届百所名校联考高三考前模拟密卷四数学文试题.docx
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届百所名校联考高三考前模拟密卷四数学文试题
2019届百所名校联考高三考前模拟密卷（四）
数学（文）试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：
高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：
每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合，，则
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简，再由交集的定义求可得答案.
【详解】解：
1，，
，
故．
故选：
C．
【点睛】本题主要考查集合交集的运算，先化简是解题的关键.
2.已知为虚数单位，若，则复数的模等于（）．
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合复数的四则运算,计算复数z，计算模长，即可。
【详解】，，故选D.
【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等。
3.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题目式子，得出等价于非零向量与同向共线，即可。
【详解】等价于非零向量与同向共线，故选B.
【点睛】本道题考查了向量共线判定，考查了充要条件判定,关键理解等价于非零向量与同向共线，难度中等。
4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）．
①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个
②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了
③8月是空气质量最好的一个月
④6月的空气质量最差
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】A
【解析】
在A中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：
1月，2月，6月，7月，8月，
共5个，故A正确；
在B中，第一季度合格天数的比重为；
第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B是正确的；
在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；
在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，
综上，故选A.
5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由是偶函数，可得m=0，，可得其单调递增区间.
【详解】解：
是偶函数；
；
；
的单调递增区间为．
故选：
D．
【点睛】本题主要考查函数的性质，单调性、奇偶性，根据是偶函数求出是解题的关键.
6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
分析：
由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：
记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：
Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：
Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.
点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
7.若函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可。
【详解】由可排除B、D，由可排除C，故选A.
【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等。
8.若，满足约束条件，则的最小值为（）．
A.0B.2C.4D.13
【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式组，绘制可行域，计算最值，即可。
【详解】
画出可行域，数形结合可得在处取得最优解，代入得最小值为4，故选C
【点睛】本道题考查了线性规划计算最值问题，关键绘制出可行域，计算最值，难度中等。
9.等比数列中，是关于x的方程的两个实根，则（）．
A.8B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算，代入，计算式子，即可。
【详解】是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B
【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等。
10.若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）．
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a的范围，即可。
【详解】
时，由得（画图确定只有两个解），故有3个零点等价于有1个零点，画出的图像，数形结合可得实数的取值范围是，故选B.
【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等。
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，计算表面积，即可。
【详解】该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥如图，
则，，
，，
则.故选A.
【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了椎体表面积计算方法，难度中等。
12.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得，，设点，由中点公式可得线段的中点，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.
【详解】解：
由题意得，，
设点，
则由中点公式可得线段的中点，
线段的斜率与的斜率之积等于，
即，
，
，
，，或舍去，
．
又椭圆的离心率，
故，
故选：
C．
【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数在处的切线方程是____.（其中为自然对数的底数）
【答案】
【解析】
【分析】
求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。
【详解】，故，切点为，故切线方程为，即.
【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线方程，难度中等。
14.已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是____
【答案】
【解析】
【分析】
结合离心率计算公式以及点到渐近线距离公式，计算a,b，即可。
【详解】由已知得，一条渐近线方程为，根据焦点到渐近线距离，则，故双曲线的标准方程是.
【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了点到直线距离公式，考查了双曲线方程计算方法，难度中等。
15.等差数列的前n项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
结合等差数列性质，得出首项和公差，计算通项，求和，建立不等式，构造函数，计算最值，即可。
【详解】，，
所以，，
，，
由得，
由函数的单调性及知，
当或时，最小值为30，故.
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，考查了函数计算最值问题，难度偏难。
16.体积为的正四棱锥的底面中心为，与侧面所成角的正切值为，那么过的各顶点的球的表面积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
结合已知条件，计算该四棱锥的高，构造直角三角形EOB，结合勾股定理，计算半径，计算表面积，即可。
【详解】如图，取的中点为，连接，
则为与侧面所成的角，由.
可设，则，故，
得，，，
设球半径为，则，即，
解得，.
【点睛】本道题考查了球表面积计算公式，考查了运用勾股定理解三角形，关键构造直角三角形EOB，建立方程，即可，难度中等。
三、解答题（本大题共7小题）
17.已知分别是锐角的内角的对边，.
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的周长.
【答案】
（1）
（2）10+2
【解析】
【分析】
（1）利用三角形三角和关系以及正弦两角和公式，展开题目式子，计算角A，即可。
（2）结合三角形面积计算公式，建立等式，计算c，结合余弦定理，计算a，即可得出周长。
【详解】
（1）因，
故，
，
，
，
因为为锐角三角形，故为锐角，，
，得，
故.
（或，
因，故，）.
（2）由的面积，得
所以的周长为.
【点睛】本道题考查了正弦两角和公式，考查了余弦定理，考查了三角形面积计算公式，难度中等。
18.如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.
（1）求证：
；
（2）若是正三角形，求三棱柱的体积.
【答案】
（1）见证明；
（2）
【解析】
【分析】
（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。
（2）法一：
计算，结合和，即可。
法二:
计算，结合，计算体积，即可。
法三：
结合，计算结果，即可。
【详解】
（1）证明：
设点在平面内的射影为，
则，，且，因，所以.
在中，，，
则，在中，，，
则，
故，故.
因，故.
（2）法一、，
由
（1）得，故是三棱锥的高，
是正三角形，，，
，
，
故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为.
法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，
故，
故，
由
（1）得，故是四棱柱的高，
故，
故，故三棱柱的体积为.
法三、在三棱锥中，由
（1）得，是三棱锥的高，6分
记到平面的距离为，
由得，即，
为的中点，故到平面的距离为，
.
故三棱柱的体积为.
【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大。
19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：
元度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：
第一档
第二档
第三档
每户每月用电量单位：
度
电
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