知识点215抛物线与x轴的交点选择.docx

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知识点215抛物线与x轴的交点选择

知识点215抛物线与x轴的交点（选择）

1.（2011•玉溪）如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=-1，在下列结论中，错误的是（　　）

A．顶点坐标为（-1，4）B．函数的解析式为y=-x2-2x+3

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．专题：

计算题．

分析：

由于y=-x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），将交点代入解析式求出函数表达式，即可作出正确判断．解答：

解：

将A（1，0），B（0，3）分别代入解析式得

，

解得

则函数解析式为y=-x2-2x+3；

将x=-1代入解析式可得其顶点坐标为（-1，4）；

当y=0时可得，-x2-2x+3=0；

解得，x1=-3，x2=1．

可见，抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0）；

由图可知，当x＜-1时，y随x的增大而增大．

可见，C答案错误．

故选C．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键，同时要注意数形结合．

2.（2011•襄阳）已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3

考点：

抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质．专题：

计算题．

分析：

分为两种情况：

①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，求出△=b2-4ac=-4k+16≥0的解集即可；②当k-3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．

解答：

解：

①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，

△=b2-4ac=22-4（k-3）×1=-4k+16≥0，

k≤4；

②当k-3=0时，y=2x+1，与X轴有交点．

故选B．

点评：

本题主要考查对抛物线与X轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

3.（2011•潍坊）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．专题：

数形结合．

分析：

根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．

解答：

解：

∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，

∴x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，

∴（x-1）（x-3）=0，

解得：

x1=1，x2=3

∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）

故选C．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．

4.（2011•台湾）如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（　　）

A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根

C．两根相同，且为正根

D．两根相同，且为负根

考点：

抛物线与x轴的交点．分析：

由二次函数y=31x2-999x+892的图象得，方程31x2-999x+892=0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．

解答：

解：

∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，

∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．

故选A．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：

抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．

5.（2011•宿迁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）

A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大

C．c＜0

D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．专题：

计算题．

分析：

根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与-1到x=1的距离相等，得出另一个根．

解答：

解：

∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；

∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；

∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；

∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．

6.（2011•黔南州）二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）

A．1B．-1C．-2D．0

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

数形结合．分析：

先把x1=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．

解答：

解：

∵把x1=3代入关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0得，

-9+6+k=0，解得k=3，

∴原方程可化为：

-x2+2x+3=0，

∴x1+x2=3+x2=2，解得x2=-1．

故选B．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．

7.（2011•绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）

A．x1＜x2＜a＜bB．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：

解：

用作图法比较简单，首先作出（x-a）（x-b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x-a）（x-b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：

答案是：

x1＜a＜b＜x2．

故选C．

点评：

本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．

8.（2011•江西）已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（1，0）B．（2，0）C．（-2，0）D．（-1，0）

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx-2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=（x1+x2）/2，可求出它与x轴的另一个交点坐标．

解答：

解：

把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：

0=1+b-2，

∴b=1，

∴对称轴为x=-b/2a=-1/2，

∴x=（x1+x2）/2=-12，

∴x2=-2，

它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．

故选C．

点评：

本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x=（x1+x2）/2．

9.（2011•黄石）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）

A．1＜α＜β＜2B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2D．α＜1且β＞2

考点：

抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．专题：

数形结合．

分析：

先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．

解答：

解：

令m=0，

则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），

故此函数的图象为：

∵m＞0，

∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，

∴α＜1，β＞2．

故选D．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x-1）（x-2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．

10.（2011•菏泽）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（　　）

A．a+b=-1B．a-b=-1C．b＜2aD．ac＜0

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．专题：

计算题．

分析：

根据OA=OC=1和图象得到C（0，1），A（-1，0），把C（0，1）代入求出c=1，把A（-1，0）代入即可求出答案．解答：

解：

∵OA=OC=1，

∴由图象知：

C（0，1），A（-1，0），

把C（0，1）代入得：

c=1，

把A（-1，0）代入得：

a-b=-1，

故选B．

点评：

本题主要考查对抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出A、C的坐标是解此题的关键．

11.（2011•德州）已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

抛物线与x轴的交点；一次函数的图象．专题：

数形结合．

分析：

根据图象可得出方程（x-a）（x-b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．

解答：

解：

根据图象可得a，b异号，

∵a＞b，∴a＞0，b＜0，

∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，

故选D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握，

12.（2011常州）已知二次函数

，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m-1，m+1时对应的函数值

、

，则必值

，

满足（）

A．

>0，

>0B．

<0，

<0C．

<0，

>0D．

>0，

<0

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．

专题：

计算题．

分析：

根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m-1、m+1的位置，进而确定函数值为y1、y2．

解答：

解∵

图象开口向下，与x轴两交点都在0到1之间，由当自变量x取m时，对应的函数值大于0，得0＜m＜1,∴-1＜m-1＜0,1＜m+1＜2,根据图象可得

<0，

<0．故选B．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．

13.（2011•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：

对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，则b的值是（　　）

A．4或-30B．-30C．4D．6或-20

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．

专题：

函数思想．

分析：

由在x=1时取得最大值15，可设解析式为：

y=a（x-1）2+15，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为15-a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．

解答：

解：

由题可设抛物线与x轴的交点为（1-t，0），（1+t，0），其中t＞0，

∵两个交点的横坐标的平方和等于15-a即：

（1-t）2+（1+t）2=15-a，

可得t=13-a2，

由顶点为（1，15），

可设解析式为：

y=a（x-1）2+15，

将（1-13-a2，0）代入可得a=-2或15（不合题意，舍去）

∴y=-2（x-1）2+15=-2x2+4x+13，

∴b=4．

故选C．

点评：

本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．

14.（2010西宁）下列哪一个函数，其图象与

轴有两个交点（）．

A．

B．

C．

D．

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

计算题．

分析：

由题意得，令y=0，看是否解出x值，对A，B，C，D，一一验证从而得出答案．

解答：

解选项A开口向上，顶点在x轴上方，与x轴无交点；选项B开口向上，顶点在x轴上方，与x轴无交点；选项C开口向下，顶点在x轴下方，与x轴无交点；选项D开口向下，顶点在x轴下方，与x轴有两个交点．

点评：

此题考查二次函数的性质及与一元二次方程根的关系．（利用开口方向和顶点坐标也可解答）

15.（2010•台湾）下列哪一个二次函数，其图形与x轴有两个交点（　　）

A．y=-x2+2x-5B．y=-2x2-8x-11C．y=3x2-6x+1D．y=4x2+24

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

分别对A、B、C、D四个选项进行一一验证，令y=0，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根．

解答：

解：

A、令y=0，得-x2+2x-5=0，△=4-4×（-1）×（-5）=-16＜0∴函数图形与x轴没有两个交点，故A错误；

B、令y=0，得-2x2-8x-11=0，△=64-4×（-2）×（-11）=-24＜0∴函数图形与x轴没有两个交点，故B错误；

C、令y=0，得3x2-6x+1=0，△=36-4×3=24＞0，∴函数图形与x轴有两个交点，故C正确；

D、令y=0，得4x2+24=0△=0-4×4×24=-384＜0，∴函数图形与x轴没有两个交点，故D错误；

故选C．

点评：

此题把二次函数和一元二次方程联系起来，判断函数与x轴有无交点，其实就是判断方程有无根的问题，是一种常见的题型．

16.（2010•柳州）抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x…-2-1012…y…04664…

从上表可知，下列说法正确的个数是（　　）

①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．

A．1B．2C．3D．4

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

图表型．

分析：

从表中知道当x=-2时，y=0，当x=0时，y=6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x=-1和x=2时，y=4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．

解答：

解：

从表中知道：

当x=-2时，y=0，

当x=0时，y=6，

∴抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），

从表中还知道：

当x=-1和x=2时，y=4，

∴抛物线的对称轴方程为x=1/2（-1+2）=0.5，

同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．

所以①②④正确．

故选C．

点评：

此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性．

17.（2010•大田县）抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k＞-7/4B．k≥-7/4且k≠0C．k≥-7/4D．k＞-7/4且k≠0

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2-7x-7=0有解，此时△≥0．

解答：

解：

∵抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，

即y=0时方程kx2-7x-7=0有实数根，

即△=b2-4ac≥0，即49+28k≥0，

解得k≥-7/4，且k≠0．

故选B．

点评：

考查抛物线和一元二次方程的关系．

18.（2010•崇左）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：

①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1、x1=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（　　）

A．①B．①②C．①②③D．①②③④

考点：

抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系．

分析：

根据函数的基本性质：

开口方向、与x轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求解．

解答：

解：

①由题意函数的图象开口向下，与y轴的交点大于0，

∴a＜0，c＞0，

函数的对称轴为x=1，

∴-b/2a=1＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，正确；

②由函数图象知函数与x轴交于点为（-1，0）、（3，0），正确；

③由函数图象知，当x＞1，y随x的增大而减小，正确；

④由函数图象知，当-1＜x＜3时，y＞0，正确；

综上①②③④正确，

故选D．点评：

此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图象，还考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．

19.（2010•包头）已知二次函数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中：

①方程kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；②当x=-2时，y=1；③当x＞x2时，y＞0；④x1＜-1，x2＞-1．其中正确的结论是（　　）

A．①②B．①②③C．①②④D．①③④

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

把相应的x的值代入；二次函数与x轴的交点即为转换为一元二次方程等于0的解；与-1相关就加上1后应用相关不等式整理结果；两根相减需确定二次项系数的符号．

解答：

解：

②把x=-2直接代入函数式可得y=1，正确；

③因不知道k的符号，就不知道开口方向，无法确定，错误；

①因为二次函数数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴有两个交点，所以，方程kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2，正确；

④∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=-1k-2k-1k+1=-1＜0，又x1＜x2，

∴x1+1＜x2+1，x1+1＜0，x2+1＞0，即x1＜-1，x2＞-1，正确．

∴正确的结论是①②④．

故选C．

点评：

主要考查了二次函数的性质与一元二次方程的根，及根与系数之间的关系．

20.（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-（2n+1）/n（n+1）x+1/n（n+1）与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（　　）

A．2009/2008B．2008/2009C．2010/2009D．2009/2010

考点：

抛物线与x轴的交点．

专题：

规律型．

分析：

本题就是将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．

解答：

解：

将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2-3/2x+1/2，y=x2-5/6x+1/6，y=x2-7/12x+1/12，…；

分别解得x1=1，x2=1/2，x3=1/2，x4=1/3，x5=1/3，x6=1/4，…；

∴A1B1=1-1/2，A2B2=1/2-1/3，A3B3=1/3-1/4，…，A2009B2009=1/2009-1/2010；

∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2009-1/2010=1-1/2010=2009/2010．

故选D．

点评：

此题是一道开放题，需要先代入几个特殊值，找出规律，然后解答．

21.（2009•台湾）下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点（　　）

A．y=17（x+83）2+2274B．y=17（x-83）2+2274C．y=-17（x-83）2-2274D．y=-17（x+83）2+2274

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

利用函数图形与x轴有两个交点看图象的顶点坐标性质．

解答：

解：

A、∵a=17＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为x=-83时y=2274＞0．与x轴没有交点；

B、∵a=17＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为x=83时y=2274＞0．与x轴没有交点；

C、∵a=-17＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为x=83时y=-2274＜0．与x轴没有交点；

D、∵a=-17＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为x=-83时y=2274＞0．与x轴有两交点．

故选D．

点评：

判断函数图形与x轴的交点个数时可以根据系数的大小及顶点坐标来判断．

22.（2009•陕西）根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（　　）

x…-1012…y…-1-74-2-74…

A．只有一个交点

B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧

C．有两个交点，且它们均在y轴同侧

D．无交点

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

图表型．

分析：

利用二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值．

解答：

解：

根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x=0，x=2时，y的值都等于-74＜0，

又根据二次函数的图象对称性可得：

x=1是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值-2，

因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．

故选B．

点评：

本题难度中等，考查二次函数与一元二次方程的关系．

23.（2009•防城港）二次函数y=-x2+1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C．下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是（0，1）C．AB的长为2D．y随x的增大而减小

考点：

抛物线与x轴的交点．

分析：

由于二次函数y=-x2+1的图象与二次函数y=-x2的图象相同，所以对称轴仍为y轴；A，B两点间的距离即为两交点之间的距离；根据这些即可判断选项的正误．

解答：

解：

由题意可得：

A、∵二次函数y=-x2+1的图象的对称轴为y轴，∴△ABC是等腰三角形，正确；

B、∵二次函数y=-x2+1的常数项为1，∴二次函数y=-x2+1的图象与y轴交于点（0，1），即点C的坐标是（0，1），正确；

C、AB=|x2-x1|=（x1+x2）2-4x1x2=2，正确；

D、∵a=-1＜0∴抛物线开口向下，当x＞0时y随x的增大而减小；当x＜0时y随x的增大而增大．错误；

故选D．

点评：

要求熟悉二次函数y=-x2+1的图象与二次函数y=-x2的图象的关系和坐标轴上两点距离公式|x1-x2|，并熟练运用．

24.（2009•毕节地区）二次函数y=x2-5x+6的图象与x轴有交点，则交点坐标是（　　）

A．（-2，0）（-3，0）B．（2，0）（3，0）C．（0，-2）（0，-3）D．（0，2）（0，3）

考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

计算题．

分析：

根据函数与方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为当y=0时，方程x2-5x+6