四 数列求和.docx
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四数列求和
第四节 数列求和
【最新考纲】 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法．
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
（1）等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d；
（2）等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．
4．裂项相消法
（1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
（2）裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
5．分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则可用分组求和法求和．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.
1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.（ ）
（2）当n≥2时，＝.（ ）
（3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．（ ）
（4）如果数列{an}是周期为k（k为大于1的正整数）的周期数列，那么Skm＝mSk.（ ）
答案：
（1）√
（2）√ （3）× （4）√
2．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6等于（ ）
A. B.
C.D.
解析：
因为an＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
D
3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为（ ）
A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－2
解析：
Sn＝（2＋22＋23＋…＋2n）＋（1＋3＋5＋…＋（2n－1））＝＋＝2n＋1－2＋n2.
答案：
C
4．（2016·“江南十校”联考）若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为（ ）
A．1－B．1－
C.D.
解析：
an＝2n－1，设bn＝＝，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋
＝＝
答案：
C
5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋（n＋2）·2－n＝________．
解析：
设S＝3×＋4×＋5×＋…＋（n＋2）×，
则S＝3×＋4×＋5×＋…＋（n＋2）×.
两式相减得S＝3×＋（＋＋…＋）－.
∴S＝3＋（＋＋…＋）－
＝3＋－＝4－.
答案：
4－
●两种思路
解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路
1．转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
2．不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．
●两点注意
利用裂项相消法求和的注意事项
1．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
2．将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：
若{an}是等差数列，
则＝，＝.
]
一、选择题
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为（ ）
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1D．n＋2＋2n
解析：
由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.
答案：
C
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝（ ）
A．16（1－4－n）B．16（1－2－n）
C.（1－4－n）D.（1－2－n）
解析：
因为q3＝＝，所以q＝，a1＝4，
从而数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，
其前n项和Tn＝＝（1－4－n）．
答案：
C
3．（2016·太原一模）已知数列{an}的通项公式为an＝（－1）n·（2n－1）·cos＋1（n∈N*），其前n项和为Sn，则S60＝（ ）
A．－30B．－60
C．90D．120
解析：
由题意可得，当n＝4k－3（k∈N*）时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2（k∈N*）时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1（k∈N*）时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k（k∈N*）时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.
答案：
D
4．已知函数f（x）＝xa的图象过点（4，2），令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝（ ）
A.－1B.－1
C.－1D.＋1
解析：
由f（4）＝2得4a＝2，解得a＝，则f（x）＝x.
∴an＝＝＝－，
S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）
＝－1.
答案：
C
5．已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lga1，2lga2，22lga3，23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于（ ）
A．n·2nB．（n－1）·2n－1－1
C．（n－1）·2n＋1D．2n＋1
解析：
∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，∴a＝102n，即an＝10n，
∴2n－1lgan＝2n－1lg10n＝n·2n－1，
∴Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②
∴①－②得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1
－n·2n＝（1－n）·2n－1，∴Sn＝（n－1）·2n＋1.
答案：
C
二、填空题
6．数列{an}的通项公式an＝则这个数列的前2m项的和是________．
解析：
数列{an}的奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列，则
S2m＝6m＋×10＋＝5m2＋m＋2m＋1－2.
答案：
5m2＋m＋2m＋1－2
7．数列{an}满足an＋an＋1＝（n∈N*），且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________．
解析：
由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，
∴an＋2＝an，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a20＋a21）
＝1＋10×＝6.
答案：
6
8．对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．
解析：
曲线y＝xn＋1在点（1，1）处的切线方程为y＝（n＋1）（x－1）＋1，即y＝（n＋1）x－n，它与x轴交于点（xn，0），则有（n＋1）xn－n＝0⇒xn＝，
∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg（n＋1），
∴a1＋a2＋…＋a99＝（lg1－lg2）＋（lg2－lg3）＋…＋（lg99－lg100）＝lg1－lg100＝－2，
答案：
－2
三、解答题
9．（2015·安徽卷）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：
（1）由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或（舍去）．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
（2）Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
10．（2015·山东卷）设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
解：
（1）因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1.
所以an＝
（2）因为anbn＝log3an，所以b1＝.
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝（n－1）·31－n.
所以T1＝b1＝；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋（n－1）×31－n]，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋（n－1）×32－n]，
两式相减，得
2Tn＝＋（30＋3－1＋3－2＋…＋32－n）－（n－1）×31－n
＝＋－（n－1）×31－n＝－，
所以Tn＝－，
经检验，n＝1时也适合．
综上可得Tn＝－.
数列中的高考热点题型
数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，本专题解答题的热点题型有：
一是等差、等比数列的综合问题；二是数列与函数的综合问题；三是数列与不等式的综合问题．难度中等．
热点1 等差、等比数列的综合问题
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．并注重方程思想的应用，等差（比）数列总共涉及五个量a，an，Sn，d（q），n，“知三求二”．
（2015·湖北卷）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：
（1）由题意有即
解得或
故或
（2）由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
1．若{an}是等差数列，则{ban}（b＞0且b≠1）是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}（b＞0且b≠1）是等差数列．
2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．
【变式训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设a1＞0，λ＝100.当n为何值时，数列
的前n项和最大？
解：
（1）取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1（λa1－2）＝0.
若a1＝0，则Sn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，
所以an＝0（n≥1），若a1≠0，则a1＝.
当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，
两式相减得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1（n≥2），从而数列{an}是等比数列，
所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.
综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.
（2）当a1＞0且λ＝100时，令bn＝lg，
由
（1）知，bn＝lg＝2－nlg2.
所以数列{bn}是单调递减的等差数列{公差为－lg2}．
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