数学人教版八年级上册1421平方差公式21平方差公式教学设计吕中平制作.docx
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数学人教版八年级上册1421平方差公式21平方差公式教学设计吕中平制作
教学设计模板
聚焦教学重难点的信息化教学设计
课题名称：
14.2.1平方差公式
姓名：
吕中平
工作单位：
潼南县双江初级中学校
学科年级：
八年级上册数学
教材版本：
人教版（2013年修订版）
一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性）
平方差公式是在学习多项式乘法等知识的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式乘法，体现教材从一般到特殊的意图。
教材为学生在数学活动中“获得数学”的思想方法、能力素质提供了良好的契机。
对它的学习和研究，不仅得到了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。
因此，平方差公式在教材中有承上启下的作用，是初中阶段一个重要的公式。
二、教学目标（从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的教学目标做出一个整体描述）
知识与能力：
1、认识平方差公式，并了解公式中a,b的意义，在解题中体会转化的数学思想。
2、会用平方差公式简化计算，并学会解决简单的实际问题。
方法与过程：
1、在探究平方差公式的过程中，体会“从特殊到一般”的研究数学问题的方法。
2、通过对平方差公式几何意义的理解，体会代数与几何的内在统一，感悟数形结合的数学思想。
情感态度与价值观：
通过学生的拼图、解题等活动，感受探索几何图形面积的多种拼接方法的乐趣，体会巧妙运用公式解题的价值。
三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。
最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）
通过几个月的教学（我是本期刚接的新班）：
课堂提问、作业批改、看上期末考试成绩和本期半期成绩，以及辅导答疑、平时观察等发现:
该班40名学生中优秀学生很少，学困生较多，学风不浓，留守儿童占多数。
因此，在教学设计时，要注重基础知识的复习与学习，多鼓励他们，调动学困生的学习积极性，同时也要引导中、优生在掌握好基础知识、基本技能的前提下，拓展他们的探究能力和解决实际问题的能力。
四、教学策略选择与设计（说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略）
本节课通过“速算王”的故事创设情境，激发求知欲和好奇心，从“多项式乘以多项式”开始，通过复习计算，发现平方差公式的计算规律，明确平方差公式的结构特征，在不同的算式场合中辨认能否用公式，若能，要准确定出a,b。
为了让学生对平方差公式有全新的认识，在教学设计中融入几何解释。
在此基础上，采用多媒体技术深入剖析公式的左边和右边的结构特征，并对照不同难易程度的例题，加深对公式的理解。
再引导学生通过反思练习过程，总结出“谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准”这一结论。
为了体现公式的运用价值，编撰先分扯变形或添括号变形或拼凑变形连续用公式和实践运用等这类题目，体现“不同层次的学生都得到不同的提高”的新课标理念。
概括起来本课主要采用了“情境──探究法”和“特殊——一般——特殊的归纳应用法”以及“拼图——数形结合法”的教学方法，同时也展现了师生对话、分组讨论等自主探究、合作学习的高效课堂模式．
五、教学重点及难点（说明本课题的重难点）
教学重点：
理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题。
教学难点：
理解公式中字母的广泛含义，并灵活变式运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来。
六、教学过程（这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语）
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、情境导入：
（课件展示）
1、联系生活,设境激趣
问题一：
李明到小卖部去买饼干,售货员告诉他:
共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，李明马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：
“你怎么比计算器算的还快呢？
真是一个速算王啊！
”李明很得意的告诉她：
这是一个秘密.
同学们,你能帮售货员揭开速算王李明快速口算出4.2×3.8的秘密吗?
经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了。
2、.观察概括,探索验证
问题二：
1．.请同学们用前面学过的多项式乘法法则计算下面多项式的积，你能发现什么规律吗？
（1）、（x＋:
1）（x－1）；
（2）、（m＋2）（m－2）
（3）、（2x＋1）（2x－1） .
师生共同分析板书的结果。
师：
同学们仔细观察，你发现结果都是什么形式？
生：
右边都是两项的平方差的形式。
同学们观察得很仔细，所得对，这就是我们这节课要学习的内容（教师板书课题）
1、学生可能会用笔算出答案也是15.96元。
2、学生计算，三位学生在黑板上板书。
3、学生评议板书。
通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。
设计意图：
（1）、既复习多项式的乘法，又为本节内容的引入作铺垫；
（2）、通过计算，让学生体会多项式的乘法与本节内容的联系____从“一般”到“特殊”。
（3）、三个特殊的算式具有代表性和层次性，降低学生抽象概况出一般结论的难度。
二、教学新知：
（一）、探究平方差公式
教师追问：
1、上述相乘的两个多项式有什么共同特点？
2、相乘的两个多项式的项与它们的积的项有什么关系？
教师又问：
你能将发现的规律用式子表示吗？
师：
你能用文字语言叙述出来吗？
教师板书文字语言表述平方差公式:
两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
师：
你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：
指定一生用多项式法则和合并同类项计算推导，师生共同点评。
（二）、平方差公式的几何背景：
师：
同学们请把准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a，它的面积是多少？
师：
请你用手中的剪刀从正方形纸板上剪下边长是b的小正方形，如下图1，你能表出剩下图形的面积吗？
师：
你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？
教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法。
图22图图图
图1
师：
讲给大伙听一听。
图.3
师：
比较图1和图2中阴影部分的面积，你发现了什么？
师：
具有简洁美的乘法公式:
（a＋b）（a－b）＝a2－b2．我们对它有了更多的认识，也许你会发现它更“神奇”的作用。
三、例题解析：
课件展示教材108页例1：
运用平方差公式计算
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（-x+2y）（-x-2y）
师生活动：
师生共同分析解答，教师板书
（1），学生板书
（2），在解答
（1）的过程中教师引导学生明确哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式写出平方差，再化简得出结果；在解答
（2）的过程中，同意注重上述问题，并关注学生是否有其他解法.
师：
通过刚才的例题，你认为运用公式解决问题时应注意什么？
师：
根据总结的经验板书平方差公式的结构特征：
（1）、左边是两个二相式相乘，且有一项完全相同，另一项恰好互为相反数；
（2）右边是相同项的平方，减去相反项的平方；（3）、公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式等等。
师：
课件展示教材108页例2：
计算：
（1）、（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）;
（2）、102×98
师生共同分析得出：
（1）中前两个多项式的积可以直接运用平方差公式，后两个多项式的积不具备用平方差公式的条件，不能用此公式，并且要把用多项式乘法法则乘得的积添上括号（因为前面是减法）；
（2）是两个数乘积的简便计算，此题对部份学生来说，有一定的难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律：
第一个数恰好是这两个因数的平均数。
解：
（1）原式=y2-22-（y2+4y-5）=y2-4-y2-4y+5=-4y+1
（2）原式=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996
生答：
相乘的两个多项式都是两个数的和与两个数的差的形式。
生：
它们的积恰好是这两个数的平方差。
生：
（a+b）（a-b）=a2-b2（教师板书平方差公式）
学生回答问题，相互补充，
生;a2
生：
剩下图形的面积为（a2-b2）.
学生在小组内讨论、交流。
生：
老师，我们拼出来啦！
生：
我是把图1剪成上下两个长方形，上面长方形宽是a-b,长是a；下面小长方形长是a-b，宽是b，我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，如图2，它的长和宽分别是（a+b）、（a-b）面积为（a+b）（a-b）.
生：
这两部分应该是相等的，即（a+b）（a-b）=a2-b2
生：
这恰好是我们刚才学过的平方差公式。
生1：
我明白了，刚开始，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式，现在又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了！
生2：
用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证。
生：
（1）（3x+2）（3x-2）
原式=（3x）2-22=9x2-4
（2）原式=（-x）2-（2y）2=x2-4y2
学生回答问题，并相互补充。
可以总结出以下经验：
（1）、在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）、找准哪个数或式子相当于公式中的第一个数a，那个数或式子相当于公式中的b；（3）、总结规律：
一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反。
（4）、公式中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式等。
（5）、不能忘记写公式右边的平方
设计意图：
（1）、让学生观察等式的两边寻找联系，引导学生得出右半部分；
（2）、为学生体会理解公式的结构特征做好铺垫。
意图;
（1）、让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的文字语言表达能力；
（2）、学生在用文字语言表达公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解。
意图：
让学生经历具体---抽象的过程，即经历观察（每个具体的算式及其特点）、比较（不同算式及其结果的异同）抽象（不同算式及其结果的共同特征）、推理（论证概括的结果）的过程。
从中体会研究数学问题的基本思想方法---“具体---抽象”。
意图：
通过探究活动让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合的思想。
设计意图：
让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的第一个数a，那个数或式子相当于公式中的b，并运用公式进行计算。
设计意图：
引导学生深入分析公式的全貌特征，明确a,b的意义，在运用公式计算时，一定要抓住关键：
哪个是相同项，哪个是相反项。
意图：
（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差公式的结构特征，明白只有符合公式特征的乘法才能运用公式简化运算；第
（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力。
四、理解应用，巩固提高
1、用心填一填:
（a+b）（a-b）
a
b
a2-b2
（1-x）（1+x）
（-3-a）（-3+a）
（1+2a）（-1+2a）
（0.3x-1）（1+0.3x）
2、.细心辨一辨:
①（2x＋3）（2x－3）=2x2－9
②（x＋y2）（x－y2）=x2－y2
③（a＋b）（a－2b）=a2－b2
④、（-3a-2）（3a-2）=9a2-4
3.看准说一说：
下列各式都能用平方差公式计算吗?
为什么？
①（2a－3b）（3b－2a）②（－2a+3b）（2a+3b）③（－2a－3b）（2a－3b）
④（2a－3b）（2a+3b）⑤（2a+3b）（－2a－3b）⑥（2a－3b）（－3b+2a）
4．认真做一做：
①（－2x－y）（2x－y）②（-m+n）（-m-n）③（-2x-5y）（5y-2x）
5．生活实践：
（1）、现在你能揭开李明快速口算出4.2×3.8的秘密吗?
（2）、用简便方法计算：
①99×101×10001
⑶街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?
学生独立思考后再小组讨论。
小组代表发言。
小组间评析。
教师参与评析。
关注学生对2题、3题能否正确运用平方差公式正确辨别、合情说理。
完成后，教师引导学生总结：
运用平方差公式解决问题时应注意什么？
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；
（3）一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反；
（4）公式中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式等；
（5）不能忘记写公式中的“平方。
“四”的设计意图：
通过填一填再次让学生感受相同的项为a,互为相反数的项为b；通过辩一辩让学生感知运用公式时要利用整体思想。
通过说一说再次让学生体会到只有具备公式特征时才能用公式。
通过做一做检测学生学习效果。
通过生活实践再次让学生感悟平方差公式的用处和怎么用（同时回答课前提出的问题。
“五”的设计意图：
在学生掌握了基础知识、基本技能的前提下，把本节课所学的平方差公式进行综合、灵活运用，选编连续用公式、逆向用公式、转化变形后用公式。
目的是拓展思维，提升运用数学知识解决问题的能力。
“六”的设计意图
通过小结使学生梳理本节所学内容，把握本节课的核心----平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。
五、发散思维，拓展能力
师：
出示课件：
例3、化简：
（1）（m2+1）（m+1）（m-1）-（m4+1）
（2）、（x2+y2）（x-y）（x+y）（x4+y4）（x8+y8）
例4、填空：
（1）（-2x+_____）（）=4x2-9y2
（2）若（9+x2）（3+x）.M=81-x4,则M=__________
例5、计算：
（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）….（31024+1）
师：
引导学生分析题目特征，例3中分别连续用2次、3次平方差公式，能达到简化运算的目的；
师：
请大家过手做一做，教师巡视，实时点拨。
师：
观察例4
（1）中右边的特征可以写成-2x与3y的平方差，反向运用平方差公式可以获得答案。
师：
（2）题呢？
叫学生来分析。
师：
生1答对了吗?
师：
生2答得非常好，掌声鼓励！
师：
例5中有几个括号相乘呢?
师：
生3回答完全正确，你太棒了！
（同学们热烈鼓掌）
师：
是把这11个数算出来再相乘吗？
3的指数变化有规律：
2n,抓住这个规律，能否考虑用平方差公式呢？
师：
生4很会转化，真行！
只是原式还要除以（3-1）才成立。
你们会做了吗？
六、归纳提升
课件展示：
1、本节课学习了哪些主要内容？
2、平方差公式的结构特征是什么？
3、运用平方差公式要注意哪些问题？
4、本节课运用到哪些数学思想方法？
教师与学生一道回顾本节课学习的主要内容，并请学生一一回答以上问题。
师：
前面四位同学总结得很好，同学们还有补充吗？
七、达标检测，体验成功（时间6分钟，满分100分）
（一）选择题：
（每小题7分，共21分）
1．下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4
C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2D．（x+2）（x-3）=x2-6
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x）B．（
a+b）（b-
a）C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）
3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3B．6C．10D．9
（二）填空题：
（1-5每小题6分，6题7分，共37分）
1．9.8×10.2=________;2.（2x+
）（2x-
）=3、（2x+y）（2x－y）=4．（3a＋2b）（3a－2b）=
5．（200＋1）（200－1）=6．如果a2－b2=10，（a＋b）=2，则a-b=
（三）计算:
（每小题7分，共42分）1.（x+6）（6-x）
2．
3.
4．
5．（－
＋y）（
＋y）6．（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；
课外作业：
教科书习题14.2第1题。
学生1：
板演
（1）题；学生2;板演
（2）题。
小组代表发言评议学生的板演。
生1：
根据一个因数等于积除以另一个因数得M=（81-x4）/（3+x）（9+x2）
生2：
没错，但还没有做完，反向运用平方差公得:
81-x4=（9+x2）（3+x）（3-x）,约分得M=3-x
生3:
因为1024=210，所以有1+10=11个括号。
生4：
由例3
（2）问知：
把原式乘以（3-1），就可以连续用公式。
生5：
板演。
小组代表评议板演，教师点评。
生甲：
………
生乙：
………
生丙：
………
生丁：
这节课我们学到了数形结合法（代数与几何的联系）；从”特殊”____”一般”的归纳方法；在运用公式时的转化思想等。
若课内有时间，就在课内做，若课内时间短，就延伸到课外完成。
“七”的设计意图：
检查学生对平方差公式的基础知识、基本技能、基本思想方法掌握情况，为后面的施教反馈信息。
七、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。
也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）
学生姓名
授课教师
授课内容
时间
第---星期
周
见下
学生学习成果评价表（原创）
评价项目及分值
评价
得分
课内
个人表现
状态
听课认真，积极思考，发言
听课较认真，发言少
有时走神，不发言
不违背纪律，不思考问题
违背纪律，不认真
评价得分
5
4
3
2
1
达标检测
分数段
80----100
70----79
60--69
50---59
50以下
评价得分
5
4
3
2
1
课外
书面作业
效果
很认真，错误极少
认真，有一些错误
认真，错误较多
不认真，错误多
乱写乱画或不做
评价得分
5
4
3
2
1
自主学习
自学状况
研读课本或教辅，思考问题，做演练题
只看课本，做少数同步练习题
看课本，不作练习题
不读书，不做完作业
什么也不做
评价得分
5
4
3
2
1
互助学习
互助情况
优秀生主动帮扶学困生，学困生主动向老师、其他同学请教
中、优生不主动帮扶其他同学，学困生不主动
几类学生都不主动
帮扶不真心
完全不帮扶
评价得分
5
4
3
2
1
综合评价
简要评语：
评价总分：
八、板书设计（本节课的主板书）如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。
§14．2．1平方差公式
一、探究、归纳规律──平方差公式
文字语言：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
符号语言：
（a+b）（a-b）=a2-b2
二．教学新知例1：
运用平方差公式计算
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（-x+2y）（-x-2y）
解：
（1）原式=（3x）2-22=9x2-4
（2）原式=（-x）2-（2y）2=x2-4y2
归纳特点：
（1）、左边是两个二相式相乘，且有一项完全相同，另一项恰好互为相反数；
（2）右边是相同项的平方，减去相反项的平方；（3）、公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式等等。
例2：
例2：
计算：
（1）、（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）;
（2）、102×98
（1）、原式=y2-22-（y2+4y-5）=y2-4-y2-4y+5=-4y+1
（2）原式=（100+2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996
三、巩固应用、拓展能力：
见前例3、例4、例5
四、归纳提升：
（见前，用到的数学思想：
数形结合思想、从特殊到一般的归纳思想、运用特多的转化思想。
）
五、达标检测，体验成功（见前）。
附录：
教学课后反思与探讨：
通过这堂课的教学有以下几点教学反思，愿与同仁们探讨：
1、还有及少部分学生不能准确找出工式中的a,b，在以后的授课过程中，找出公式中的a,b时，可以用不同颜色的粉笔加以区分强调，或让每一小组租长逐一检查掌握情况，同时给掌握的不好的同学辅导，抓落实。
2、当公式中的a,b是式子时分学生出现忘记加括号的错误，如（3a2+b）（b-3a2）=b2-3a4.在以后的例题学习中要强调这个问题，在板书时也可以用不同颜色的粉笔加以强调说明。
3、对于那些表面不能应用平方差公式的题目要加强练习，指出只要两个二项式积中有一项相同，另一项互为相反数，不必在乎正、负和数、式，都可以应用平方差公式。
4、作为平方差公式的运用，教材引入两个数乘积的简捷计算，怎么把这两个数写成两个数的和与两个数差的积的形式？
学生全凭对数的感悟来找，能力差一点的学生一时无法找出这两个数。
能否通过引出（a/2+b/2）+（a/2-b/2）的和乘以（a/2+b/2）-（a/2-b/2）的差，恰好等于ab,归纳出结论：
第一个数等于原来两个因数的平均数，第二个数等于较大因数与较小因数差的一半。
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