中考数学模型专题.docx

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中考数学模型专题

中考数学模型专题

模型专题

模型，是一个结论，更是一种思考模式，有时能够发挥出很大的用处。

【1】中点+平行模型

如图，如果AB//DE，且C为AE中点，则有△ABC≌△EDC.

很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长）

【例题1】（2014深圳模拟）如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AB=3CD，E是对角线AC的中点，连接BE延长交AD于F，则（DF/AF）=（答案：

）

【例题2】（2014深圳）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE⊥AF交BC于F，∠DAE＝30°，若AD=

，AE=

，则BF的长为（）（答案：

D）

A.1B.

C.

D.

【2】一线三等角模型

如图，若∠B=∠C=∠DEF=α°（0<α≤90）

则一定有△BDE与△CEF相似。

十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。

经常在矩形里出题。

【例题1】（2009太原）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=

BC=

，∠B=∠C=45°，E、F分别是线段BC、CD上的动点，且保持∠AEF=45°，当△ABE是等腰三角形时，CF=。

【例题2】（2006河南）如图，矩形OABC中A（1，0），B（1，2），将△OAB沿OB折叠到△OA`B的位置，则A的坐标为。

【例题3】（原创）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段BC、射线CD上一点，且使∠AEF=90°.

（1）求AF的最大值。

（2）当E为BC中点是，求证：

△AEF∽△ABE

答案：

1.2或

或

；2.（

，

）

【3】巧造旋转模型

在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。

巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：

如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,求证:

BD2+CD2=2AD2

通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC。

我们可以将△ACD绕A顺时针旋转90°得到△ABE，使得AC与AB重合。

那么就有EB⊥BC，而在Rt△AED中，DE²=2AD²（等腰直角三角形）

所以BE²+BD²=DE²，即BD²+CD²=2AD²

是不是赶脚很难想到？

要学会判断，这种感觉是要练出来的！

【例题1】（2014武汉）四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,AD=4,CD=3,则BD=.

【例题2】如图,△ABC中,AB=2,AC=3,以△ABC三边分别向外做正方形,则阴影部分面积最大值为.

【例题3】（2014菏泽改编）如图，射线AP与射线AQ垂直，B、D分别是射线AP、AQ上的点，作正方形ABCD。

DE、BF分别平分∠PDC、∠CBQ且∠EAF＝45°，连接EF。

（1）若DE·BF=4，求正方形的边长。

（2）以AF、AE、EF为三边构成的三角形是什么特殊三角形？

判断给予证明。

答案：

1.

2.93.（1.）2，（2.）直角三角形，旋转后证全等，证明略

【4】等腰模型

这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形

首先：

平行+角平分线，

如图，若AD//BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。

其次：

垂直+角平分

这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。

这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）

【例题1】（原创）如图，梯形ABCD中，AB//CD，AB=5，CD=6，∠ABC的平分线BE交于AD的中点E。

则BC的长为。

【例题2】（原创）如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC的平分线BE与CD垂直，垂足为E。

，若S△BCE=2，则四边形ABED的面积为。

【例题3】（改编）△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E是BC的中点，连接DE。

（1）求证：

DE//AB

（2）求证：

DE=

（AB-AC）

1.112.33.延长CD交AB于M，利用中位线，证明略

【5】倍长中线法

常考，选填大证明都可能会用。

是的！

又是中点，中点用的很多啊==

这个模型怎么用？

先要判断。

做题的时候看见中点，先找有没有可以直接用的，没有就找就

没有平行+中点，再没有就要想了没事摆个中点在这里有啥用？

这时试试倍长中线。

记住一句话：

“倍长中线，定得全等”

先来举一个例子，吧里很经典的一题。

←_←

锐角△ABC中，AB=3，AC=4，求BC上中线AD的取值范围。

解：

延长AD，使DE=AD，连接CE（做这种题不变的辅助线说明）

∵AD=DE，BD=CD，∠ADB=∠CDE

∴△ADB≌△EDC

∴CE=AB=3

∴4-3

故1/2

这样就迎刃而解了，还有好多好多题，需要用到这个

【例题1】（改编）△ABC中，D为BC中点，DB⊥BC。

若BC=5，AB=13，则BD=。

【例题2】（改编）线段AB上有一点C，以AC、BC为斜边在同侧作等腰直角三角形ACE、CBF。

D是AB中点，连接DE、DF。

（1）延长ED于G，使DE=DG，连接BG。

求证：

△ADE≌△BDG。

求证：

DE=DF且DE⊥DF。

（2）将CAE逆时针旋转，则

（1）中的结论成立吗？

请说明理由。

（3）若AC=2，BC=6，则DE的最小值为。

1.62.证明略（中间有一段要说明旋转的性质很麻烦），（3.）

【6】几何最值模型.1

最值是中考最常考的题目，选择、填空、大题都可能有。

几何最值——当然数学书上是找不到的，所以这要我们平时多了解这种题的做题技巧

一般有三种：

线段最值、折线最值、周长面积最值

最值不好学，先从简单学起。

1.首先最简单的：

点到直线的距离垂线段最短、化曲为直，这是最基础的。

2.其次：

通过对称寻找最值，经典的【建设奶站】模型。

3.折叠最值：

三角形三边关系解题，寻找【三点共线】最关键。

举个例子：

有四个小区A、B、C、D，A、B、C都在道路的同侧，现在要在道路上建三个奶站P、Q、D，有下列要求：

（1）奶站P到A的距离最短；

（2）奶站Q到小区B、C的距离之和最短。

（3）

的值最大。

第一问做一个垂线就行了。

第二问是重点，作C关于l的对称点C'，连接C'B，则C'B与l的交点为Q，此时BQ+CQ

最小值为BC'。

用三角形三边关系证明，尝试一下吧

第三问同样重点（虽然没第二问那么常考），M可不是AD与l的交点，这时因为A、D在

异侧讨论差值不方便，故作对称。

则AD'延长线与l的交点为M，此时lAM-DMl的最小值

为D'M。

这同样用三角形三边关系证。

考试的时候辅助线要写，道理不用。

简单归纳，同侧最小找轴对称、异侧最大对称加延长，注意图形对称性

好了先到这里，下面是例题

【例题1】（改编）在边长为4的正方形ABCD内侧作等边三角形ABE，P是AC上一动点，连接DP、PE。

则PD+PE的最小值为。

【例题2】（原创）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC＝CD，∠BAD＝120ͦ◦，∠BCD＝90ͦ◦，AB=4，以AB为边作等边三角形ABE，F是直线BC上一动点。

（1）求EF的最小值；

（2）直线AE上有一点G，

求BG+GF的最小值；

是否存在一个时刻，使△BFG是等边三角形？

若存在，说明G、F的位置若不存在，说明理由。

1.42.（1.）

；（2.）①

；②∠ABG=15°，F为BG的垂直平分线与BC的交点

【7】几何最值模型.2

初中大部分的几何最值都要化曲为直，一般我们称为【三点共线】，下面是折叠的一题。

Rt△ABC，AC=5，BC=12，D是BC的中点，E是AC上的动点，将△CED沿DE折叠，得到△DEF，连接AF，则AF的最小值是。

做这种题，最重要找的是不变量。

如图，CD是不变量6，AD也是不变量

，只有E、F

在动

现在开始分析，先把AD连接，得到一个不变的线段。

而在△ADF中，由三边公式可知

AF＞AD-DF，这有什么用？

这个意思是万一A、F、D三点共线了，不就是AF=AD-DF了？

就是说当形成了三角形的时候，AF都是大于AD-DF的，三点共线时，AF=AD-DF，这样

AF不就最短了吗？

所以AFmin=

-6

还有一种经典的题：

如图，边长为4的等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在y、x轴上。

连接OC，在三角形ABC滑动的过程中OC的最大值是。

照样先找不变量，发现AB、BC不变为4，其余没有。

这种题的不变量一般隐藏在某些条件中

分析一下：

等边你还没用，∠AOB=90°的条件也没用，综合考虑，取AB中点，因为直角三

角形斜边中线等于斜边一半，所以OD=2，由等边三角形，可知CD=2√3，现在用三点共线，

很快得到OC=OD+CD时OC最大，所以OC最大值为2+2√3

这种题要多练，寻找感觉。

主要是找不变量，这在动点问题中十分重要。

【例题1】⊙O中，O到直线l的距离为3，半径为2，BC与⊙O相切，C在l上，BC的最小值为　　　。

【例题2】Rt△ABC，AC=5，BC=12，D、E分别是BC、AC上的动点，将△CED沿DE折叠，得到△DEF，连接AF，则AF的最小值是。

【例题3】平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心，1为半径作圆，B是直线y=-x+3上一点，AB与⊙O相切，则当BO取最小值时，AB的长为　　　。

答案：

1.

2.13.

【8】十分重要！

反比例函数中的模型

俗话说的好，选填里面出得最难的不是几何题，而是反比例综合，要想稳拿3分，先掌握

这些

首先简单搞起

①这个很简单，已知某点坐标（m,n）求过该点的反比例函数表达式y=k/x，则k=mn（k≠0）

②已知反比例函数图象分别交矩形AOBC的边AC、BC于D、E，连接OC，则：

S△OCD=S△OEC

③在上图的基础上，有AD：

CD=BE：

CE，

当然如果连接DE、AB，DE和AB一定是平行的。

④这个不大常用，但是也挺重要，如图，任意直线AB与双曲线交于G、H，则AG=BH

那么看到AG=GH的话就立马反应过来三段都等了。

⑤这个十分常用，在上图的基础上，S△OGH=S梯形GEFH

⑥看着不爽系列（雾）补全图形，常常有些梯形是要补全成矩形的，如此挖掘隐含条件

就差不多是这些，记住做反比例函数题的核心点：

面积转换最重要，各种垂直显神通

意思就是没思路的时候做些垂直的辅助线，会有相似等。

【例题1】平面直角坐标系中，反比例函数

图象过C（１，２），A（m，n），作AB⊥y轴于B，若S△ABC=2，则m-n的值为。

【例题2】梯形ABCO的底边AO在x轴上，BA⊥AO，BC//AO，过C的双曲线交BO、AB于D、E。

若

，S△OBE=3，，则双曲线的解析式为　　　。

平面直角坐标系中，反比例函数

图象过C（１，２），A（m，n），作AB⊥y轴于B，若则m-n的值。

【例题3】如图，A、B是双曲线

上的点，延长ＡＢ交x轴于C，AB=BC。

若S△AOC=6，则k的值为。

【例题4】如图，A、B是双曲线

与一次函数

交于点A、B，其中点A在第一象限，B在第二象限。

（1）直接写出A、B的坐标；

（2）M是x轴上一动点，当△BOM为等腰三角形时，求M点的坐标；

（3）若直线y=kx与反比例函数

分别交于P、Q（Q在第一象限），若S四边形ABPQ=24，求此时直线y=kx的函数表达式。

答案：

1.

2.

3.4

4.

（1）点A坐标为（4，2），点B坐标为（-4，-2）

（2）M的坐标为：

（-8，0）或（

，0）或（

，0）或（

，0）

（3）

或