相似三角形六大证明技巧.docx
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相似三角形六大证明技巧
模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型
回顾相似三角形的判定方法总结：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
2.三边成比例的两个三角形相似•（SSS
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似•（SAS）
4.两角分别相等的两个三角形相似.（AA）
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）
模型一：
反A型：
如图，已知△ABC,/ADE=/C,若连CD、BE,进而能证明△ACDABE（SAS）
试一试写出具体证明过程
模型二：
反X型：
如图，已知角/BAO=/CDO，若连AD,BC,进而能证明△AODBOC.
试一试写出具体证明过程
A
应用练习：
1.已知△ABC中，/AEF=/ACB，求证：
（1）AEABAFAC
（2）ZBEO=/CFO,
/EBO=/FCO（3）ZOEF=/OBC，/OFE=/OCB
2.已知在/△ABC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动
点,过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如
图2）于点P.
⑴当点P在线段AB上时，求证：
Z/APQs/ABC;
⑵当Z/PQB为等腰三角形时，求AP的长。
模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影
模型三：
射影定理
如图已知/ABC,/ACB=90°,CH丄AB于H，求证：
AC2AHAB,BC2BHBA,,
HC2HAHB，试一试写出具体证明过程
模型四：
类射影
如图，已知AB2ACAD，求证:
BD
BC
AB
AC，
试一试写出具体证明过程
应用练习:
1•如图，在△ABC中，AD丄BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F。
求
AEAC
证：
-
AFAB
2.如图，在△ABC中，ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F，连EF，求证:
/AEF=/C
D
模型五：
一线三等角
如图，已知/B=ZC=/EDF，则△BDECFD（AA）,试一试写出具体证明过程
应用练习:
1.如图，△ABC和厶DEF两个全等的等腰直角三角形，/BACKEDF=90,△DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合•将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：
△BPE^ACQE
（2）
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：
△BP0ACEQ
并求当BP=aCQ=9a/2时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）
2.△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作/MDN=/B
（1）如图
（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与MDE相似的三角形.
（2）如图
（2），将/MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.
（3）在图
（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当Z\DEF的面积等于MBC
111
的面积的云时，求线段EF的长.
3.如图，点占在线段必上,点？
兰在如同侧，仔乞些严哼
4Q=°
（1）求证：
M7D+CE
（2）若人"3,CE"，点"为线段扭?
上的动点，连接DP,作PQ丄恥，交直线•于点•。
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”•但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题•合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让
复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧
技巧一：
三点定型法
技巧二：
等线段代换
技巧三：
等比代换
技巧四：
等积代换
技巧五：
证等量先证等比
技巧六：
几何计算
横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。
1•如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于
2•如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点,
DE交BC于F，求证：
DCCF-
AEAD
F.求证：
BFABBEBC•
若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：
等线段代换，等比代换，等积代换
【例1】如图，在△ABC,AD平分/BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于
F,求证：
FD2FBFC
证明：
连接AF,
\^AD是乙BAG的平分线,,\Z1=Z2,
是AD的垂直平分线，
.\FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）,
「.ZFAD—Z.FDA（等边对等角）,
ZACF=£FDA+Z2,
:
/BAF^ZACF
又="FB
:
ABAF^AACF,
【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F,
ECAD•求证：
ACBECEAD-
2
ABBECD
【例4】如图，△ABC中，ABAC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB,
延长BP交AC于E，交CF于F.求证：
BP2PEPF-
【例5】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O,E、交CD的延长线
于F，求证：
OB2OEOF.
过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：
ABAFACDF.
【例7】如图，在△ABC中（AB>AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使
ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：
BPCECPBD
的边上，连接AG，AF分别交DE于M,N两点.
1如图2,若AB=AC=1，直接写出MN的长;
2如图3，求证：
MN2二DM?
EN.
模块二
比例式的证明方法之等积代换
【例8】如图，△ABC中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长
线于M•求证：
HE2HGMH
【例9】如图，在△ABC中，BAC90,D为AC中点，AEBD,E为垂足，求证:
CBDECD•
【例10】在Rt△ABC中，AD丄BC,P为AD中点，MN丄BC,求证MN2ANNC
C
11.如图，已知△ABC中，AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。
求证：
DE=EG?
EH
模块二
比例式的证明方法之证等量先证等比
【例11】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC,BE、BF
分别交AC于M、N.,求证：
AM=CN.
【例12】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE,过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：
AM=NC，MN//DE.
E
【例13】如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF丄BC,PE丄AC,
AF交PE于N,BE交PF于M.，求证：
PM=PN,MN//AB.
【例14】如图，正方形BFDE内接于△ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证：
（1）MN//AC;
（2）EM=DN.
【例16】（探）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，
模块二比例式的证明方法之几何计算
【例17】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC>AB,AD是角平分线，AE是中线，
BF丄AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.
（1）求证：
AH=BH,
（2）
fg
若/BAC=60。
，求的值.
DG
【例18】（2016七一华源）如图：
正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、
CD上，/1=Z2=Z3=a求证：
（1）EF+EG=AE
（2）求证：
CE+CG=AF
模块二
比例式的证明方法之动点问题
运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动
态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。
利用相似三角形对应
边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。
1•如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1//AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3
个单位的速度运动.过点D作DH丄AB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1于F,G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒.
（1）当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；
（2）当厶DEG与厶ACB相似时，求t的值.
2•如图，在△ABC中，三ABC=90°AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有
一点到达终点时，它们都停止移动•设移动的时间为t秒.
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；
②求厶CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P,Q移动的过程中，当厶CPQ为等腰三角形时，求出t的值.
3•如图1,在RtAABC中，IACB=90°AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E,EM丄BD,垂足为M,EN丄CD,垂足为N.
（1）当AD=CD时，求证：
DE/AC;
（2）探究：
AD为何值时，△BME与厶CNE相似？
4•如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x.
（1）当x为何值时，PQ//BC?
（2）△APQ与厶CQB能否相似？
若能，求出AP的长；若不能说明理由.
ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点
度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、
Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0vtv6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
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