九年级数学 二次函数知识点总结.docx

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九年级数学二次函数知识点总结

中数学二次函数知识点总结

　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：

y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

　　顶点式：

y=a（x-h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：

y=a（x-x₁）（x-x₂）[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]

　　注：

在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2ak=（4ac-b^2）/4ax₁,x₂=（-b±√b^2-4ac）/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为：

P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1.二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　当h>0时，y=a（x-h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象;

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象;

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象;

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2+k的图象;

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　2.抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）.

　　3.抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）;

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　（a≠0）的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

　　5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a≠0）.

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）^2+k（a≠0）.

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）.

　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

　一、二次函数的最值：

　　1.如果自变量的取值是全体实数，那么二次函数在图象顶点处取到最大值（或最小值）。

　　这时有两种方法求最值：

一种是利用顶点坐标公式，一种是利用配方计算。

　　二、二次函数与一元二次方程、二次三项式的关系

　　三、二次函数的实际应用

　　在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。

　　那么解决这类问题的一般步骤是：

　　第一步：

设自变量;

　　第二步：

建立函数解析式;

　　第三步：

确定自变量取值范围;

　　第四步：

根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）。

　　常见考法

（1）考查一些带约束条件的二次函数最值;

（2）结合二次函数考查一些创新问题。

　　二次函数顶点式、交点市、两根式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

（1）一般式：

y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）,则称y为x的二次函数。

顶点坐标（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）

（2）顶点式：

y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a,h,k为常数，a≠0）.

　　（3）交点式（与x轴）：

y=a（x-x1）（x-x2）

　　（4）两根式：

y=a（x-x1）（x-x2），其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.

　　说明：

（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a（x-h）2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k），h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a（x-h）2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.

（2）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）,二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a（x-x1）（x-x2）.

　　误区提醒

（1）忽略自变量的取值范围，所求最值不符合实际意义;

（2）二次函数的坐标系建立的不恰当，给解题带来了困难。

· 初中数学几何图形典型例题

题目

　　【典型例题】（2010四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内.已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.

（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内?

（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内?

答案