∠PBP'的度数是（）

A．45°B．60°C．90°D．120°

4．（2014·邵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA'，则点A'的坐标是________．

5．如图，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转90°．

6．如图，以点C为中心，把△ABC旋转180°．

7．如图，以点O为中心，把△ABC顺时针旋转120°．

8．（2014·陕西）如图，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD'，此时A'D'与CD交于点E，求DE的长度．

中档题训练

9．（2014·哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A＇与点A是对应点，点B＇与点B是对应点，连接AB'，且A、B'、A＇在同一条直线上，则AA'的长为（）

A．6B．4

C．

D．3

10．（2013·铁岭）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD＝_______．

11．（2014·随州）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是（）．

A．AE∥BCB．∠ADE＝∠BDC

C．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是9

12．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长．

综合题训练

13．（2014·兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．

①求证：

△BCE是等边三角形；

②求证：

DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

3．中心对称

预习归纳

1．把一个图形绕着某一点__________，如果它能够与另一个图形__________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做___________．

例题讲解

【例】△ABC和△A'B'C'关于点O对称，下列结论中不正确的是（　　）．

　　A．OA＝A'OB．AB∥A'B'C．CO＝BOD．∠BAC＝∠B'A'C'

基础题训练

1．如图所示，△A'B'C'与△ABC关于O成中心对称，那么AO＝_______，BO＝_______，CO＝_______，点A、O与______三点在用一直线上,_________________三点在同一直线上，________________三点在同一直线上．

2．下列说法：

①成中心对称的两个图形形状一致，大小一样；②成中心对称的两个图形一定能重合；③形状一样、大小一样的两个图形形成中心对称；④旋转后能够重合的两个图形成中心对称，其中说法正确的个数是（　　）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则下列结论不成立的是（）

A．点A与点C关于点O成中心对称B．线段BC与线段DA关于点O成中心对称

C．△ABO与△CDO关于点O成中心对称D．△ADO与△ABO关于点O成中心对称

4．

（2014·黄石）正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（）

A．（2,0）B．（3，0）C．（2，－1）D．（2，1）

5．如右上图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于

点O的中心对称图形．

6．已知，如图四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称，

请在图中画出点O．

7．如图，画出△ABC以点O为对称中心的△A'B'C'．

中档题训练

8．（2013·天津）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）．

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

9．在平面直角坐标系△ABC中，A（－1，0），B（－4，0），C（－3，2）．

（1）将△ABC绕点M（0，1）顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画图并直接

写出C1的坐标；

（2）作出△ABC关于N（0，－1）的中心对称图形△A2B2C2并直接写出C2

的坐标，并画图；

（3）观察并直接回答B1C1与线段B2C2大小与位置关系．

10．如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），求点A'的坐标．

11．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥CD，请恰当选择对称中心P，作出梯形ABCD关于P点对称的图形，使得两个梯形合成一个矩形．

综合题训练

12．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，以D为旋转中心，将△ADC绕点D旋转180°得到△EDB．

（1）画出△EDB；

（2）找出与AC相等的线段；

（3）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．

4．中心对称图形

预习归纳

1．把一个图形绕着某一个点____________，如果旋转后的图形能够与原来的图形__________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的_____________．

例题讲解

【例】图形：

①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤梯形；⑥圆，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是______________

基础题训练

1．（2014·广西）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．

A．等边三角形B．平行四边形C．正方形D．正五边形

2．（2014·青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．

3．艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（）

CHINA

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．下列命题中正确的是（）．

A．轴对称图形是中心对称图形B．中心对称图形是轴对称图形

C．关于中心对称的两个三角形全等D．两个全等三角形一定关于某一点成中心对称

5．下列图形是中心对称不是轴对称图形的是（）．

A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．圆

6．如图，8*8方格纸的两条对称轴EF、MN相较于点O，对图a分别作如下变换：

①先以直线MN为对称轴做轴对称图形，再向上平移4格

②先以点O为对称中心旋转180°，再向右平移1格

③先以直线EF为对称轴做轴对称图形，再向右平移4格，其中能将图a变化成图b的是（）

A．①②B．①③C．②③D．③

7、图①、②均为7*6的正方形网格，点A、B、C在格点上．

⑴在图①中确定格点D，并画以A、B、C、D为顶点的四边形，十七为轴对称图形（画一个即可）

⑵在图②中确定格点E，并画以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）

图①图②

中档题训练

8．（2013·东营）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A'OB'的位置，点B的横坐标为2，则点A'的坐标为（）

A．（1，1）B．

C．（－1，1）D．

9．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°,∠B＝30°，BC＝1，则BB'的长为（）．

A．4B．

C．

D．

10．如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，一1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1并直接写出A1，B1，C1的坐标．

综合题训练

11．（2010武汉元调）如图，在等腰ΔABC中，AB＝AC,∠ABC＝α,在四边形BDEC中，DB＝DE,∠BDE＝2α,M为CE的中点，连接AM,DM．

（1）在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形；

（2）求证AM⊥DM；

（3）当α＝时，AM＝DM．

5．关于原点对称的点的坐标

预习归纳

1．点P（x，y）关于原点的对称点为P'_________

例题讲解

【例】如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，

⑴分别写出A、B、C、D各点的坐标；

⑵作出四边形ABCD关于原点O对称的四边形A′B′C′D′，并写出各顶点坐标．

基础题训练

1．在平面直角坐标系中，点（0，2）关于原点对称的点是（）．

A．（－2,0）B．（－2,－2）C．（2,2）D．（0,－2）

2．在平面直角坐标系中，点（－3，2）关于原点对称的点是（）．

A．（2,－3）B．（－3,－2）C．（3,2）D．（3,－2）

3．如果点P（a，3）和P1（－4，b）关于原点对称，则a＋b的值为（）．

A．1B．－1C．7D．－7

4．已知点A（2，2），如果点A关于x轴的对称点是B，B点关于原点的对称点为C，那么C点的坐标是（）

A．（2,2）B．（－2,2）C．（2,－2）D．（－2,－2）

5．若点P1（2－m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n＋1），则m－n酌值为（）．

A．6B．－3C．8D．9

6．若点A关于y轴对称的点的坐标是（4，－3），则点A关于原点对称的点的坐标是（）．

A．（4,－3）B．（－4,－3）C．（4,3）D．（－4,3）

7．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴对称的图形又是关于原点O成中心对称的图形，若点A的坐标是（1,3）,则点M和点N的坐标分别是（）

A．M（1，－3）,N（－1，－3）B．M（－1，－3）,N（－1，3）

C．M（－1，－3）,N（1，－3）D．M（－1，3）,N（1，－3）

8．已知点A（4－2m，5）关于原点对称的点在第三象限内，则m的取值范围是_______

9．△ABC在平面直角坐标系内，其中A（0，0），B（－4，1），C（－3．2）,将△ABC绕着某一点旋转1800后，得到△A′B′C′，其中A的对应点A′（0，0），B的对应点B′（4，－1），则C点的对应点C′的坐标为__________

10．如图，在平面直角坐标系中，存在点A（－3，1）、点B（－2，0）．

（1）画出△ABO关于原点O对称的△A′B′O（点A与A′是对应点，点B与B′是对应点），

并写出点A′、B′的坐标；

（2）连接AB′、BA′，求四边形ABA′B′的面积，

中档题训练

11．（2014·烟台）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）．

A．（1,1）B．（1,2）C．（1,3）D．（1，4）

12．如图，已知□ABCD的对称中心在原点O，且A（－2，1）,B（－3，－2）

⑴求点C及点D的坐标

⑵求S□ABCD的值．

13.在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B

（1）点A关于原点的对称点A′的坐标是______,点B关于原点的对称点B′的坐标是________;

（2）求直线y＝x＋2关于原点对称的直线的解析式．

综合题训练

14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴负半轴于A，点B的坐标为（0，－3），将线段AB绕平面某点旋转180°得线段CD，且点C,D正好落在抛物线y＝－x2＋2x＋3的图象上，求点C、D的坐标．

6．课题学习图案设计

预习归纳

1.图案设计常用到的图形变换方式有：

_________、__________、________或利用它们的组合．

例题讲解

【例】在平面直角坐标系中有A（0，1），B（－2，0）两点，将线段AB以O为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°,270°，请画出旋转后的图形．

基础题训练

1．如图，是北京国际数学大会的会徽，则该图案可看作由一个直角三角形（）

A．绕中心点旋转90°、180°、270°得到B．作轴对称3次得到

C．绕中心点旋转60°、120°、180°得到D．平移3次得到

2．在下图右侧的四个三角形中，不能由左边的三角形经过旋转或平移得到的是（）

中档题训练

3．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．

⑴画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标_________

⑵画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度．

综合题训练

11．用四块如图⑴所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在⑵⑶⑷中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同，所画图形的阴影部分用斜线表示）

（1）⑵⑶⑷

专题利用旋转作图求坐标

【方法归纳】：

将形的变化转化为点的变化，

1．（2014·武汉）如图，在直角坐标系中，A（0，4）、C（3，0）

（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB

②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD

（2）若直线y＝kx平分

（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值

2．（2013·武汉）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；

平移△ABC，若A的对应点

的坐标为（0，－4），画出平移后对应的△

；

（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△

，请直接写出旋转中心的坐标；

（3）在

轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

3．（2013•昆明）在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：

（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；

（2）将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°，得到四边形A1B2C2D2，画出旋转后的四边形A1B2C2D2，并写出点C2的坐标．

（3）在

轴上有一点P，使得

的值最大，请直接写出点P的坐标．

4.（2014·武汉四调）如图，在平面直角坐标系中,△ABC的顶点的坐标分别为A（－1，5），B（－1，1），C（－3，1）．将△ABC向右平移2个单位、再向下平移4个单位得到△

；将△ABC绕原点O旋转180°得到△

．

（1）请直接写出点

和

的坐标；

（2）请直接写出线段

的长．

专题旋转中的计算

（一）求角度

1．如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE,∠B＝∠D，AB＝AD．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）如果∠AEC＝75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到

△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC,求∠BAC的度数．

3.（2013·攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C′∥AB，求∠BAB′的度数．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AD绕着点A顺时针旋转，当点D落在BC边上的点D′时，求∠AD′B的度数．

5．

如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝

，PC＝1

（1）画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的图形；

（2）求∠BPC的度数；

（3）直接写出AB的长为．

专题旋转中的计算

（二）求长度

1、利用旋转求长度

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,AC＝1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连BB′，求BB′的长

2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转90°到△A′B′C的位置，M为A′B′的中点，求AM的长．

二、利用旋转求面积

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°（n＜90），BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，求n的大小及图中阴影部分的面积．

4．如图，将边长

为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′．

（1）求证：

ED＝EB′；

（2）求图中阴影部分的面积．

专题旋转中的简单证明

1．如图，四边形ABCD和AEFG都是正方形，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？

请说明理由．

2．将两块含30°角且大小相同的直角三角板按如图1摆放，将△CDE绕点C顺时针旋转45°得到图2，AB、CE交于M，求证：

AM＝

CM．

3．（2014·莱芜）如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC＝α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE,DF．

（1）求证：

BE＝CD；

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

专题旋转与勾股定理

【方法归纳】：

通过图形的旋转，将要解决的线段转化到直角三角形，再运用勾股定理进行计算

1．（2013·黄石）把一幅三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△

（如图2），此时AB与

交于点O，求线段AD1的长度

2．如图，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，且BP＝2，AP＝1,

（1）求PP′的长；

（2）连CP，若CP＝3，求∠APB的度数．

3．（2013·常州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝

，点O为Rt△ABC内一点，连AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并解答下列问题：

（1）求∠ABC和∠A′BC的度数，

（2）求OA＋OB＋OC的值