届高三数学新高考一轮复习检测 74高考大题规范解答系列六概率与统计.docx
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届高三数学新高考一轮复习检测74高考大题规范解答系列六概率与统计
[练案74]高考大题规范解答系列（六）——概率与统计
1．（2020·江西吉安期中）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
态度调查人群
应该取消
应该保留
无所谓
在校学生
2100人
120人
y人
社会人士
600人
x人
z人
（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．
[解析]
（1）因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，
所以＝0.05，所以x＝60.
所以持“无所谓”态度的人数共有
3600－2100－120－600－60＝720，
所以应在“无所谓”态度抽取720×＝72人．
（2）由
（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，
则第一组在校学生人数ξ＝1,2,3，
P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
即ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
∴E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝2.
2．（2019·湖南衡阳模拟）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．某校为了让学生更好地了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1,2,3分的积分奖励，高二
（1）班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）记A表示事件“高二
（1）班未闯到第三关”，求P（A）的值；
（2）记X表示高二
（1）班所获得的积分总数，求X的分布列和数学期望．
[解析]
（1）令A1表示事件“高二
（1）班闯过第一关”，A2表示事件“高二
（1）班闯过第二关”，因为P（A1）＝（）2＝，P（A2）＝（）2＝，所以P（A）＝P（）＋P（A1）＝（1－）＋×（1－）＝.
（2）随机变量X的取值为0,1,3,6，则P（X＝0）＝1－（）2＝，P（X＝1）＝（）2×[1－（）2]＝，
P（X＝3）＝（）2×（）2×（×＋××＋××）＝，
P（X＝6）＝（）2×（）2×（×＋××＋××）＝，
故随机变量X的分布列为
X
0
1
3
6
P
所以E（X）＝0×＋1×＋3×＋6×＝.
3．（2020·百师联盟期中）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，其中游戏水平为高级和非高级两种．
（1）根据题意完善下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？
高级
非高级
合计
女
40
男
140
合计
（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；
①若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．
②设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附表：
K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P（K2≥k0）
0.010
0.05
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
[解析]
（1）
性别
高级
非高级
合计
女
40
160
200
男
60
140
200
合计
100
300
400
K2＝≈5.333<6.635，
所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关．
（2）①甲入选3人名单的概率为P＝＝；
②根据分层抽样的特征10人中男、女各5人，女生的人数X的所有取值为0,1,2,3；
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝；
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．（2020·河北省石家庄市质检）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额x（万元）
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长y（万元）
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？
（结果保留两位小数）
（2）现从2012年～2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2（万元）的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．
参考公式：
＝＝，＝－.
参考数据：
iyi＝359.6，＝259.
[解析]
（1）＝6，＝8.3,7＝348.6，
＝＝＝≈1.571，
＝－＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，
那么回归直线方程为：
＝1.57x－1.13，
将x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，
即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元．
（2）由题意可知，
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
λ
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
ξ的可能取值为1,2,3，
P（ξ＝1）＝＝；
P（ξ＝2）＝＝；
P（ξ＝3）＝＝.
则分布列为
ξ
1
2
3
P
E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.
5．（2019·安徽合肥质检）每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：
小时），并绘制出如图的频率分布直方图：
（1）求这100人睡眠时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（2）由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似地等于样本平均数，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间（39.2,50.8）的人数．
附：
≈5.8.若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），
则P（μ－σP（μ－2σ[解析]
（1）＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.
（2）由题意得，μ－σ≈39.2，μ＋σ≈50.8，
P（39.2所以估计该人群中一周睡眠时间在区间（39.2,50.8）的人数约为10000×0.6826＝6826（人）．
6．（2019·东莞模拟）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．
（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？
（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望．
附：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
P（K2≥k0）
0.025
0.010
0.005
k0
5.024
6.635
7.879
[解析]
（1）由茎叶图可得2×2列联表：
正常
偏高
合计
男性
16
4
20
女生
12
8
20
合计
28
12
40
K2＝
＝≈1.905<6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系．
（2）由样本数据可知，男性正常的概率为，女性正常的概率为.
此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0,1,2,3,4，
P（X＝0）＝（1－）2（1－）2＝，
P（X＝1）＝C（1－）（1－）2＋（1－）2C（1－）＝，
P（X＝2）＝（）2（1－）2＋C（1－）·C（1－）＋（1－）2（）2＝，
P（X＝3）＝C（1－）（）2＋（）2C（1－）＝，
P（X＝4）＝（）2（）2＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.8，
即此项血液指标为正常的人数X的数学期望为2.8.
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