椭圆的标准方程.docx
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椭圆的标准方程
高二分册教案
第八章圆锥曲线方程
椭圆及其标准方程
一、教学目标
（一）知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
（二）能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力.
（三）学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.
二、教材分析
1•重点：
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
（解决办法：
用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较.）
2•难点：
椭圆的标准方程的推导.
（解决办法：
推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明.）
3•疑点：
椭圆的定义中常数加以限制的原因.
（解决办法：
分三种情况说明动点的轨迹.）
二、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.
四、教学过程
（一）椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：
问题1:
什么叫做曲线的方程？
求曲线方程的一般步骤是什么？
其中哪几个步骤必不可少？
对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正•这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识.
问题2：
当枝吋，肩汗与是同解方程吗？
当a>O^f（x）=aaO（贋ij-a）（頁孑+a）=0O=a.
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.
问题3:
圆的几何特征是什么？
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
一般学生能回答：
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”•对同学提出的轨迹命题如：
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”
教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神.
比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？
这时教师示范引导学生绘图：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当绳
长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.
教师进一步追问：
“椭圆，在哪些地方见过？
”有的同学说：
“立体几何中圆的直观图.
有的同学说：
“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.
学生开始只强调主要几何特征一一到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演
示中要从两个方面加以强调：
（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：
“在平面内”.
⑵这里的常数有什么限制吗？
教师边演示边提示学生注意：
若常数=|F1F2|，则
是线段F1F2;若常数v|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：
“此常数大于|F1F2|”.
（二）椭圆标准方程的推导
1.标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.
如何建立椭圆的方程？
根据求曲线方程的一般步骤，可分：
（1）建系设点；
（2）点的集合；
（3）代数方程；（4）化简方程等步骤.
⑴建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率
等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）•设|FiF2|=2c（c>0），M（x,y）为椭圆上任意一点，则有Fi（-1,0），F2（c,0）.
⑵点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MFi|+|MF2|=2a
⑶代数方程
⑷化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：
3说明.整理
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）
讲.由2宣〉2c可得令a2-c3=b3i则得方程—+^-7=1ab
（a>b>0）.
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略.
因此.方程石+£"@〉b〉0）即为所求椭圆的标准方程.它表
示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-C，0）、F2（c，0）.这里c2=a2-b2.
2•两种标准方程的比较（引导学生归纳）
（1）笃"+右=表不焦点在渤上的椭圆，焦点是F］（-c,
0）、F2（c,0），这里C2=a2-b2;
=l（a>b>0）^示焦点在於由上的椭圆，焦点是FJO,
-c）、F2（0,c），这里C2=a2+b2，只须将⑴方程的x、y互换即可得到.
教师指出：
在两种标准方程中，•••a2>b2，二可以根据分母的大小来判定焦点在哪
一个坐标轴上.
（三）例题与练习
例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹
的方程.
分析：
先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.
解：
这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用Fl、F2表示.取过点F1和F2的直线
为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.
•••2a=10,2c=8.
二a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.二b=3
因此，这个椭圆的标准方程是
请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分
线为触轨迹方程是什么形式呢？
¥+¥"
乙—T7
练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
a=4>0=^15,焦点在由上.
由学生口答，方程为电+宀1・
16
练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是
[]
由学生口答，答案为D.
（四）小结
1.定义：
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.
2.标推方程：
冷+与=血〉1>>。
）或与+冷■（a〉b〉O）.
abab
3.
图形如图2-15、2-16.
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
Cl）椭圆经过两点P（-2,/2,0）.Q（0,卧
⑵长轴是短轴的？
倍，椭圆经过点P⑶0）;
〔3）焦点坐标是（-2^2,0）和（2屈0）,并且经过点P（霜,
22
4.已知椭圆罕+存=l@〉b〉0）,Fp%是它的焦点，AEab
是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长.
作业答案：
3713
2・IM^I=亍|M】E|=亏
x2y2
3-⑴亍X】
4•由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a.
椭圆的几何性质
一、教学目标
（一）知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用.
（二）能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
（三）学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概
念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．
二、教材分析1．重点：
椭圆的几何性质及初步运用．
（解决办法：
引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．）
2．难点：
椭圆离心率的概念的理解．
（解决办法：
先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．）
3．疑点：
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
（解决办法：
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．）
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．
四、教学过程
（一）复习提问1．椭圆的定义是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
学生口述，教师板书．
（二）几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是
解析几何的基本问题之一本节课就根据椭圆的标准方程羊+存二1仗〉ab
b>0）来研究椭圆的几何性质•说明：
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.
1•范围
弓I导学生从标椎方程4+4=1得出不等式
abab
即凶2-18）.注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.
2.对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.
设问：
为什么"把x换成-x，或把y换成-y?
，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？
2-16
事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x，y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.
同时向学生指出：
如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：
如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.
事实上，设P（x，y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点Pi（x，-y）必在曲线上.又因为曲线关于原点对称，所以Pi关于原点对称点P2（-x,y）必在曲线上.因P（x，y）、P2（-x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.
最后指出：
x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.
3•顶点
弓I导学生从椭圆的标准方程｛+負1分析它乐轴、y轴的交点.
ab
只须令x=0,得y=±b,点Bi（O,-b）、B2（0,b）是椭圆和y轴的两个交点；令y=0,得x=±a,点A1（-a,0）、A2（a,0）是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：
椭圆有四个顶点Ai（-a,0）、A2（a,0）、Bi（0,-b）、B2（0,b）.
教师还需指出：
（1）线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b;
（2）a、b的几何意义：
a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：
由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.
4.离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
禰的焦距与长轴的比尸二
a
等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义.
先分析椭圆的离心率e的取值范围：
•••a>c>0,二0vev1.
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
（1）%接近时c醱近和从而越水，因此椭圆越扁；
⑵当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；
⑶当e=0时，c=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了.
（3）应用
例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成.后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：
⑴列表.将琴+琴“娜为尸府卫根勧=+£廊7
10D□
在第一第限K5的范園内算出几个点的坐标（爲y）；
X
0
1
2
3
4
5
y
4
3.9
3,7
3.2
2.4
0
⑵描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（图2-19）.要强调：
利用对称性可以使计算量大大减少.
1
y
fi\iI
图2-19
例2点y）与定点F©0）的距离和它到定直线1：
x=—的c
距离的比是常数-（a>c>0）s求点14的轨迹.
a
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：
设d是点M到直线I的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M
|倆|一pi+ps~3-2V2cose+3+2V2cos6
-6-2
_9-8coS2e7
将上式化简，得：
（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.
设aa-ca=ba,就可化成I4+4=1-
ab
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆.
由此例不难归纳出椭圆的第二定义.
（4）椭圆的第二定义
1.定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数
e=-（O线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.
2.说明
⑴对于椭圆羊+£"，相应于焦点F（c,0）的准线方程是"匚
abc
根据椭圆的对称生相应于焦点F气乜0）的准线方程是汁一二
⑵对于椭圆町+£*相应于焦点F©0的准线方程是厂ab
相应于焦点Fy（0f-c）的准线方程是y=*
c
这时还要讲清e的几何意义是：
椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.
（5）小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的
形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格：
标准方程
22
*y
—+—=l（a>b>0）ab
22yx
^J-+—=l（a>b>0）ab
團象
范围
对称性
顶点
也轴
短轴
焦点
离心率
唯线
五、布置作业
1•求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：
（1）25x2+4y2-100=0,
（2）x2+4y2-1=0.
2•我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km远地点距地面1826Km求这颗卫星的轨道方程.
3.点P与一定点F（2,0）的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1:
2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
4.椭圆的中心在原点.一个顶点是©2）,离心率w卑，求椭圆
的方程.
士何），顶
（l）2a=10?
2b=4,2c=2^21,
点（0,-5）,（±N0）,=-j—
y21
J3J3
（2）2a=2,2b=l,2c=V3,e=—,焦点（士—.0）,顶点（±L0）.
19
（0,±-）,進线s=士-j=
2-选取坐标系，式茅+孟厂】
3.琴+舟=1轨迹是长半轴等于4,短半轴等于2、疗的椭圆.
1012
4•顶点（0,2）可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：
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