空间中平面与平面的垂直关系.docx

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空间中平面与平面的垂直关系

指定课题：

空间中平面与平面的垂直关系

一、教学设计

1.教学内容解析

本节指定课是人教版A版必修2立体几何初步第二章中“直线、平面垂直的判定与性质”单元的第2课时内容，也是《普通高中数学课程标准（2017年版）》主题三“几何与代数”中立体几何初步的“空间直线、平面的垂直”单元的一节内容（以下简称“线面垂直单元”），主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课．

空间中平面与平面的垂直关系是“线面垂直单元”中的又一个重点，是继教材直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系判定之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现．这一节的学习对理顺“线面垂直单元”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用．

平面与平面的垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来刻画二面角的大小是一个难点．根据“异面直线所成的角”和“直线与平面所成的角”的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法，按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义；通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义，引导学生探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，从中体会定义一个数学对象的基本思想．面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大量实例，通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直关系的判定”的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”等典型猜想进行说理．本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养．

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：

两个平面互相垂直的定义，两个平面互相垂直的判定定理

2.学生学情分析

本节课的授课对象为黄冈中学高二理科实验班8班的学生．经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确的使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及部分“垂直关系”的判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法——平面化，具备学习本节课所需的知识．

然而，学生的能力发展正处于形象思维向抽象思维的转折阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，还没有上升到理论．学生还不知道应该如何定义和判定两个平面互相垂直，还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要适时的引导，关注学生的思维，关注学习过程．

根据以上分析，本节课的教学难点确定为

教学难点：

二面角的概念及度量

3.教学目标设置

（1）通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想；

（2）学生类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出平面与平面垂直关系的判定方法，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；

（3）学生通过直观感知、操作确认、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；

（4）学生通过对实际问题的分析和探究，能将现实空间问题抽象为数学问题，并通过研究性学习的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．

4.教学策略分析

数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”．本节课设计七大教学环节，采用问题引导、合作探究和研究性学习的方式，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流．严格遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程展开知识内容．充分利用“观察”“思考”“探究”等，强调几何直觉，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置．此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透公理化思想．具体做法如下：

（1）教师课前给学生指明研究性学习的思路，学生自学本节内容；教师提出6个研究性学习问题，学生自由分组，每组侧重选择一个问题进行深入探讨．

（2）课堂中，学生分组展示探究成果，真正成为课堂的主人．探究问题驱动全体学生主动参与知识建构、合作探究，同时保证学生学习的规范性，实现高效课堂．

（3）学生从课前探究和课上展示中感知研究几何问题的基本思路，体会数学中的类比思想，领悟空间位置关系的常用研究策略——降维化归（空间问题平面化），螺旋上升地学习核心数学知识，重点提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．

5．教学过程设计

（一）课前研究性学习思路

设计意图：

通过知识结构图，让学生领悟：

在研究直线、平面位置关系时，我们利用直线与直线的位置关系研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系，反之亦能研究．有了这种“类比与转化”的研究思路，学生的研究方向会更明确，研究效率会更高．

（二）课前研究性学习内容

1．二面角的概念及其度量

2．两个平面互相垂直的定义

3．两个平面互相垂直的判定定理

设计意图：

改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识．学生通过自主学习、独立思考、寻找实例，相互探讨，掌握和理解本节课的概念及定理．同时，在学习的过程中，引导学生自主地发现和提出问题，并设计解决问题的方案．

（三）课前研究性学习问题

有组织的设计教学情景，明确6个学习问题，学生自由分成6组并选择想要探究的问题．

问题1：

数学史上如何研究两个平面互相垂直的位置关系？

它与课本体系有什么不同？

问题2：

如何类比平面几何中研究直线与直线互相垂直的方法，研究两个平面互相垂直？

问题3：

如何类比平面几何中定义两条相交直线所成角的方法，定义平面与平面所成的角？

问题4：

如何定义两个平面互相垂直？

怎样通过具体实例加以说明．

问题5：

如何通过归纳、类比，发现两个平面互相垂直的判定方法？

问题6：

在研究平面与平面垂直的过程中，你学到了哪些思想方法？

设计意图：

让学生在开放性的现实情景中自主探索、亲身体验、操作试验、合作交流、积极思考，引导学生应用已有的知识和经验，学习和掌握一些科学的研究方法，将实际问题抽象为数学问题，并加以说明或论证，从而提升学生的直观想象、逻辑推理和抽象概括能力．

（四）课中研究性学习成果

环节一：

追根溯源，文化导入

问题1：

数学史上如何研究两个平面互相垂直的位置关系？

它与课本体系有什么不同？

课堂活动：

第1小组的学生代表谈学习成果．

展示内容：

1．学生演示《几何原本》的视频，了解几何学的发展史；

2．比较“两个平面互相垂直”这一问题，《几何原本》与课本体系的异同点．

设计意图：

通过阅读《几何原本》，解几何学的发展史，提升学生学习数学的兴趣．通过感悟《几何原本》公理化的数学体系，让学生掌握了科学的研究方法，也即是：

将知识分类、比较，揭示彼此之间的内在联系，把它们组织在一个严密的系统中．通过在《几何原本》和我们课本体系中将“两个平面互相垂直”这一问题进行比较，让学生进一步领悟课本体系的研究思路，同时对本节的学习内容有了一个总体的把握和深入的理解．

环节二：

温故知新，初悟定义

问题2：

如何类比平面几何中研究直线与直线互相垂直的方法，研究两个平面互相垂直？

课堂活动：

第2小组的学生代表汇报学习成果．

展示内容：

1．二面角与平面角的实际模型；

2．类比平面角的定义给出二面角的定义；

3．二面角的定义、记法、画法．

3.1二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

3.2记法：

二面角

或

或

或

3.3画法：

直立式与平卧式

①直立式②平卧式

设计意图：

概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，对已有知识的类比模仿，设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生硬地教给学生，通过设置研究问题引导学生在研究性学习中运用类比的思想，从两线的垂直转到两条射线的垂直，进而联想到两个面的垂直也即是两个半平面的垂直，从而领悟为什么会有二面角．通过制作模型，类比思考，将二面角的概念从平面角的概念中移植过来．在掌握概念的同时，让学生领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会如何建立完善的认知结构，从而提升研究能力．

环节三：

操作探究，知何度量

问题3：

如何类比平面几何中定义两条相交直线所成角的方法，定义平面与平面所成的角？

课堂活动：

第3小组的学生代表带领大家探究二面角的度量方式．

展示内容：

1．质疑（质疑课本中的度量方式）；

2．解惑（肯定课本中的度量方式）；

3．二面角的平面角的定义、范围以及直二面角的定义．

3.1定义：

在二面角

的棱

上任取一点

，以点

为垂足，在半平面

和

内分别作垂直于棱

的射线

和

，则射线

和

构成的

叫做二面角的平面角．

3.2范围：

（类比两条射线的夹角范围得出）

3.3直二面角：

平面角是直角的二面角叫做直二面角．（类比直角的定义得出）

设计意图：

通过设置研究问题，引导学生用“平面化”的思想来研究空间角的大小．学生课前通过小组讨论，从质疑、操作探究到解惑，最终领悟出“还是课本上给出的度量规则是科学、合理的”这一结论．这样既激发了学生的学习兴趣，又培养了学生的动手能力和创造性思维．在课堂中，所有学生都参与了探讨刻画二面角大小方法的过程，通过折纸做模型，作（剪）平面角，生生之间再次共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生的主体作用，又有利于学生协作意识的形成和创新能力的培养．最后学生类比两条射线的夹角范围得出二面角的范围，类比直角的定义得出直二面角的定义，并主动将探究的知识碎片进行梳理和整合，提升了自己的抽象概括能力．整个学习过程，学生独立完成，经历了从直观感知、操作确认到抽象概括的全过程，直观想象、逻辑推理和抽象概括能力都得到了提升．

环节四：

拾级而上，深化定义

问题4：

如何定义两个平面互相垂直？

怎样通过具体实例加以说明．

课堂活动：

第4小组的学生代表给出两个平面互相垂直的定义及实例．

展示内容：

1．类比两条直线互相垂直的定义给出两个平面互相垂直的定义；

1.1两个平面互相垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

1.2画法：

1.3记法：

2．与定义有关的实例（测量墙面是否垂直的阴阳角尺、等高线地形图）．

设计意图：

通过设置问题，引导学生在小组学习中类比线线垂直的定义，提炼出两个平面互相垂直的定义，从而提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力．在寻找实例的过程中，小组学生团结协作，找到了测量墙面是否垂直的阴阳角尺，又将地理中的等高线地形图及其剖面图制作成模型来对两个平面互相垂直的定义加以说明．这让学生对两个平面互相垂直的定义有了更深入的理解，同时也培养了学生的协作意识和创新精神．在课堂中，其余学生们也实际操作阴阳角尺，了解其原理，观察地理模型，感悟面面垂直的定义．这种变单向传递为多向交流的方式，以点带面，让所有学生都能深刻的领悟两个平面互相垂直的定义，在掌握知识、培养逻辑推理能力的同时，也让学生感受到了学数学的乐趣．最后，在明确定义、画法、记法的过程中，又进一步培养了学生的抽象概括、表达交流的能力．

环节五：

顺藤摸瓜，探析判定

问题5：

如何通过归纳、类比，发现两个平面互相垂直的判定方法？

课堂活动：

第5小组的学生代表提出两个平面互相垂直的判定定理并证明．

展示内容：

1．通过几个生活实例发现两个平面互相垂直的判定定理；

2．从具体问题中抽象出两个平面互相垂直的判定定理并证明；

3．判定定理的文字语言、图形语言、符号语言．

3.1文字语言：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

3.2图形语言：

3.3符号语言：

设计意图：

数学的本质是生动活泼的数学思维活动．通过设置问题，引导学生在小组学习中类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，发现判定两个平面互相垂直的方法，再结合生活实例，交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，归纳出两个平面互相垂直的判定定理并进行证明．这种类比、归纳的认知过程，让学生意识到立体几何的知识是成体系的，同时数学来源于生活，服务于生活．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，将判定定理赋予抽象的数学符号和表达方式，有助于学生理解定理的本质，明确应用定理的关键，提升学生的数学抽象能力．通过判定定理的证明，进一步巩固对两个平面互相垂直的定义的理解，提升学生的逻辑推理能力．在课堂中，其他小组同学也充分参与，感受整个探究的全过程，在掌握定理的同时，培养了学生的团结协作意识和自主探究能力．

环节六：

应用拓展，知会证明

课堂任务：

通过两道面面垂直的证明题，总结证明方法，规范解题步骤．

课堂活动：

学生代表充当“小老师”，教大家如何证明面面垂直．

展示内容：

1．选择证明方法；

2．讲解证明过程；

3．规范解题步骤．

1．观察正方体，回答如下问题：

（1）平面

与

垂直吗？

（2）平面

与

垂直吗？

（3）平面

与

垂直吗？

2．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：

平面PAC⊥平面PBC．

设计意图：

通过两道具体习题的求解，让学生学以致用，尝试运用定义或定理，探究解决问题的策略与途径，从而进一步体会垂直关系的相互转化．通过归纳解题方法，规范书写，巩固所学知识，提升学生的逻辑推理能力以及分析、解决问题的能力．

环节七：

整合构建，小结反刍

问题6：

在研究平面与平面垂直的过程中，你学到了哪些思想方法？

课堂活动：

第6小组的学生代表谈学习收获．

展示内容：

1．概念：

二面角、二面角的平面角、两个平面互相垂直

2．平面与平面垂直的判定方法：

定义法、两个平面互相垂直的判定定理

3．数学思想方法：

（1）比较与类比

类比平面角的概念定义二面角

类比两直线垂直定义两平面垂直

类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理

（2）转化与化归

“面面垂直”转化为“线面垂直”

“空间问题”转化为“平面问题”

设计意图：

通过设置问题，引导小组学生独立思考，让学生主动构建知识网络，梳理知识，形成体系．知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快为学生所用，提升学生的数学素养．数学思想方法的总结，让学生能更系统，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，逐渐提升学生的数学思维．

结束语：

同学们今天这堂课，我感到很享受，也很快乐！

因为大家积极配合，睿智探索，热情展示，留下了青春的靓丽和学习的精彩！

用四句话来总结这堂课：

面面垂直源身边，类比转化得概念，

思辨论证真知现，两种判定记心间！

（五）研究性学习课后拓展

1．（必做题）

（1）课本P73习题2.3 A组3,4

（2）数学日记：

姓名：

年月日　　　　　

今天数学课的课题是：

涉及的重要知识有：

用到的数学思想和方法有：

不明白或还需要进一步理解的地方是：

2．（拓展题）

探究：

已知

平面

，

．

（1）有哪些线线垂直关系?

（2）有哪些线面垂直关系?

（3）有哪些面面垂直关系?

3．（选做题）研究性作业

观察生活中的面面垂直关系，结合本节课的探究经验，你还能有其它进一步的认识吗？

请试着将空间中的线面垂直关系形成体系，绘制一个详细的知识网络图．

设计意图：

设计了基础题与拓展题、选做题，因材施教，这样既面向总体又照顾学生差异，满足不同学生发展的需要，最终实现全体学生的学习水平在差异状态下的差异发展．也落实了将新课程倡导的“数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展．”

二、教学反思

通过本节课的教学实践，我认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”．我认为本节课做得较好的有以下几点：

（1）新颖的设计思路

本节课采用问题引导、合作探究的教学方法，设计七大教学环节，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流．从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学的重点知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了解决重点、难点知识的问题环节；评估了学生的知识理解水平，具有一定的可操作性和调控性．

（2）良好的课堂开端

通过观看《几何原本》的视频，让大家眼前一亮，激发了学生的学习兴趣，让学生了解了几何学的发展史，感悟了《几何原本》公理化的数学体系．通过在《几何原本》和我们课本体系中将“两个平面互相垂直”这一问题进行比较，让学生进一步领悟课本体系的研究思路，对本节课的学习内容有了一个总体的把握和深入的理解，为后面的探究环节埋下伏笔．

（3）精彩的课堂展示

在教学中，由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”．学生成为课堂上真正的主人，开展数学体验，丰富学习方式，师生有共同的、积极的情感体验．

（4）愉悦的教学环境

整个课堂教学过程中，教师教态得体，亲和力强，学生积极配合，广泛参与，主动探究，整个教学如行云流水，朴实，自然，和谐，从而较好的完成了教学目标．

当然，教学是一门遗憾的艺术，虽然整个设计有了意料之中的收获，但仍有些许遗憾：

（1）在课前我将几何画板及屏幕GIF录制软件结合使用，在几何画板中绘制了各种动态演示图，通过屏幕GIF录制软件插入到了PPT中，想要简单快捷的满足了学生直观感知的需要，又保证了立体几何图形的严谨规范．可是学生在小组研究中已经通过做模型，寻找实物的方式亲身感知和领悟了本节课的相关概念，所以在课堂中我就没有将它们呈现出来．

（2）学生在展示研究成果的时候有两个地方出现了口误，如：

第5小组同学在最后讲解判定定理的证明过程时将展示内容上的“

”不小心读成了“

”，我认为这并不影响学生对这个问题的理解，所以并没有在课堂上及时给他们指出来，而是采取课后单独交流的方式．

精彩课堂源学习方式的多元结合

——《空间中平面与平面的垂直关系》点评

1．多元的学习方式．这节课的教学，将课前课中课后作为教学的整体．课前学生在老师的任务驱动下，分工查找研究，自主完成学习任务．在整个教学过程中，无论是课前的学习、思考、实践，还是课中的展示、应用、总结，都始终采取任务驱动法和教师的启发、讨论、参与的教学方式以及学生的自主、合作、探究的学习方式，丰富了教学的学习方式．在整个教学活动中，教师退居“二线”，只是引导者，学生始终是活动的主体，增强了数学育人的针对性和实效性．

2．注重素养的教学意识．这节课的教学设计，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，尤其突出的是以下两个环节：

一是从平面与平面垂直的判定方法的探索切入，让学生经历平面与平面垂直判定定理的形成过程（观察——归纳——猜想——证明），体会数学研究的基本方法，培养了学生直观想象、抽象概括、逻辑推理能力；二是以二面角的平面角的概念教学为契机，让学生经历概念的形成过程（学习——质疑——探索——应用），体会数学知识的科学性和合理性，培养学生的科学精神、创新意识和应用能力．这充分表明了教师的教学意识从突出能力到转变为突出数学学科核心素养，并将数学学科核心素养落实于课堂的教学实践．

3．弘扬文化的教学渗透．这节课的教学，通过学生阅读《几何原本》，了解几何学发展的历史，向学生渗透了数学文化；通过《几何原本》与课本相应内容的比较，让学生领悟到《几何原本》和课本的研究思路，体会到数学体系的严密逻辑性，深入地挖掘了课程内容的育人价值．

4．数学本质的教学回归．这节课通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义，引导学生探索空间中两个平面垂直的定义方法，从中体会定义一个数学对象的基本思想，回归了数学的本质．在探究二面角的度量时，学生通过试验发现平面角的概念形成，还原了概念产生形成的过程与原因．

5．整体设计的教学实现．平面与平面的垂直关系是空间中线面（直线与直线、直线与平面、平面与平面）位置关系的定性（平行、垂直）研究的最后一个关系，这节课通过深入挖掘已经研究的位置关系的内在逻辑性和研究方法，用以研究平面与平面的垂直关系，这个立足于单元教学和整体的设计，让学生建立了数学知识与方法的整体性与联系性．

总之，这一堂课以发展学生数学学科核心素养为导向，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，是一堂精心设计，敢于探索，勇于实践，落实立德树人要求的好课．

不足之处：

1．课前准备要求较高，增加学生课外负担；

2．由于注重概念定理的产生过程，应用显得不足．