一元一次方程解应用题地思路和解法全.docx
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一元一次方程解应用题地思路和解法全
一元一次方程解应用题的思路和解法
一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。
主要困难体现在两个方面：
一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。
事实上，方程就是一个含未知数的等式。
列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。
而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。
由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
所以，我认为解题关键为：
先找出等量关系，根据基本量设未知数。
一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。
初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：
（1）行程问题；
（2）工程问题；
（3）溶液配比问题；
（4）销售问题；
（5）数字问题；
（6）比例问题；
（7）设中间变量的问题。
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
下面针对以上七项分别进行讲解。
1行程问题
行程问题中有三个基本量：
路程、时间、速度。
等量关系为：
①路程=速度×时间；
②速度=
；
③时间=
。
特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
例1：
一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？
此题的等量关系是：
列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。
则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。
实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（
）小时，第二段是耽误停留的12分钟（转换成小时为（12/60）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（
）小时，所以可以列方程为：
解得：
x=360千米。
例2：
甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，两人都匀速前进。
已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。
求AB两地路程。
本题可以简化为：
A、B两地两人匀速相向而行，2小时候相距36千米，4小时候后仍相距36千米，求A、B距离。
而两人各自的速度是多少，是不是相等这些均没有交代。
为了有助于我们找到等量关系，我们可以借助草图。
甲从A出发去B，乙从B出发去A，相向而行，2小时后假设甲到C，乙到D，此时CD之间的距离为36千米。
又过了两小时后甲到D，乙到C，此时CD之间的距离仍是36千米。
我们根本不知道甲乙的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。
那么设A、B之间的距离为x千米，那么2小时后，甲乙一共走的路程是（x-36）千米，用时2小时，那么甲乙的速度和是：
4小时候后，甲乙仍相距36千米，此时他们共走的路程是（x+36）千米，用时4小时，那么甲乙的速度和是：
所以可以列方程为：
解得：
x=108千米。
例3：
某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。
问往返共需多少时间？
这一问题实际上分为两个过程：
①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；
②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。
在第一个过程追及问题中，等量关系是：
此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。
设此段此人行进的时间为x，则：
解得x=300s。
在第二个过程相遇问题中，等量关系是：
此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长度。
设此段此人行进的时间为y，则：
解得：
y=100s。
所以往返共用时间为x+y=400s。
例4：
一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2km。
求甲、乙两地之间的距离。
顺水速度=静水速度+水流速度；
逆水速度=静水速度－水流速度。
此题的等量关系是：
静水速度＝顺水速度－水流速度＝逆水速度+水流速度。
设两地之间距离为x千米，则
解得x=96千米。
巩固练习：
1、某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。
问往返共需多少时间？
2、一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？
3、小明到外婆家去，若每小时行5千米，正好按预定时间到达，他走了全程的五分之一时，搭上了一辆每小时行40千米的汽车，因此比预定时间提前1小时24分钟到达，求小明与他外婆家的距离是多少千米？
4、甲乙两人分别从相距60千米的AB两地骑摩托车出发去某地，甲在乙后面，甲每小时骑80千米，乙每小时骑45千米，若甲比乙早30分出发，问甲出发经过多长时间可以追上乙？
5、某飞机原定以每小时495千米的速度飞往目的地，后因任务紧急，飞行速度提高到每小时660千米，结果提前1小时到达，问总的航程是多少千米？
6、一列货车和一列客车同时同地背向而行，当货车行5小时，客车行6小时后，两车相距568千米。
已知货车每小时比客车快8千米。
客车每小时行多少千米？
7、李欣骑自行车，刘强骑摩托车，同时从相距60千米的两地出发相向而行。
途中相遇后继续前进背向而行。
在出发后6小时，他们相距240千米。
已知李欣每小时行18千米，求刘强每小时行多少千米？
8、甲、乙两人相距22.5千米，并分别以2.5千米/时与5千米/时的速度同时相向而行，同时甲所带的小狗以7.5千米/时的速度奔向乙，小狗遇乙后立即回头奔向甲，遇甲后又奔向乙……直到甲、乙两人相遇，求小狗所走的路程。
9、一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地,当车行驶了4小时30分后,遇雨路滑,车不能开快,这样将速度每小时减少20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲,乙两地的距离。
10、小刚和小明骑自行车去郊外游玩，事先决定早晨8时从家里出发，预计每时骑7.5千米，上午10时可到目的地。
出发前他们又决定上午9时到达目的地。
那么每小时骑多少千米？
2工程问题
工程问题的基本量有：
工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：
工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=
；
工作效率=
。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为
。
常见的相等关系有两种：
①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。
②如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。
在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
例1：
加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
解析：
将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为
，乙的工作效率为
。
问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。
所以可知等量关系为：
乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。
可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天数为（12-x）天。
因为乙的效率为
，则乙的工程量为
；甲的工作效率为
，则甲的工程量为
，所以可列方程为：
解得：
x=8天。
例2：
收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。
收割了
后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。
因此比预计时间提前1小时完工。
求这块麦地有多少亩？
解析：
本题的等量关系为：
老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业时间=1。
可设麦地有x亩，那么在改用新式农具之前的工作效率是4亩/小时，按照此效率收割了
亩，此作业时间为
。
改用新式工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，工作任务为
亩，此作业时间为
，所以老式收割与新式收割混合的作业时间为：
，而单独老式收割的作业时间为
，所以根据等量关系可列方程为：
解得x=36亩。
例3：
一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开，需多少时间注满水池？
解析：
可知三个水管的工作效率如下：
甲水管的注水效率为
；
乙水管的注水效率为
；
丙水管的放水效率为
。
那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：
一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。
则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为
，乙的注水工作量为
，丙的排水工作量为
，则可列方程为：
解得x=5小时。
巩固练习：
1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
甲乙合做，需几小时完成这件工作?
2、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，还需几小时完成?
3、 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成?
4、整理一批数据，、由一人做需要80小时完成。
现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？
5、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
3溶液配比问题
行程问题中有四个基本量：
溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。
其关系式为：
溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；
浓度=
×100％=
×100％；
纯度（含量）=
×100％=
×100％。
由①②可得到：
溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。
例1：
把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，应加入浓度为20％的酒精多少克？
解析：
等量关系是：
溶质质量相等。
配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。
配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。
则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：
计算得：
x=2000克。
例2：
现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克？
解析：
本题跟上题等量关系一样。
可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液（100-x）克，可列方程为：
解得：
x=60克，则需要20%浓度的100-60=40克。
巩固练习：
1、有含盐8%的盐水40Kg，要使盐水含盐20%，①如果加盐，需加盐多少千克？
②如果蒸发掉水分，需蒸发掉多少千克的水？
2、有两种合金，第一种含铜90%，第二种含铜80%，现要熔炼一种含铜82.5%的合金240千克，则两种合金应各取多少千克？
3、从每千克0.8元的苹果中取出一部分，又从每千克0.5元的苹果中取出一部分混合后共15千克，每千克要卖0.6元，问需从两种苹果中各取出多少千克？
4、在全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按照比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜利了多少场？
5、小明在学校的篮球比赛中他一人得了23分，如果他投进的2分球比3分球多4个，那么他投进的2分球是多少个？
6、某同学要把450克浓度为60%的盐溶液配成浓度为40%的溶液，但他未经考虑便加入了300克水。
①请通过计算说明该同学加进的水是超量的。
②这时需加进盐多少克？
配成40%浓度的盐溶液多少克？
4销售问题
与生活、生产实际相关的销售类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。
销售类问题主要体现为三大类：
①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。
这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。
（1）销售利润问题。
利润问题中有四个基本量：
成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
②
基本关系式有：
①利润=销售价（收入）－成本（进价）；
②成本（进价）=销售价（收入）－利润；
③利润率=
；
④利润=成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。
打折问题中常以进价不变作相等关系。
（2）优惠（促销）问题。
日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。
这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。
并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。
（3）存贷问题。
存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。
存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
其关系式有：
①利息=本金×利率×期数；
②利息税=利息×税率；
③本息和（本利）=本金+利息－利息税。
例1：
某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。
如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？
解析：
设销售价每件x元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5）元，利润率为12％，则利润为（5×10+40×12.5）×12％。
则可列方程为：
（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％
解得x=14.56元。
例2：
某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。
问这种商品的定价是多少？
解析：
设定价为x元，七五折售价为75％x元，因为赔25元则利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。
根据等量关系进价一定，克列方程为：
75％x+25=90％x－20
解得x=300元。
例3：
小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。
整存整取，年利息为2.16％。
取款时扣除20％利息税。
小明共得到本利504.32元。
问半年前小明共存入多少元？
解析：
本题中要求的未知数是本金，可设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，则可列方程为：
x+0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32
解得x=500元。
例4：
某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？
解析：
购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。
设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有：
200+80％x=x
解得：
x=1000元。
当x＞1000时，如x=2000买卡消费的花费为：
200+80％×2000=1800（元）。
不买卡花费为：
2000（元）此时买卡购物合算。
当x＜1000时，如x=800买卡消费的花费为：
200+80％×800=840（元）。
不买卡花费为：
800（元）此时买卡不合算。
巩固练习：
1、某单位准备要去某地方旅行该单位正在准备联系旅行社A、B旅行社每位的费用都是300A旅行社表明全部打8折付费B旅行社表明一人免费其余按9折付费请问当该单位的人数为多少人去旅行时两个旅行社的费用总额一样？
2、现在对某商品降价百分之十促销,为了使销售总金额不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?
3、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。
该工厂的生产能力是：
制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨。
受人员限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。
为此设计两种可行方案：
方案一：
尽可能多的制成奶片，其余的直接销售鲜奶。
方案二：
将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并且恰好4天完成。
问：
你认为选择哪种方案获利多？
为什么？
4、某商场将彩电先按原价提高30%，然后再在广告中写上“大酬宾、八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了112元，求每台彩电的原价应是多少元？
5、小明把压岁钱按定期一年存入银行。
当时一年期存款的年利率为1.98％，利息税的税率为20％.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元。
问小明存入银行的压岁钱有多少元？
6、在市场上常听到小贩与顾客的讨价还价：
“10元的玩具赛车打八折”“能不能再便宜2元？
”如果小贩真的让利2元卖了，他还能获利20%，这种玩具的进价是多少元？
7、老张把5000元按一年期的定期储蓄存入银行。
到期支取时，扣去利息税后实得本利和为5080元。
已知利息税税率为20％，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
8、某商品的进价是2000元，标价是3000元，若商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，则售货员最低可以打几折出售此商品？
9、某商店把一种货品按标价的9折出售，可获利20%，若其进价为每件21元，求每件标价多少元？
10、某年二年期定期储蓄的年利率为2.25％，所得利息需交纳20％的利息税。
已知某储户到期后实得利息450元，问该储户存入本金多少元？
5数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
任何数=∑（数位上的数字×位权）
如两位数ab=10a+b；三位数abc=100a+10b+c。
在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。
例1：
一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。
求这个数。
解析：
设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。
依题意可列方程为：
（x+7）+x+3x=17。
解得：
x=2。
所以这个三位数为：
100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926。
例2：
一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。
解析：
这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。
设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为100000+x，移动后的数为10x+1，依题意可列方程为：
10x+1=100000+x
解得x=42857。
则原数为142857。
巩固练习：
1、三个连续奇数的和是63，求这三个奇数。
2、三个连续偶数的和是18，求它们的积。
3、在日历上任意画一个含有9个数字的方框（3╳3），然后把方框中的9个数字加起来，结果等于90，试求出这9个数字正中间的那个数。
4、一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这三个数。
5、已知三个连续奇数的和比它们相邻的两个偶数的和多15，求三个连续奇数。
8、将55分成四个数，如果第一个数加1，第二个数减去1，第三个数乘以2，第四个数除以3，所得的数都相同，求这四个数分别是多少？
10、小华参加日语培训，为期8天，这8天的和为100，问小华几号结束培训？
11、小明今年的生日的前一天，当天和后一天的日期之和是78，小明今年几号过生日？
12、王老师要参加三天培训，这三天恰好在日历的一竖排上且三个数字相连，并且这三个日子的数字之和是36，你知道王老师都要在几号参加培训吗？
13、小明和小红作游戏，小明拿出一张日历说；“我用笔圈出了2╳2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？
”你能帮小红解决吗？
14、三个连续偶数的和是36，求它们的积。
15、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。
16、三个连续奇数的和是75，求这三个数。
17、一个两位数，十位数字是a,个位数字是b,把这个两位数的十位数字与个位数字对调，所得的数减去原数，差为72，求这个两位数。
18、用一个正方形在某个月的日历上圈出2╳2个数的和为64，这4天分别是几号？
19、如果用一个正方形在某个月的日历上圈出3╳3个数的和为126，则这9天分别是几号？
20、若今天是星期一，请问2004天之后是星期几？
22、有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的数比原数小36，求原数。
23、一个数的七分之一与5的差等于最小的正整数，这个数是多少？
24、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。
25、某中学初一学生小刚今年13岁，属羊，非常巧合的是，小刚的爷爷也是属羊的，而且两个人的年龄的和是86，你能算出小刚爷爷的年龄吗？
26、三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10，这三个连续偶数是什么？
它们的和是多少？
6比例问题
比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。
比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。
调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。
在调配问题中主要考虑“总量不变”。
例1：
甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。
问原来每架上各有多少书？
解析：
在调配问题中，调配后数量相等，即将原来多的一方多出的数量进行平分。
由题设中“从甲书架拿100本书到乙书架，两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200本。
故设乙架原有x本书，则甲架原有（x+200）本书。
从乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的书为（x－100）本，甲架书变为（x+200）+100本。
又甲架的书比乙架多5倍，即是乙架的六倍，可列方程为：
（x+200）+100=6（x－100）
解得x=380，即乙书架原有380本书，则甲书架原有380+200=580本书。
例2：
某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。
每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？
解析：
产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。
本题中，设有x名工人生产螺母，生产螺母的个数为200x个，则有（22－x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为120（22
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