学习奥数的基本方法一.docx
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学习奥数的基本方法一
第1讲列表尝试法
教学目标
1、掌握学习奥数的基本方法——尝试法。
2、应用尝试法解决问题。
3、培养学生思维，形成用尝试法解决问题的思路。
重 点
1、能根据题意，独立设计一个列表，来解决问题。
2、根据假定的数量，确定求其他数量的算式，填表解决。
3、思维方法训练，养成应用列表尝试法的习惯。
难 点
1、能根据题意，独立设计一个列表，来解决问题。
2、根据假定的数量，确定求其他数量的算式，填表解决。
教学内容
【内容概述】
有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来。
数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的．猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验。
对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试．
【典型问题-1】猜猜凑凑——尝试法
例1、小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的积，你知道小明想的三个数都是什么吗？
分析：
用猜猜凑凑——尝试法
解：
猜——小明想的三个数是1、2、3．
检验：
1＋2＋3=6
1×2×3=6
所以：
1＋2＋3=1×2×3
想一想：
还有其他答案吗？
练习1、小明心中想到3个数，这3个数的和等于这3个数的积少1，你知道小明想的3个数都是什么吗？
练习2、100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？
例2、一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？
分析：
用猜猜凑凑——尝试法
解：
①猜——可以先从小数猜起．2个老人3个梨．
检验：
2个老人3个梨符合一人一梨多一梨的条件．
但是不是符合另一个条件呢？
先看：
若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假设3个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条件．
②再猜：
若是3个老人4个梨呢？
显然这符合第一个条件．
再看第二个条件是不是也符合呢？
若是一个老人分2个梨，3个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，
这样就少6-4=2个梨，对了！
所以最后答案就是3个老人4个梨．
练习3、一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多两梨，一人两梨少一梨，问几个老人几个梨？
分析：
用猜猜凑凑——尝试法
新尝试：
可以用下列表来推算
解题思路：
假定人数，就可算出两种情况下的梨数。
如果两种情况的梨数等，那就符合条件的答案。
解题关键：
能根据题目中的叙述，列出求梨数的算式。
人数
梨数
答案
条件：
一人一梨多两梨
条件：
一人两梨少一梨
列式：
人数×1＋2
列式：
人数×2－1
1
3
1
2
4
3
3
5
5
√
4
6
7
5
7
9
6
8
11
提示：
对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试
【典型问题-2】列表尝试法
例3、老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32岁，老大的岁数比老二大3岁，而且老大的岁数是老三的3倍，问兄弟三人各几岁？
分析：
较复杂，用列表尝试法试试。
因为老大的岁数是老三的3倍，所以老大的岁数是3的倍数，设计下表填写尝试解题。
提示：
假如假设老大的岁数，如何列出计算老二、老三年龄的算式？
老大
老二
老三
年龄和
正确答案
老大－3
老大÷3
3
0
1
4
6
3
2
11
9
6
3
18
12
9
4
25
15
12
5
32
√
18
15
6
39
练习4、老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32岁，老大的岁数比老二大3岁，而且老大的岁数是老三的2倍，问兄弟三人各几岁？
解：
设计下表填写尝试解题，先假定＿＿＿年龄，再写出求＿＿＿和＿＿＿年龄的算式
老大
老二
老三
年龄和
正确答案
练习5、老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是28岁，老大的岁数比老二大2岁，而且老大的岁数是老三的2倍，问兄弟三人各几岁？
聪明的同学，你能设计一个表格尝试解题吗？
例4、240元钱平均分给若干人．正在分时，有一个人离开了，因而现在每人多分了1元．问现在有多少人？
分析：
较复杂，用列表尝试法解
解：
列表尝试．因为若240人分240元，每人分得1元；若是120人分，每人分得2元……
练习6、幼儿园把一批桔子分给小朋友．如果分给大班的学生每人5只余10只；如果分给小班的学生每人8只缺2只．已知小班比大班少3人，问这批桔子有多少只？
课堂巩固练习：
1．林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1．请猜出林林心中想的这三个数各是几？
2．游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽．一个男孩说：
“我看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：
“我看见的蓝帽比红帽多一倍．”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女孩吗？
3．如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶．如果在每页贴2片树叶就会空出6页．问这个小本子共多少页，树叶有多少片？
4．在一次数学考试中规定：
做对一道题得5分，做错一道题扣3分．小伟做了10道题共得了34分，请问他做对了几道题？
5．小燕今年10岁，爸爸40岁，爸爸的年龄是小燕的4倍．几年以后，爸爸的年龄正好是小燕的2倍？
家庭作业
1、松鼠采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，共采了112个，平均每天采14个．问其中雨天是多少？
2、兄弟两人去钓鱼，共钓了52条，其中弟弟钓的鱼是哥哥的2倍多1条，问两人各钓了多少条鱼？
3、10元币和5元币共45张，合计350元．10元币多少张？
5元币多少张？
4、今年弟弟8岁，哥哥14岁，当两人的年龄之和是48岁时，两人年龄各几岁？
5、100个人吃92个馒头，大人一人吃2个，小孩两人吃1个，恰好吃完．问大人、小孩各多少人？
第2讲画图凑数法
教学目标
1、掌握学习奥数的基本方法——画图凑数法。
2、应用画图凑数法解决简单的鸡兔同笼问题。
3、培养学生思维，形成用凑数法解决问题的思路。
重 点
1、掌握学习奥数的基本方法——画图凑数法。
2、应用画图凑数法解决简单的鸡兔同笼问题。
难 点
掌握学习奥数的基本方法——画图凑数法。
教学内容
【内容概述】
解决数学问题，直观地更表达更能分析条件问题及数量关系。
有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来，可是只要画个图就能显示清楚了。
解题过程中，可以通过画图来将问题条件一一表达出来，用画图的方法解决问题。
【典型问题-1】鸡兔同笼
例1、一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚。
如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？
分析：
每只动物都有一个头，每个动物至少有2条腿，将头和腿一一画出后，会发现还剩余腿。
因为鸡只有2条，所以多余的腿是兔腿，再给兔子画上。
解：
这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题。
见图15－1
（1）、
（2）、（3）。
1、先画10个头，代表10只动物
2、再在每个头下画上两条腿，
数一数，共有20条腿，题中给出的腿数是26，还多了26-20=6条腿。
3、给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔。
边添腿边数，凑够26条腿。
每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔。
这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡。
小结：
①如果“头数”不能决定是什么动物，我们用“腿数”来决定。
②鸡和兔都是小动物，我们把小动物看成一类。
③当腿数“配制”画上去后，就可以看出哪些不是鸡了。
练习1：
鸡、兔同笼，有15个头，40只脚，问有鸡、兔各多少只？
练习2：
笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？
【典型问题-2】车辆同棚
例2、一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子。
车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个。
问自行车几辆，三轮车几辆？
分析：
10辆车，每辆至少有2个轮子，发挥想像力和创造力，画一个简图代表车身，然后加轮子。
解：
①先画10个车身：
②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：
③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车。
边添边凑数，凑出26个轮子出来。
最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车。
小结：
用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快。
把三个步骤合起来，就能得出答案。
练习3：
一辆三轮车有3个轮子，一辆电动汽车有4个轮子，车棚里放着三轮车和电动汽车共12辆，数数车轮共有40个。
问三轮车几辆？
电动汽车几辆？
练习4：
全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每船坐5人，小船每船坐3人。
大船有多少只？
小船有多少只？
【典型问题-3】硬币同盒
例3、30枚硬币由2分和5分组成，共值9角6分，两种硬币各多少枚？
分析：
这30枚硬币，每枚至少是2分，我们画出这30枚，再把少的分值在相应的硬币上添加，即可知道多少个5分的。
解：
①先画30个硬币。
每个2分，是6角。
②还剩下96分-60分＝36分，每个硬币补3分，就是5分的了，需要补36÷3＝12个
所以有12个5分硬币，18个2分硬币。
练习5：
今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分。
问每种各几张？
练习6：
买2角邮票和5角邮票共36张，总价为12元。
问：
买2角和5角的邮票各多少张？
【典型问题-4】复杂问题简单化——抽象思维
例4、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿。
现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿。
问蛐蛐几只，蜘蛛几只？
分析：
无论蛐蛐还是蜘蛛，至少有6条腿，先画出10只动物，如果还有剩余的腿，说明是蜘蛛的，每只动物再加＿＿＿＿＿条腿。
提醒：
因为腿较多，画出来显得乱，我们可以用数字表示。
解：
此题要想个更简单的办法，见图15－3
（1）、
（2）。
①先画10个头，在每个头下写上数字“6”，代表6只腿，即先假设10只都是蛐蛐，则如：
②数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿（写个“2”），它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了。
最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐。
总结：
解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦。
其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了！
第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：
6×10=60条腿。
第二步，算一算少了多少条腿？
少了68-60=8条腿。
第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢？
8÷2=4只（蜘蛛），
第四步，再算出蛐蛐的只数出来：
10-4=6只（蛐蛐）。
这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了。
如果能这样，你的思维能力就又提高一步了！
重要的是，我们就可以不用“凑数”的尝试方法了。
练习7：
植树节同学们去参加植树活动。
48个同学共植树169棵，男生平均每人植树4棵，女生每人植树3棵。
男生和女生各去多少人？
【典型问题-5】错题扣分
例5、小明计算20道竞赛题，做对一题得5分，做错一题倒扣3分，结果小明得了60分，他做对了几道题？
分析一：
答题只有两种情况，对或者错。
先画20道题，每题得5分，共100分，这样得分比实际的60分多40分，说明有错题，要扣分，每题得到的5分要扣掉，还要再扣掉3分，错题每题扣8分。
注意：
可以直接用数字表示分数，得5分用＋5表示，扣3分用－3表示。
解：
先画20个题，每题先得5分，共得100分，
②把错题扣分，每题得到的5分要扣掉，还要倒扣3分，即每题要扣8分，40分要扣5题。
③答对15道题。
分析二：
从扣分考虑，做错一题，该得的5分不得，还要倒扣3分，即错一题扣8分；每题5分，全对得100分，实际得60分，所以扣掉40分。
我们可以先画20道题，每道错题－8分，只要错＿＿＿＿＿题就够数了？
解二：
先画20个题
②每题－8分，总共扣的40分是5题扣的。
③答对了15道题。
练习8：
一名学生参加数学竞赛，评分标准是做对一题得8分，做错一题倒扣8分，这名学生
10道题，共得了64分，问：
他答错了多少题？
课堂巩固练习：
1、鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？
2、盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。
盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？
3、一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
4、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。
其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。
求汽车和摩托车各有多少辆？
5、小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。
求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张？
6、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？
家庭作业：
1、笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？
2、精装彩笔每盒19元，简装彩笔每盒11元，这两种彩笔共买了16盒，花去280元。
精装彩笔买了多少盒？
简装彩笔买了多少盒？
3、有一首中国民谣：
“一队猎手一队狗，二队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？
”
4、把99粒棋子放在两种型号的17个盒子里，每个大盒子里放12粒，每个小盒子里放5粒，恰好放完。
问大、小盒子各多少个？
5、数学竞赛试卷共有10道题，做对一题得10分，做错一题扣2分。
小明最终得了76分。
问他做对了几题，做错了几题？
6、工地用一辆卡车运黄沙，晴天每天可以运6趟，雨天每天可以运4趟。
这辆卡车在一个星期（7天）内共运36趟黄沙。
这个星期内晴天和雨天各有多少天？
7、面值为5角和8角的邮票共30张，总价值18元，那么，面值为5角的邮票共多少张？
第3讲 枚举法
教学目标
1、了解枚举法的意义，掌握枚举法。
2、学会用枚举法解决相应的问题。
3、提高分析问题的能力，考虑问题更加严密，周全。
重 点
弄清列举分类的标准，正确地进行分类。
难 点
列举时做到不重复、不遗漏。
教学内容
【专题简析】
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析、解决问题的方法叫做列举法。
列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图来帮助分析问题。
注意事项：
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：
一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
【典型问题-1】组数游戏
例1、一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
分析：
分不同情况列举，可以把6出现在各个数位的上情况一一列举。
解：
把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：
6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：
60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：
在排页码时要用20个数字是6的铅字。
练习1.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？
如（1，2，9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一数组。
练习2、用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？
分别是哪几个数？
【典型问题-2】有几种路线
例2、从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。
从A市经过B市到C市有几种走法？
（适于三年级程度）
分析：
画图分析，把可能出现的情况一一画出来。
解：
作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：
A①B④C
第二种走法：
A①B⑤C
第三种走法：
A②B④C
第四种走法：
A②B⑤C
第五种走法：
A③B④C
第六种走法：
A③B⑤C
答：
到C市共有6种走法。
练习3、从A市经过B市1，从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。
从甲地到丙地有多少种不同走法？
练习4、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？
【典型问题-3】搭配问题
例3、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
分析：
要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。
解：
画图如下
从上面可以看出：
红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号；
绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号；
黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号。
因而共有3个2种不同排列方法，即：
2×3=6种。
练习5、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。
小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？
练习6、明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。
最多可搭配成多少种不同的装束？
【典型问题-4】分情况讨论
例4、用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。
哪一种方法围成的长方形面积最大？
分析：
要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。
解：
因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。
列表3-1：
表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。
因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积分别是：
35×5=175（平方厘米）
30×10=300（平方厘米）
25×15=375（平方厘米）
答：
当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
练习7、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
练习8、一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
【典型问题-5】方案问题
例5、小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。
要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？
用算式表达出来。
（适于五年级程度）
分析：
分几种情况来列举，为了不遗漏，可以按面值从＿＿＿到＿＿＿的顺序。
解：
（1）只拿出一种硬币的方法：
有3种方法。
①全拿1分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）
②全拿2分的：
2+2+2+2+2=1（角）
③全拿5分的：
5+5=1（角）
（2）只拿两种硬币的方法：
有5种方法。
①拿8枚1分的，1枚2分的：
1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）
②拿6枚1分的，2枚2分的：
1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）
③拿4枚1分的，3枚2分的：
1+1+1+1+2+2+2=1（角）
④拿2枚1分的，4枚2分的：
1+1+2+2+2+2=1（角）
⑤拿5枚1分的，1枚5分的：
1+1+1+1+1+5=1（角）
（3）拿三种硬币的方法：
有2种方法。
①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：
1+1+1+2+5=1（角）
②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：
1+2+2+5=1（角）
共有：
3+5+2=10（种）
答：
共有10种拿法。
练习9、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
【典型问题-6】排列、组合问题
例6、有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？
分析：
为了避免重复，我们可以把这8个小朋友编上号，分别是A、B、C、D、E、F、G、H。
小朋友A要和B、C、D、E、F、G、H分别打一个电话，这就7个电话；
小朋友B要和C、D、E、F、G、H分别打一个电话，就打了6个电话；
依次类推，小朋友C要打5个电话；小朋友D要打4个电话；小朋友E要打3个电话；小朋友F要打2个电话；小朋友G要打1个电话。
解：
7+6+5+4+3+2+1=28（次）
答：
他们一共打了28次电话。
练习10、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？
课堂巩固练习：
1、一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？
2、被除数、除数、商都是自然数，它们的和是16，商和余数相同，问这样的除法算式可以写出几个？
3、印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
（适于四年级程度）
4、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。
从甲地到丙地有多少种不同走法？
5、3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？
如（1，2，9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一数组。
6、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？
7、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？
8、一条公路上，共有8个站点。
如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？
家庭作业：
1、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？
2、在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？
3、从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？
4、一次数学考试共有20道题，规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不计分，考试结束后小明共得23分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题目是个偶数，请你帮助计算一下，他答错了几道题？
5、已知A、B、C、D为自然数，且A×B=24，C×D=32，B×D=48，B×C=24，求A、B、C、D的和是多少？
6、小敏做红花，；四天共做17朵，并且一天比一天做得多。
已知小敏第四天做的朵数少于前三天做的朵数的和，如果把这四天做的朵数相乘，正好等于第二天做的朵数的40倍。
那么，
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