椭圆的标准方程.docx

1、椭圆的标准方程高二分册教案第八章圆锥曲线方程椭圆及其标准方程一、 教学目标（一） 知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.（二） 能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决 几何问题的能力.（三） 学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.二、 教材分析1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.（解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标 准方程单独列出加以比较.）2难点：椭圆的标准方程的推导.（解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明.）3疑点：

2、椭圆的定义中常数加以限制的原因.（解决办法：分三种情况说明动点的轨迹.）二、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.四、教学过程（一）椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1:什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤 必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正这样便于学生温故而知新，在已 有知识基础上去探求新知识.问题2：当枝吋，肩汗与是同解方程吗？当aOf（x） = aa O （贋ij-a）（頁孑 + a） = 0 O = a.提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.问题3:圆的几何特征是什么？

3、你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探 索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆” 对同学提出的轨迹 命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹.”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神.比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什 么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 F1和F2两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以 画出一个椭圆.教师进一步追问：

4、“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说： “立体几何中圆的直观图.有的同学说：“人造卫星运行轨道”等在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这 两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.学生开始只强调主要几何特征一一到两定点 F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生 认识到需加限制条件：“在平面内”.这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数 =|F1F2|，则是线段F1F2;若常数v |F1F2|，则轨迹

5、不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制 条件：“此常数大于|F1F2|”.（二）椭圆标准方程的推导1.标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知， 所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤， 可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤.建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量 (距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰 当的.以两定点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐

6、标 系(如图2-14) 设|FiF2|=2c(c 0)，M(x, y)为椭圆上任意一点，则有 Fi(-1 , 0)， F2(c , 0).点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P=M|MF i|+|MF2|=2a代数方程化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡 视，适当给予提示：3说明.整理原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题 后，再平方得(a 2-c 2)x 2+a2y2=a2(a2-c 2)讲.由2宣2c可得令a2 -c3 = b3i则得方程+ -7 = 1 a b（ab0）.关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求

7、不高，可从略.因此.方程石+b0）即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在 x轴上，焦点是F1（-C，0）、F2（c，0）.这里c2=a2-b2.2两种标准方程的比较（引导学生归纳）（1）笃+右=表不焦点在渤上的椭圆，焦点是F（-c,0）、F2（c , 0），这里 C2=a2-b2;= l（ab0）示焦点在於由上的椭圆，焦点是FJO,-c）、F2（0 , c），这里C2=a2+b2，只须将 方程的x、y互换即可得到.教师指出：在两种标准方程中， a2 b2，二可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.（三）例题与练习例题 平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹

8、的方程.分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用 Fl、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 2a=10, 2c=8.二 a=5, c=4, b2=a2-c 2=52-4 5=9.二 b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点 F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为触 轨迹方程是什么形式呢？ + 乙T 7练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:a =4 0 = 15,焦点在由上.由学生口答，方程为电+宀116练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的

9、是 由学生口答，答案为 D.（四）小结1.定义：椭圆是平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点 的轨迹.2.标推方程：冷+与=血1。）或与+冷（abO）.a b a b3.图形如图2-15、2-16.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:Cl）椭圆经过两点P（-2,/2, 0）. Q（0,卧 长轴是短轴的？倍，椭圆经过点P0）;3）焦点坐标是（-22, 0）和（2屈0）,并且经过点P（霜,2 24.已知椭圆罕+存=lb0）, Fp %是它的焦点，AE a b是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求 ABF2的周长.作业答案：37 132IMI =亍|M】E|=亏x2 y2

10、3-亍X】4由椭圆定义易得， ABF2的周长为4a.椭圆的几何性质一、教学目标（一）知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了 解椭圆的一些实际应用.（二） 能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力（ 三） 学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析 1重点：椭圆的几何性质及初步运用（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结 ）2难点：椭圆离心率的概念的理解（解决办法： 先介绍椭

11、圆离心率的定义， 再分析离心率的大小对椭圆形状的影响， 最后通过椭圆的第二定义讲清离心率 e 的几何意义 ）3疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不 随坐标系的改变而改变（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明 ）三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结四、教学过程（一） 复习提问 1椭圆的定义是什么？ 2椭圆的标准方程是什么？ 学生口述，教师板书（二） 几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一本节课就根据椭圆的标准方程羊+存二1仗 a bb 0）来研究椭圆的几何性质说明：椭圆自

12、身固有几何量所具有的性质是与坐 标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.1范围弓I导学生从标椎方程4+4=1得出不等式a b a b即凶a, |y| c0,二 0 v ev 1.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(1)%接近时c醱近和从而越水，因此椭圆越扁；当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；当e=0时，c=0, a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为 x2+y2=a2，图形就是 圆了.(3)应用例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标, 并用描点法画出它的图形.本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成.后一部

13、分由教师讲解，以 引起学生重视，步骤是：列表.将琴+琴“娜为尸府卫 根勧=+廊710 D 在第一第限K5的范園内算出几个点的坐标（爲y）；X012345y43.93,73.22.40描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可 以画出整个椭圆（图2-19）.要强调：利用对称性可以使计算量大大减少.1yf i i Ic0）s求点14的轨迹.a本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同 时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线I的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 P=M|倆|一 pi + ps 3-2V2c

14、ose +3 + 2V2cos6-6 -2_9-8coS2 e 7将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c 2).设aa -ca=ba,就可化成I 4+4 = 1-a b这是椭圆的标准方程，所以点 M的轨迹是椭圆.由此例不难归纳出椭圆的第二定义.(4)椭圆的第二定义1 .定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e = -(Oeb 0) a b2 2 y xJ-+= l(ab 0) a b團象范围对称性顶点也轴短轴焦点离心率唯线五、布置作业1 求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线 方程：(1)25x 2+4y2 -100=0,

15、(2)x2+4y2-1=0.2我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的 椭圆，近地点距地面266Km远地点距地面1826Km求这颗卫星的轨道方程.3.点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.4.椭圆的中心在原点.一个顶点是 2),离心率w卑，求椭圆的方程.士何)，顶(l)2a = 10? 2b =4, 2c = 221,点(0, - 5), ( N 0), = - jy21J3 J3(2)2a=2, 2b = l, 2c = V3, e=,焦点(士 . 0),顶点(L 0).1 9(0, -),進线s= 士 -j=2-选取坐标系，式茅+孟厂】3.琴+舟=1轨迹是长半轴等于4,短半轴等于2、疗的椭圆.10 124 顶点(0, 2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求 方程：