高中数学 第一章 集合章末复习方案与全优评估 北师大版必修1.docx
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高中数学第一章集合章末复习方案与全优评估北师大版必修1
2019-2020年高中数学第一章集合章末复习方案与全优评估北师大版必修1
1．集合的含义与表示
（1）集合中元素的特征：
集合中元素具有三大特征：
①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．
（2）集合的表示法：
集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．
2．元素与集合、集合与集合的关系
（1）元素与集合的关系有且仅有两种；属于（用符号∈表示）和不属于（用符号∉表示）．如a∈A，a∉B等．
（2）集合与集合的关系是：
3．空集的性质
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．
4．集合的基本运算
（1）集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．
（2）在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn图表示．
[例1] 已知M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．
[解] ∵M∪N＝M，∴N⊆M，即t2－t＋1∈M.
（1）若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，
而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.
（2）若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，
由
（1）知不合题意．
综上所述，t的取值集合为{0}．
[借题发挥]
对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．
1．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是（ ）
A．－1 B．0
C．1D．1或－1
解析：
由M∪N＝M知N⊆M.
∴a2＝0，或a2＝1.
∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.
而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1.
答案：
A
[例2] 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
（1）若A∩B＝A，求a的取值范围；
（2）若（∁RA）∪B＝R，求a的取值范围；
（3）是否存在a，使（∁RA）∪B＝R，且A∩B＝∅？
[解]
（1）∵A∩B＝A.
∴A⊆B.结合数轴可知，
即－1≤a≤0.
（2）∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．
∵（∁RA）∪B＝R，
∴
∴－1≤a≤0.
（3）∵（∁RA）∪B＝R，
∴－1≤a≤0，
故a＋3∈[2，3]，
∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，故a不存在．
[借题发挥]
解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：
当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}．求a，b的值．
解：
将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．
由A∩B＝{x|0＜x≤2}，知b＝2，且－1≤a≤0，
由A∪B＝{x|x＞－2}，知－2＜a≤－1.
综上可知a＝－1，b＝2.
[例3] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，且B≠A，求实数a的取值范围．
[解] ∵A∩B＝B，且B≠A，∴BA.
又∵A＝{1，2}，∴B＝∅，{1}，{2}．
当B＝∅时，Δ＝4－4（a－1）＝4（2－a）<0，a>2.
当B＝{1}时，得a－1＝1，a＝2.
当B＝{2}时，无解．
综上所述，得a的取值范围为{a|a≥2}．
[借题发挥]
此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．
3．已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠∅.
在数轴上表示集合A，B，如图所示．
由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，
即a＜－2或a≥
.
又∵a＜1，∴a＜－2或
≤a＜1.
故所求a的取值范围是{a|a<－2或
≤a<1}.
[例4] 对于集合A，B，我们把集合{（a，b）|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}．据此，试回答下列问题．
（1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B中元素的个数．
[解]
（1）C×D＝{（a，1），（a，2），（a，3）}．
（2）∵A×B＝{（1，2），（2，2）}，
∴A＝{1，2}，B＝{2}．
（3）集合A中的任意一个元素与B中的一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为mn个．
所以，若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12个元素．
[借题发挥]
以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．
4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：
当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是（ ）
A．27B．26
C．9D．8
解析：
当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．
答案：
A
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足（ ）
A．a≤－1B．a≥1
C．－1≤a≤1D．a≤－1或a≥1
解析：
由P∪M＝P，得M⊆P，又M＝{a}，－1≤a≤1.
答案：
C
2．设集合M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于（ ）
A．{2，4}B．{1，2，4}
C．{2，4，8}D．{1，2，4，8}
解析：
∵M＝{1，2，4，8}，N＝{x|x是2的倍数}，
∴M∩N＝{2，4，8}．
答案：
C
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩（Venn）图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个B．2个
C．1个D．无穷多个
解析：
M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1，3}．
答案：
B
4．已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则（ ）
A．A∩B＝AB．A∩BA
C．A∪B＝BD．A∩BA
解析：
∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，∴B＝{0，2，4，6}．
又A＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，2}A.
答案：
D
5．设全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合{x|－1＜x＜2}是（ ）
A．（∁UA）∪（∁UB）B．∁U（A∪B）
C．（∁UA）∩BD．A∩B
解析：
∵∁UA＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|－1＜x＜5}，
∴{x|－1＜x＜2}＝（∁UA）∩B.
答案：
C
6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x∉Q}，则P－（P－Q）等于（ ）
A．PB．Q
C．P∩QD．P∪Q
解析：
法一：
结合Venn进行分析推理即可得出答案．
法二：
采用赋值法进行验证可得．
令P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{2，3，4，5}，则P－Q＝{1}＝M，P－（P－Q）＝P－M＝{x|x∈P，但x∉M}＝{2，3，4，5}，结合选项应选C.
答案：
C
7．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴集合M必含有a1，a2，且不含有a3.
又∵M⊆{a1，a2，a3，a4}，∴M＝{a1，a2}，{a1，a2，a4}，共2个．
答案：
B
8．设I是全集，集合P，Q满足PQ，则下列结论中错误的是（ ）
A．P∪（∁IQ）≠∅B．（∁IP）∪P＝I
C．P∩（∁IQ）≠∅D．（∁IP）∩（∁IQ）≠∁IP
解析：
依题意画出Venn图，如下图所示，显然A，B，D正确．
答案：
C
9．下列四个命题：
①{0}是空集；
②若a∈N，则－a∉N；
③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；
④集合
是有限集．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．0
解析：
①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集，
∴①不正确．
②当a＝0时，∵0∈N，∴②不正确．
③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．
④当x为正整数的倒数时，∵
∈N，
∴
是无限集，∴④不正确．
答案：
D
10．若非空集合A，B，U满足A∪B＝U，A∩B＝∅，则称（A，B）为U的一个分割，则集合U＝{1，2，3}的不同分割有（ ）
A．5个B．6个
C．7个D．8个
解析：
依题意可得，当集合A为{1}时，B为{2，3}；当A为{2}时，B为{1，3}；当A为{3}时，B为{1，2}；同时对调A、B的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上）
11．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________．
解析：
B＝{c}或{a，c}，或{b，c}，或{a，b，c}，共4个．
答案：
4
12．设U＝R，M＝{x|x≥2}，N＝{x|－1≤x<5}，
则（∁UM）∪（M∩N）等于________．
解析：
∁UM＝{x|x<2}，M∩N＝{x|2≤x<5}，
（∁UM）∪（M∩N）＝{x|x<5}．
答案：
{x|x<5}
13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．
解析：
结合Venn图可知两种都没买的有2人．
答案：
2
14．已知集合A、B，定义集合A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{－2011，0，2012}，B＝{－2012，0，2012}，则集合A*B＝________．
解析：
由题意知，集合A*B中的元素由集合A，B的并集A∪B中的元素去掉交集A∩B中的元素组成．由于A∪B＝{－2012，－2011，0，2012}，A∩B＝{0，2012}，于是A*B＝{－2011，－2012}．
答案：
{－2011，－2012}
三、解答题（本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
（1）求A∪B，（∁UA）∩B；
（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．
解：
（1）A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＝{x|1又∁UA＝{x|x<2或x>8}．
∴（∁UA）∩B＝{x|x<2或x>8}∩{x|1＝{x|1（2）∵A∩C≠∅，结合数轴可知，a<8.
16．（本小题满分12分）已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x的方程ax2－x＋1＝0有实数根}．
求A∪B，A∩B，A∩（∁UB）．
解：
对于方程ax2－x＋1＝0，
当a＝0时，x＝1，满足题意．
当a≠0时，要使该方程有实数根．
则Δ＝1－4a≥0，∴a≤
.
综上知：
a≤
.∴B＝{a|a≤
}．
∴A∪B＝{a|a≤
或a≥2}，A∩B＝{a|a≤－2}．
又∵∁UB＝{a|a＞
}，∴A∩∁UB＝{a|a≥2}．
17．（本小题满分12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5－a（1）求A∪B，（∁UA）∩B；
（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．
解：
（1）借助数轴可知：
A∪B＝{x|2＜x＜10}．
∁RA＝{x|x<3或x>7}．
∴（∁RA）∩B＝{x|2（2）当5－a≥a即a≤
时，C＝∅，满足C⊆A∪B.
当5－a
时，
由C⊆A∪B，得
解得a≤3.
∴a的取值范围为{a|a≤
}∪{a|
＜a≤3}＝{a|a≤3}．
18．（本小题满分14分）已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．
解：
若B∪A＝A，则B⊆A，
又∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，|a|>4.
∴集合B有以下三种情况：
①当B＝∅时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，
即a2＞16，|a|>4，∴a＜－4或a＞4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，
∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2}A；
若a＝4，则B＝{－2}⊆A；
③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，
∴
∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，
a的取值范围为a＜－4或a＝－2或a≥4.
∴B∪A≠A时，
实数a的取值范围为－4≤a＜4，且a≠－2.
2019-2020年高中数学第一章集合章末测评4苏教版必修1
一、选择题（每小题4分,共40分）
1.下列各组对象:
①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到原点O的距离等于1的点的全体；④三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（ ）
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
思路解析:
构成集合的元素必须是确定的，不能是模糊的，故选③④.
答案:
A
2.设U=R,M={a|a=x+2y,x、,y∈Q},则下列说法中正确的是（ ）
A.M=QB.MUQC.MQD.MQ
思路解析:
当y=0时，a就可以取到所有的有理数.
答案:
D
3.设集合M={x|-1≤x≤7},S={x|k+1≤x≤2k-1},若M∩S=,则k的取值范围是（ ）
A.k≤4B.k<2或k>6C.k<0或k>6D.k<0
思路解析:
由M∩S=,可知S有两种情况:
（1）S=,此时k+1>2k-1,即k<2;
（2）S≠,可借助数轴得出关于k的不等式,如图.
答案:
B
4.设U＝{1，2，3，4}，若A∩B={2}，（UA）∩B={4}，（UA）∩（UB）={1，3}，则下列结论正确的是（ ）
A.3A且3B
B.3∈A且3B
C.3A且3∈B
D.3∈A且3∈B
思路解析:
本题利用图示法可以很直观的解出.
答案:
A
5.以下四个关系：
={0}，0∈，{}{0}，{0},其中正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
思路解析:
中没有任何元素，元素个数是0，{}中的元素是.
答案:
A
6.满足{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（ ）
A.8B.7C.6D.5
思路解析:
本题即求{4，5，6}的非空真子集的个数.
答案:
C
7.下列四个集合中，是空集的是（ ）
A.{x|x+3=3}
B.{（x,y）|y2=-x2,x、,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0}
思路解析:
空集指不含任何元素的集合.
答案:
D
8.设U为全集,M、,G是非空集合,MU,GU,MG,GM,则（M∩G）∪M等于（ ）
A.M∩GB.UG∩MC.D.M
思路解析:
由于此题给出集合都是抽象集合.所以可用特值法验证或者韦恩图法,特值或者画图时要注意考虑M∩N空与非空两种情况.
答案:
D
9.下面可表示图形中阴影部分的为（ ）
A.（A∪C）∩（B∪C）
B.（A∪B）∩（A∪C）
C.（A∪B）∩（B∪C）
D.（A∪B）∩C
思路解析:
用定义判断图形所示即可.
答案:
A
10.已知集合A、B、C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N，则（ ）
A.C∩P=C
B.C∩P=P
C.C∩P=C∪P
D.C∩P=
思路解析:
用图示法即可.
答案:
B
二、填空题（每小题4分,共16分）
11.若集合{（x,y）|x+y-2=0且x-2y+4=0}{（x,y）|y=3x+b},则b=________.
思路解析:
这两个集合都是点集，{（x,y）|x+y-2=0且x-2y+4=0}={（0，2）}，带入即可求出b=2.
答案:
2
12.已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a}并且AB,则实数a的取值范围是_________.
思路解析:
AB是观察解题的依据,所以可用数形结合（借助数轴）来解,直观简捷.
答案:
a≤-2
13.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围是_________.
思路解析:
方程的解的个数可以是0或1，不要漏掉a=0的情况.
答案:
a=0或a≥
14.已知A={-2,-1,0,1}，B={y|y=|x|,x∈A}，则B＝__________.
答案:
{0,1,2}
三、解答题（共44分）
15.（本小题满分10分）已知全集U={x|1思路解析:
画出数轴即可.
解:
UA={x|116.（本小题满分10分）已知U={2,3,a2+2a－3},A={|a+1|,2},UA={5},求实数a的值.思路解析:
用图示法即可.
由UA={5},可知5∈UA,∴5A且5∈U.
于是a2+2a－3=5,∴a=－4或a=2.
当a=2时，U={2,3,5},A={3,2},UA={5},满足已知条件.
同理,可知当a=－4时也满足已知条件.
解:
a=2或－4.
17.（本小题满分12分）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a的值.思路解析:
特殊集合的作用，常易漏掉.
解:
当a＝0时,S＝，P成立;
当a≠0时，S={-}，由SP，P＝{3，－1},
得-=3，a＝－或-=-1,a＝2.
∴a值为0或－或2.
18.（本小题满分12分）已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α、β.集合A={α,β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝，求p、,q的值.
思路解析:
由A∩C=A知AC.
又A={α,β}，则α∈C,β∈C.
而A∩B＝，故αB,βB.
显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.
不妨设α=1，β=3.
对于方程x2+px+q=0的两根α、β应用韦达定理可得p=-4,q=3.
解:
p=-4,q=3.
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