六年级数学上册组合图形的周长和面积.docx
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六年级数学上册组合图形的周长和面积
六年级数学上册组合图形的周长和面积
21、如图12，已经半圆的直径为10㎝，求阴部分的面积及阴影弧线长的和
。
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大12平方厘米。
求BC的长是多少厘米？
23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。
（单位：
㎝）
24、如下图，已知AC=CD=DB=2㎝，求阴影部分的周长和面积。
25、已经半圆的直径为9㎝，求阴影部分的面积。
26、如下图，求阴影部分的周长与面积。
（单位：
㎝）
C
27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分
（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
A
C
B
D
8
28、如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。
29、
如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
30、
如图所示，求四边形ABCD的面积。
（单位：
厘米）
31、
C
如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。
求CD的长度。
32.图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
33、如图19－19所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。
求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
34、如图19－20所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：
DC＝3：
1。
求阴影部分的面积。
35、如图19－21所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。
得数保留两位小数）。
O
A
B
D
C
19－19
A
B
O
19－20
60○
30○
A
B
C
12
5.2
19－21
三角形面积计算
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：
BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：
S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：
△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？
2．已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。
3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
（如图所示）。
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。
同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图）。
2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图所示）。
3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米）S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。
求梯形面积。
2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。
求梯形的面积（如图所示）。
3．已知S△AOB＝6平方厘米。
OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。
【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。
3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。
这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。
图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
正方体的表面积=6×a2
正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR2
母线长与高）。
三、例题选讲
例1图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：
从图6—5和图6—6中可知：
与
；
与
；
与
互相处于相对面的位置上。
只要在图6—7
（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与
处在互为对面的位置上。
再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与
处在互为对面的位置上。
最后再看图6—7中的（c），同上，1与
，2与4处在互为对面的位置上。
图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。
例2图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。
分析与解：
只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。
图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。
例3在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？
分析与解：
沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。
实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。
而两点间以线段的长度最短。
所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。
例4图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？
分析与解：
因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。
这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：
（略）
例5图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
分析与解：
从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。
另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。
因为小正方体的棱长是1厘米，所以
上面的表面积为12×9=9（平方厘米）
前面的表面积为12×8=8（平方厘米）
左面的表面积为12×7=7（平方厘米）
几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
答：
（略）
例6图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
（π=3.14）
分析与解：
因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
因为圆锥形铅锤的体积为
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：
铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：
根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。
假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2
=2πx+4π
根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：
圆钢的体积为π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）
答：
（略）。
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