高三数学复习第34篇.docx
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高三数学复习第34篇
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[最新考纲]
1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
知识梳理
1．角的概念的推广
（1）定义：
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）分类
（3）终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
（1）定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
（2）公式：
角α的弧度数公式
|α|＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算
①1°＝rad ②1rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
y叫做α的正弦，记作sinα
x叫做α的余弦，记作cosα
叫做α的正切，记作tanα
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
口诀
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
辨析感悟
1．对角的概念的认识
（1）小于90°的角是锐角．（×）
（2）锐角是第一象限角，反之亦然．（×）
（3）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.（×）
（4）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．（×）
2．任意角的三角函数定义的理解
（5）（教材练习改编）已知角α的终边经过点P（－1,2），则sinα＝＝.（√）
（6）（2013·济南模拟改编）点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第二象限．（√）
（7）（2011·新课标全国卷改编）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cosθ＝.（×）
[感悟·提升]
1．一个区别 “小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：
小于90°的角的范围：
，锐角的范围：
，第一象限角的范围：
（k∈Z）．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如
（1）、
（2）．
2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如（3）；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如（7）．
考点一 象限角与三角函数值的符号判断
【例1】
（1）若sinα·tanα＜0，且＜0，则角α是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
（2）sin2·cos3·tan4的值（ ）．
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
解析
（1）由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
（2）∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，
∴sin2·cos3·tan4＜0.
答案
（1）C
（2）A
规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．
【训练1】 设θ是第三象限角，且＝－cos，则是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos，∴cos≤0，知为第二象限角．
答案 B
考点二 三角函数定义的应用
【例2】 已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．
解 由题意得，r＝，∴sinθ＝＝m.
∵m≠0，∴m＝±.故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为（－，），角θ是第二象限角，
∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为（－，－），角θ是第三象限角．
∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝.
综上可知，cosθ＝－，tanθ＝－或cosθ＝－，tanθ＝.
规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：
角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
【训练2】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.
综上可知，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－或sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
考点三 扇形弧长、面积公式的应用
【例3】 已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R.
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
审题路线
（1）角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S弓＝S扇－S△⇒分别求S扇＝
lr，S△＝r2sinα⇒计算得S弓．
（2）由周长C与半径R的关系确定R与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S扇与α的关系式⇒求解最值．
解
（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝（cm），
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin
＝π－＝50（cm2）．
（2）法一 扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·2
＝α·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2rad时，扇形面积有最大值.
法二 由已知，得l＋2R＝C，
∴S扇＝lR＝（C－2R）R＝（－2R2＋RC）
＝－2＋.
故当R＝，l＝2R，α＝2rad时，这个扇形的面积最大，最大值为.
规律方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
【训练3】
（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？
扇形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解
（1）设扇形的圆心角为θrad，则扇形的周长是2r＋rθ.
依题意：
2r＋rθ＝πr，∴θ＝（π－2）rad.
∴扇形的面积S＝r2θ＝（π－2）r2.
（2）设扇形的半径为r，弧长为l，
则l＋2r＝20，即l＝20－2r（0＜r＜10）．
∴扇形的面积S＝lr＝（20－2r）r
＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25.
∴当r＝5cm时，S有最大值25cm2，
此时l＝10cm，α＝＝2rad.
因此，当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．
1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．
2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
创新突破3——以任意角为背景的应用问题
【典例】 （2012·山东卷）如图，
在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为________．
突破1：
理解点P转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形．
突破2：
在直角三角形中利用三角函数定义求边长．
突破3：
由几何图形建立P点坐标与边长的关系．
解析 如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,Q为垂足．
根据题意得劣弧＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，|CQ|＝cos＝sin2，
|PQ|＝sin＝－cos2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos2，所以P点的坐标为（2－sin2,1－cos2），故＝（2－sin2,1－cos2）．
答案 （2－sin2,1－cos2）
[反思感悟]
（1）解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．
（2）常见实际应用问题有：
表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等．
【自主体验】
已知圆O：
x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝（ ）．
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tanα＝1.
答案 B
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵sinα＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案 C
2．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于（ ）．
A．sin B．
C． D．2sin
解析 设圆的半径为r，由题意知r·sin＝1，
∴r＝，∴弧长l＝α·r＝.
答案 C
3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是（ ）．
A．sin B．cos
C．tan D．cos2θ
解析 因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.
答案 C
4．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（ ）．
A． B．
C． D．
解析 由sin＞0，cos＜0知角θ是第四象限的角，
∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π），∴θ＝.
答案 D
5．有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα＝.
其中正确的命题的个数是（ ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①正确，②不正确，
∵sin＝sin，而与角的终边不相同．
③不正确．sinα＞0，α的终边也可能在y轴的正半轴上．
④不正确．在三角函数的定义中，cosα＝＝，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．
答案 A
二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝______.
解析 因为sinθ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案 －8
7．
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝____.
解析 因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cosα＝－.
答案 －
8．函数y＝的定义域为________．
解析
∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围（如图阴影所示）．
∴x∈（k∈Z）．
答案 （k∈Z）
三、解答题
9．
（1）写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式
－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
（2）试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解
（1）①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
（2）终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式
－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
10．
（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（2）一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解
（1）设圆心角是θ，半径是r，则
解得或（舍去）．
∴扇形的圆心角为.
（2）
设圆的半径为rcm，弧长为lcm，
则解得
∴圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin1＝sin1（cm），
∴AB＝2sin1（cm）．
能力提升题组
（建议用时：
25分钟）
一、选择题
1．（2014·杭州模拟）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是（ ）．
A．（－2,3] B．（－2,3）
C．[－2,3） D．[－2,3]
解析 由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.
答案 A
2．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案 A
二、填空题
3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析 原式＝＋，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.
答案 0
三、解答题
4．已知sinα＜0，tanα＞0.
（1）求α角的集合；
（2）求终边所在的象限；
（3）试判断tansincos的符号．
解
（1）由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tanα＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
.
（2）由（2k＋1）π＜α＜2kπ＋，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
（3）当在第二象限时，tan＜0，sin＞0，cos＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，sin＜0，cos＞0，
所以tansincos也取正号．
因此，tansincos取正号．
第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[最新考纲]
1．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
＝tanα.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tanα
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
3.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
0
π
sinα
0
1
0
cosα
1
0
－
－1
tanα
0
1
－
－
0
辨析感悟
1．对三角函数关系式的理解
（1）若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1.（×）
（2）若α∈R，则tanα＝恒成立．（×）
（3）（教材练习改编）已知sinα＝，α∈，则cosα＝.（×）
2．对诱导公式的认识
（4）六组诱导公式中的角α可以是任意角．（√）
（5）诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．（√）
（6）角π＋α和α终边关于y轴对称．（×）
3．诱导公式的应用
（7）若cos（nπ－θ）＝（n∈Z），则cosθ＝.（×）
（8）（2013·广东卷改编）已知sin＝，则cosα＝－.（×）
[感悟·提升]
1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z，如
（1）、
（2）．
2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如（3）；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：
去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】
（1）已知tanα＝2，则＝________________________________________________________________________，
4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
（2）（2014·山东省实验中学诊断）已知sinθ·cosθ＝，且＜θ＜，则cosθ－
sinθ的值为________．
解析
（1）＝＝＝－1，
4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝
＝＝＝1.
（2）当＜θ＜时，sinθ＞cosθ，∴cosθ－sinθ＜0，
又（cosθ－sinθ）2＝1－2sinθcosθ＝1－＝，
∴cosθ－sinθ＝－.
答案
（1）－1 1
（2）－
规律方法
（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－
cosα，sinαcosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα可以知一求二．
（2）关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．
【训练1】
（1）已知sinα＋cosα＝，0＜α＜π，则tanα＝______.
（2）已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα＝________.
解析
（1）法一 联立方程
由①得cosα＝－sinα，将其代入②，
整理得25sin2α－5sinα－12＝0.
又0＜α＜π，∴∴tanα＝－.
法二 ∵sinα＋cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝2，
即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.
∵sinαcosα＝－＜0且0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
∴sinα－cosα＝，
由得∴tanα＝－.
（2）∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：
9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：
sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cosα＝±.
答案
（1）－
（2）±
考点二 利用诱导公式化简三角函数式
【例2】
（1）sin（－1200°）cos1290°＋cos（－1020°）·sin（－1050°）
＝________.
（2）设f（α）＝（1＋2sinα≠0），则f＝________.
解析
（1）原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°
＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）－cos（2×360°＋300°）sin（2×360°＋330°）
＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°
＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）－cos（360°－60°）·sin（360°－30°）＝
sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.
（2）∵f（α）＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
答案
（1）1
（2）
规律方法
（1）诱导公式应用的原则：
负化正、大化小，化到锐角为终了．
（2）诱导公式应用的步骤：
→→
→
注意：
诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．
【训练2】
（1）sin（－1071°）sin99°＋sin（－171°）sin（－261°）＋
tan（－1089°）tan（－540°）＝________.
（2）化简：
＝________.
解析
（1）原式＝（－sin1071°）·sin99°＋sin171°·
sin261°＋tan1089°·tan540°
＝－sin（3×360°－9°）sin（90°＋9°）＋sin（180°－9°）·
sin（270°－9°）＋tan（3×360°＋9°）·tan（360°＋180°）
＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＋tan9°·tan180°
＝0＋0＝0.
（2）原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
答案
（1）0
（2）－1
考点三 利用诱导公式求值
【例3】
（1）已知sin＝，则cos＝______；
（2）已知tan＝，则tan＝________.
解析
（1）∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
（2）
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