北京市石景山区届高三数学统一测试一模试题理.docx
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北京市石景山区届高三数学统一测试一模试题理
2019年石景山区高三统一测试
数学（理）
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则下列关系中正确的是
A.P＝Q
B.PQ
C.QP
D.
2.
设是虚数单位，若复数，则复数的模为
A.
B.
C.
D.
3.
某几何体的三视图如右图所示，该几何
体的体积为
A.2
B.6
C.10
D.24
4.
九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智
游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为
A.
B.
C.
D.
5.
中国南宋时期的数学家秦九韶提出了
一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的，依次输入的为1，2，3，运行程序，输出的的值为
A.
B.
C.
D.
6.
已知平面向量，则是与同向的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
若，则下列各式中一定正确的是
A.
B.
C.
D.
8.
已知函数的一条对称轴为，，
且函数在上具有单调性，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.
若变量满足约束条件则的最小值为_________．
10.
等比数列的首项，，则其前项和_______．
11.
在极坐标系中，直线与圆的位置关系为______．（填“相交”、
“相切”或“相离”）
12.
若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是
______．（只需写出一个可能的值）
13.
过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，
若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为____．
14.
在直角坐标系中，点和点，设集合，
且，，则；点,到轴距离之和的最小值为．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题13分）
在中，角的对边分别为，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．
16.（本小题13分）
某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．
（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；
（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；
（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？
只需写出结论．
17.（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，，，，分别为的中点，在线段上（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
平面平面；
（Ⅲ）是否存在点，使得二面角的大小为？
若存在，求；
若不存在，说明理由．
18.（本小题13分）
设函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；
（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:
上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
20.（本小题13分）
若项数为的单调递增数列满足：
①；
②对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.
（Ⅰ）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）若数列具有性质，且，
（ⅰ）证明数列的项数；
（ⅱ）求数列中所有项的和的最小值．
2019年石景山区高三统一测试
数学（理）试卷答案及评分参考
一、选择题：
本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
D
C
A
C
二、填空题：
本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．；10．；11．相交；
12．或或；13．；14．，．
三、解答题：
本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）在中，，
∴，
∵，，
由正弦定理得，
∴．
（Ⅱ）由余弦定理得，
∴，
解得或（舍）
∴
．
16．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A．
则．
（Ⅱ）可能取0，1，2，3，4．
，，
，，
．
所以的分布列为
0
1
2
3
4
P
（Ⅲ）75．
17．（本小题14分）
（Ⅰ）证明：
在矩形中，∥，
∵分别为的中点，
∴∥，且，
∴∥，
∵平面，平面，
∴∥平面．
（Ⅱ）证明：
在矩形中，，
∵矩形平面，且平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，
∵，为的中点，
∴，
又，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．
（Ⅲ）在平面内作的垂线，如图建立
空间直角坐标系，
∵，，，
∴，，，
，，，
设，∴，
∴，
∴，，
设平面的法向量为，
∴即
令，则，
∴是平面的一个法向量，
∵平面，
∴平面的法向量为，
∵二面角的大小
∴，解得，
∵在上，∴．
18．（本小题13分）
解：
（Ⅰ）
，
，
由题设知，即，解得．
经验证满足题意。
（Ⅱ）方法一：
令，即，则
（1）当时，即
对于任意有，
故在单调递减；
对于任意有，
故在单调递增，
因此当时，有最小值为成立．
（2）当时，即
对于任意有，
故在单调递减，
因为，所以，即，
综上，的最大值为．
方法二：
由题设知，当时，,
（1）当时，．
设，
则，
故在单调递减，
因此，的最小值大于，所以．
（2）当时，成立．
（3）当时，，因为，
所以当时，成立．
综上，的最大值为．
19．（本小题14分）
解：
（Ⅰ）依题可知，
因为，
所以
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：
由题意可设直线的方程为．
则点坐标为，中点的坐标为，
由得
．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
1当时，点的坐标为，直线的方程为，
点的坐标为．
此时以为直径的圆与直线相切．
2当时，直线的斜率．
所以直线的方程为,即．
故点到直线的距离
（或直线的方程为,
故点到直线的距离
）
又因为，故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切．
解法二:
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下:
设点,则
1当时,点的坐标为，直线的方程为，
点的坐标为，
此时以为直径的圆与直线相切，
2当时直线的方程为，
点D的坐标为,中点的坐标为,故
直线的斜率为,
故直线的方程为,即,
所以点到直线的距离
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切．
20．（本题13分）
解：
（Ⅰ）因为，所以不具有性质；
因为，，，所以具有性质．
（Ⅱ）
（ⅰ）因为是单调递增数列，又，
所以即，
所以，
，所以，，，，，
又因为，所以．
（ⅱ）因为，，，，；
所以可以构造数列满足性质；
或，，，，，
所以可以构造数列满足性质；
上述两个数列的和为，下面说明为数列中所有项的和的最小值．
若在数列中，要求数列中所有项的和的最小值，则，
若不在数列中，则，由（ⅰ）知，
则数列中所有项的和，
所以要求数列中所有项的和的最小值，则．
同理要求数列中所有项的和的最小值，则，
，同理可得或；
依此类推要求数列中所有项的和的最小值，其数列为或
所以数列中所有项的和的最小值为．
【若有不同解法，请酌情给分】
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