matlab解方程.docx
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matlab解方程
1、解方程
最近有多人问如何用matlab解方程组的问题，其实在matlab中解方程组还是很方便的，例如，对于代数方程组Ax=b（A为系数矩阵，非奇异）的求解，MATLAB中有两种方法：
（1）x=inv（A）*b — 采用求逆运算解方程组；
（2）x=A_ — 采用左除运算解方程组。
例:
x1+2x2=8
2x1+3x2=13
>>A=[1,2;2,3];b=[8;13];
>>x=inv（A）*b
x =
2.00
3.00
>>x=A_
x =
2.00
3.00；
即二元一次方程组的解x1和x2分别是2和3。
对于同学问到的用matlab解多次的方程组，有符号解法，方法是：
先解出符号解,然后用vpa（F,n）求出n位有效数字的数值解.具体步骤如下：
第一步:
定义变量syms x y z ...;
第二步:
求解[x,y,z,...]=solve（'eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1','var2',...'varN'）;
第三步:
求出n位有效数字的数值解x=vpa（x,n）;y=vpa（y,n）;z=vpa（z,n）;...。
如：
解二（多）元二（高）次方程组：
x^2+3*y+1=0
y^2+4*x+1=0
解法如下：
>>syms x y;
>>[x,y]=solve（'x^2+3*y+1=0','y^2+4*x+1=0'）;
>>x=vpa（x,4）;
>>y=vpa（y,4）;
结果是：
x =
1.635+3.029*i
1.635-3.029*i
-.283
-2.987
y =
1.834-3.301*i
1.834+3.301*i
-.3600
-3.307。
二元二次方程组，共4个实数根；
还有的同学问，如何用matlab解高次方程组（非符号方程组）？
举个例子好吗？
解答如下：
基本方法是：
solve（s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn），即求表达式s1,s2,…,sn组成的方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
具体例子如下：
x^2 + x*y + y = 3
x^2 - 4*x + 3 = 0
解法：
>> [x,y] = solve（'x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3 = 0'）
运行结果为
x =
1 3
y =
1 -3/2
即x等于1和3；y等于1和-1.5
或
>>[x,y] = solve（'x^2 + x*y + y = 3','x^2 - 4*x + 3= 0','x','y'）
x =
1 3
y =
1 -3/2
结果一样，二元二方程都是4个实根。
通过这三个例子可以看出，用matlab解各类方程组都是可以的，方法也有多种，只是用到解方程组的函数，注意正确书写参数就可以了，非常方便。
citefrom:
2、变参数非线性方程组的求解
对于求解非线性方程组一般用fsolve命令就可以了，但是对于方程组中某一系数是变化的，该怎么求呢？
%定义方程组如下，其中k为变量
functionF=myfun（x,k）
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
F=[Pc0+H*（1+1.5*（x
（1）/W-1）-0.5*（x
（1）/W-1）^3）-x
（2）;
x
（1）-k*sqrt（x
（2））];
%求解过程
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
x0=[2*W;Pc0+2*H]; %取初值
options=optimset（'Display','off'）;
k=0:
0.01:
1; %变量取值范围[01]
fori=1:
1:
length（k）
kk=k（i）;
x=fsolve（@（x）myfun（x,kk）,x0,options）;%求解非线性方程组
x1（i）=x
（1）;
x2（i）=x
（2）;
end
plot（k,x1,'-b',k,x2,'-r'）;
xlabel（'k'）
legend（'x1','x2'）
citefrom:
3、非线性方程数值求解
matlab里solve如何使用,是否有别的函数可以代替它.
matlab里我解y=9/17*exp（-1/2*t）*17^（1/2）*sin（1/2*17^（1/2）*t）=0这样的方程为什么只得到0这一个解,如何可以的到1/2*17^（1/2）*t=n*（pi）这样一族解?
?
在matlab里面solve命令主要是用来求解代数方程（即多项式）的解,但是也不是说其它方程一个也不能解，不过求解非代数方程的能力相当有限，通常只能给出很特殊的实数解。
（该问题给出的方程就是典型的超越方程，非代数方程）
从计算机的编程实现角度讲，如今的任何算法都无法准确的给出任意非代数方程的所有解，但是我们有很多成熟的算法来实现求解在某点附近的解。
matlab也不例外，它也只能给出任意非代数方程在某点附近的解，函数有两个：
fzero和fsolve,具体用法请用help或doc命令查询吧。
如果还是不行，你还可以将问题转化为非线性最优化问题，求解非线性最优化问题的最优解，可以用的命令有：
fminbnd,fminsearch,fmincon等等。
*非线性方程数值求解
*单变量非线性方程求解
在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量非线性方程的根。
该函数的调用格式为：
z=fzero（'fname',x0,tol,trace）
其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。
一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。
tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。
例求f（x）=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。
步骤如下：
（1）建立函数文件funx.m。
functionfx=funx（x）
fx=x-10.^x+2;
（2）调用fzero函数求根。
z=fzero（'funx',0.5）
z=
0.3758
**非线性方程组的求解
对于非线性方程组F（X）=0，用fsolve函数求其数值解。
fsolve函数的调用格式为：
X=fsolve（'fun',X0,option）
其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。
最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。
如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset（）函数来完成。
例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中‘off’为不显示，‘iter’表示每步都显示，‘final’只显示最终结果。
optimset（‘Display’,‘off’）将设定Display选项为‘off’。
例 求下列非线性方程组在（0.5,0.5）附近的数值解。
（1）建立函数文件myfun.m。
functionq=myfun（p）
x=p
（1）;
y=p
（2）;
q
（1）=x-0.6*sin（x）-0.3*cos（y）;
q
（2）=y-0.6*cos（x）+0.3*sin（y）;
（2）在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程的根。
x=fsolve（'myfun',[0.5,0.5]',optimset（'Display','off'））
x=
0.6354
0.3734
将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：
q=myfun（x）
q=
1.0e-009*
0.2375 0.2957
可见得到了较高精度的结果。
citefrom:
4、fsolve函数解方程
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,JACOB]=FSOLVE（FUN,X0,...）returnsthe
JacobianofFUNatX.
Examples
FUNcanbespecifiedusing@:
x=fsolve（@myfun,[234],optimset（'Display','iter'））
wheremyfunisaMATLABfunctionsuchas:
functionF=myfun（x）
F=sin（x）;
FUNcanalsobeananonymousfunction:
x=fsolve（@（x）sin（3*x）,[14],optimset（'Display','off'））
IfFUNisparameterized,youcanuseanonymousfunctionstocapturethe
problem-dependentparameters.Supposeyouwanttosolvethesystemof
nonlinearequationsgiveninthefunctionmyfun,whichisparameterized
byitssecondargumentc.HeremyfunisanM-filefunctionsuchas
functionF=myfun（x,c）
F=[2*x
（1）-x
（2）-exp（c*x
（1））
-x
（1）+2*x
（2）-exp（c*x
（2））];
Tosolvethesystemofequationsforaspecificvalueofc,firstassignthe
valuetoc.Thencreateaone-argumentanonymousfunctionthatcaptures
thatvalueofcandcallsmyfunwithtwoarguments.Finally,passthisanonymous
functiontoFSOLVE:
c=-1;%defineparameterfirst
x=fsolve（@（x）myfun（x,c）,[-5;-5]）
citefrom:
1、 导数
diff（f） ——函数f对符号变量x或字母表上最接近字母x的符号变量求导数；
diff（f,t）——函数f对符号变量t求导数。
例：
symsabtxy
f=sin（a*x）+cos（b*t）;
g=diff（f）
gg=diff（f,t） %可以看作二元函数求偏导数）
g=
cos（a*x）*a
gg=
-sin（b*t）*b
用diff（f,2）求二阶导数
例：
symsabtxy
f=sin（a*x）+cos（b*t）;
f=sin（a*x*t）+cos（b*t*x^2）-2*x*t^3;
diff（f,2）
diff（f,t,2）
ans=
-sin（a*x*t）*a^2*t^2-4*cos（b*t*x^2）*b^2*t^2*x^2-2*sin（b*t*x^2）*b*t
ans=
-sin（a*x*t）*a^2*x^2-cos（b*t*x^2）*b^2*x^4-12*x*t
当微分运算作用于符号矩阵时，是作用于矩阵的每个元素，如：
symsax
a=[sin（a*x）,cos（a*x）;-cos（a*x）,-sin（a*x）]
dy=diff（a）
a=
[ sin（a*x）, cos（a*x）]
[-cos（a*x）,-sin（a*x）]
dy=
[ cos（a*x）*a,-sin（a*x）*a]
[ sin（a*x）*a,-cos（a*x）*a]
2、 积分
int（f）——函数f对符号变量x或接近字母x的符号变量求不定积分；
int（f,t）——函数f对符号变量t求不定积分；
int（f,a,b）——函数f对符号变量x或接近字母x的符号变量求从a到b的定积分；
int（f,t,a,b）——函数f对符号变量t求从a到b的定积分。
例：
symsax
f=sin（a*x）
g=int（f）
gg=int（f,a）
f=sin（a*x）
ff=sin（x^3）
g=-1/a*cos（a*x）
gg=-1/x*cos（a*x）
例：
symsax
f=sin（a*x）
g=int（f,0,pi）
f=
sin（a*x）
g=-（cos（pi*a）-1）/a
注：
当不定积分无解析表达式时，可用double计算其定积分的数值解。
例：
symx
f=exp（-x^2）
g=int（f）
gg=int（f,0,1）
a=double（gg）
ans=x
f=exp（-x^2）
g=1/2*pi^（1/2）*erf（x）
gg=1/2*erf
（1）*pi^（1/2）
a= 0.7468
3、 极限
limit（f）——当符号变量x（或最接近字母x的符号变量）—>0时函数f的极限；
limit（f,t,a）——当符号变量t—>a时，函数f的极限。
例：
symsxta
f=sin（x）/x
g=limit（f）
limit（（cos（x+a）-cos（x））/a,a,0）
limit（（1+x/t）^t,t,inf）
f=sin（x）/x
g=1
ans=-sin（x）
ans=exp（x）
例：
左、右极限的求法
symx
limit（1/x）
limit（1/x,x,0,'left'）
limit（1/x,x,0,'right'）
ans=x
ans=NaN
ans=-inf
ans=inf
4、 级数和
symsum（s,t,a,b）——表示s中的符号变量t从a到b的级数和（t缺省时设定为x或最接近x的字母）
例：
symsxk
symsum（1/x,1,3）
ans=11/6
s1=symsum（1/x^2,1,inf）
s2=symsum（x^k,k,0,inf）
s1=1/6*pi^2
s2=-1/（x-1）
5、 泰勒（Taylor）多项式
taylor（f,n,a）——函数f对符号变量x（或最接近字母x的符号变量）在a点的n-1阶泰勒多项式（n缺省时值为6，a缺省值为0）
例：
taylor（sin（x））
ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5
f=log（x）
s=taylor（f,4,2）
f=log（x）
s=log
（2）+1/2*x-1-1/8*（x-2）^2+1/24*（x-2）^3
1、 代数方程
solve（f,t）——对f中的符号变量t解方程f=0（t缺省值为x或最接近x的字母）
例：
symsabxc
f=a*x^2+b*x+c
s=solve（f）
ss=solve（f,b）
f=a*x^2+b*x+c
s=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
ss=-（a*x^2+c）/x
注：
求解形如f（x）=q（x）形式的方程，则需要用单引号把方程括起来。
例：
s=solve（'cos（2*x）+sin（x）=1'）
s=
[ 0]
[ pi]
[1/6*pi]
[5/6*pi]
例：
求解方程组
[x,y]=solve（'x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0'）
x=
[1]
[3]
y=
[ 1]
[-3/2]
即解为（1，1）和（3，-3/2）
2、 微分方程
dsolve（'S','s1','s2',…,'x'）
其中S为方程，s1,s1,s3,…为初始条件，x为自变量。
方程S中用D表示求导数，D2,D3,…表示二阶、三阶等高阶导数；初始条件缺省时，给出带任意常数C1,C2,..的通解；自变量缺省值为t。
也可求解微分方程组。
例：
dsolve（'Dy=1+y^2'）
ans=tan（t+C1）
y=dsolve（'Dy=1+y^2','y（0）=1','x'）
y=tan（x+1/4*pi）
x=dsolve（'D2x+2*D1x+2*x=exp（t）','x（0）=1','Dx（0）=0'）
x=1/5*exp（t）+3/5*exp（-t）*sin（t）+4/5*exp（-t）*cos（t）
S=dsolve（'Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g'） %解微分方程组
S=
f:
[1x1sym]
g:
[1x1sym]
计算结果返回在一个结构S中，为了看到其中f,g的值，有如下指令
f=S.f
g=S.g
f=exp（3*t）*（cos（4*t）*C1+sin（4*t）*C2）
g=-exp（3*t）*（sin（4*t）*C1-cos（4*t）*C2）
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