版高中数学第二章函数214函数的奇偶性学案新人教B版必修1.docx

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版高中数学第二章函数214函数的奇偶性学案新人教B版必修1

2．1.4　函数的奇偶性

学习目标

　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

知识点一　函数奇偶性的定义

思考1　为什么不直接用图象关于y轴（原点）对称来定义函数的奇偶性？

思考2　利用点对称来刻画图象对称有什么好处？

梳理　奇、偶函数的概念

偶函数

奇函数

定义

条件

对于函数f（x）的定义域D内任意一个x，都有－x∈D

f（－x）＝______

f（－x）＝______

结论

函数f（x）叫做偶函数

函数f（x）叫做奇函数

知识点二　奇（偶）函数的定义域特征

思考　如果一个函数f（x）的定义域是（－1,1]，那么这个函数f（x）还具有奇偶性吗？

梳理　在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于________对称．

知识点三　函数奇偶性的几何特征

思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？

关于原点对称的呢？

梳理　奇、偶函数的图象特征

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以____________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以________为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于________对称，则这个函数是偶函数．

类型一　判断函数的奇偶性

例1　

（1）证明f（x）＝

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝（x＋1）（x－1）是偶函数；

（3）证明f（x）＝

＋

既是奇函数又是偶函数．

反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．

跟踪训练1　

（1）证明f（x）＝（x－2）

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝x|x|是奇函数．

例2　判断函数f（x）＝

的奇偶性．

反思与感悟　分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：

（1）定义域是否关于原点对称；

（2）对于定义域内的任意x，是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x）），只不过对于不同的x，f（x）有不同的表达式，要逐段验证是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x））．

跟踪训练2　证明f（x）＝

是奇函数．

例3　f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性．

反思与感悟　利用基本的奇（偶）函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果．

跟踪训练3　设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数

B．|f（x）|g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是奇函数

D．|f（x）g（x）|是奇函数

类型二　奇偶性的应用

例4　定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．

（1）画出f（x）的图象；

（2）解不等式xf（x）>0.

引申探究　

把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．

反思与感悟　鉴于奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．

跟踪训练4　已知奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

（1）画出在区间[－5,0]上的图象；

（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．

例5　函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求当x<0时，f（x）的解析式．

反思与感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

跟踪训练5　已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2.求y＝f（x）的解析式．

1．下列函数为偶函数的是（　　）

A．f（x）＝x－1

B．f（x）＝x2＋x

C．f（x）＝2x－2－x

D．f（x）＝2x＋2－x

2．函数f（x）＝x（－1

A．奇函数B．偶函数

C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数

3．已知函数y＝f（x）＋x是偶函数，且f

（2）＝1，则f（－2）等于（　　）

A．－1B．1C．－5D．5

4．若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是（　　）

A．1B．2C．3D．4

5．已知函数f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋1，则x＞0时，f（x）＝________.

1．两个定义：

对于f（x）定义域内的任意一个x，如果都有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）为奇函数；如果都有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）为偶函数．

2．两个性质：

函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

3．证明一个函数是奇函数，必须对f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x）．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．

思考2　好处有两点：

（1）等价：

只要所有点均关于y轴（原点）对称，则图象关于y轴（原点）对称，反之亦然．

（2）可操作：

要判断点是否关于y轴（原点）对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作．

梳理　

f（x）　－f（x）

知识点二

思考　由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f（－x）与f（x）的关系．而本问题中，1∈（－1,1]，－1∉（－1,1]，f（－1）无定义，自然也谈不上是否与f

（1）相等了．所以该函数既非奇函数，也非偶函数．

梳理　

原点

知识点三

思考　①②关于y轴对称，③④关于原点对称．

梳理　

（1）坐标原点　坐标原点　

（2）y轴　y轴

题型探究

例1　证明　

（1）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f（x）＝

既非奇函数又非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因函数f（x）＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，又因f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝f（x），所以函数为偶函数．

（3）定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x），故函数f（x）＝

＋

为偶函数．又f（－x）＝－f（x），故函数f（x）＝

＋

为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．

跟踪训练1　证明　

（1）由

≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因f（－x）＝（－x）|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以函数为奇函数．

例2　解　由题意可知f（x）的定义域为（－6，－1]∪[1,6），

关于原点对称，

当x∈（－6，－1]时，－x∈[1,6），

所以f（－x）＝（－x－5）2－4＝（x＋5）2－4＝f（x）；

当x∈[1,6）时，－x∈（－6，－1]，

所以f（－x）＝（－x＋5）2－4＝（x－5）2－4＝f（x）．

综上可知对于任意的x∈（－6，－1]∪[1,6），

都有f（－x）＝f（x），

所以f（x）＝

是偶函数．

跟踪训练2　证明　定义域为{x|x≠0}．

若x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝x2，f（x）＝－x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

若x>0，则－x<0，

∴f（－x）＝－（－x）2＝－x2，f（x）＝x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

即对任意x≠0，都有f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

例3　解　∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数．

f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数．

f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数．

跟踪训练3　C

例4　解　

（1）先描出（1,1），（2,0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2,0），连线可得f（x）的图象如图．

（2）xf（x）>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf（x）>0的解集是（－2,0）∪（0,2）．

引申探究　解　

（1）f（x）的图象如图所示：

（2）xf（x）>0的解集是（－∞，－2）∪（0,2）．

跟踪训练4　解　

（1）如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.

分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，

再用光滑曲线连接即得．

（2）由

（1）图可知，当且仅当x∈（－2,0）∪（2,5）时，f（x）<0.

∴使f（x）<0的x的取值集合为（－2,0）∪（2,5）．

例5　解　设x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，

又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，

∴f（x）＝－x－1.

∴当x<0时，f（x）＝－x－1.

跟踪训练5　解　设x<0，则－x>0，

因为f（x）是奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.

因为y＝f（x）是R上的奇函数，

所以f（0）＝0.

所以f（x）＝

当堂训练

1．D　2.C　3.D　4.B　5.－x＋1