代入（7.1）式得最终的像强度为:
其中，V是射线源在X方向上走过的速度，X是射线源走过的距离，m为放大率，k为底片运动的换算因子，k+m代表总放大率。
体层摄影曾一度作为一项重要的成像功能出现在X线成像设备中。
但体层
成像存在一些无法解决的问题，如辐射面积广、剂量大，要成一层组织的影像，则比成像区域大的多的组织体积均要接受X线照射，大大增加了被检者受照射量，增加了辐射损伤。
另外，体层摄影的图像质量，尤其是对比度分辨率，相对X线平片并无明显提高。
影像信息中还掺杂了模糊区域的半影，相当于影像中增加了更多的散射线，削弱了组织对比。
体层摄影还需要被检者的屏气与制动配合，不适于床旁摄影和屏气困难的被检者。
真正的断层成像出现在1971年，始于世界上第一台可应用于临床的CT,安装于Atkinson-Morley医院。
这种技术也叫CAT（computedaidedtomography或computedaxialtomography），其图像重建的数学理论最早适于奥地利数学家Radon于1917年提出的，即三维的物体可以以它的投影的无线集合唯一的重建出来。
此后经过了很多数学及物理学家的实践和发展，最终由英国EMI公司的
Hounsfield实现和完成。
计算机（辅助或轴向）断层成像截然不同于体层摄影，其射线束中心面与断层成像的平面成平行重叠关系，而非体层摄影的垂直关系，因此射线范围仅覆盖成像层面，影像信息不包含非成像层面。
另外成像区域在轴向上压缩的尽量薄，使成像区为一薄层区域，可近似认为二维吸收系数分布。
这样组织重叠问题简化为部分容积效应，因此对组织的观察效果大大提高，给人一种人体“切开”观察的效果。
二、断层成像的数理原理
CT的发展过程中，采用过很多种图像重建算法，其数学原理各不相同。
经
过近40年的发展，先后出现了方程联立、迭代、二维傅立叶变换、反投影（Back
projection）等重建算法。
鉴于Radon的数学理论被广泛借鉴于二维傅立叶变换算法和滤波反投影算法，并应用于教学。
因此本教材中，我们将Radon的中心切
片理论作为计算机断层成像的基本数学原理。
CT图像重建是通过其扫描过程获得数据，并将数据进行分析处理，推导出
其拟成像层面内的吸收系数分布。
前面提到，CT成像将成像的薄层区域近似为
二维吸收系数分布，即认为成像的容积内对应的体素矩阵为MXN个，每个体
素厚度均为L，如图7-4。
假定每个体素吸收系数是均匀的，则对应图像的吸收系数分布为」x,y，求出层面内吸收系数分布，并将吸收系数对应成灰度值，即可重建出图像。
MXN的吸收系数矩阵
图7-4CT成像的体素矩阵
CT系统通过对组织扫描获得数据，扫描的方式根据系统分为平行线束扫描、扇形束扫描、宽扇形束扫描等。
我们以最基本的平行线束为例：
扫描装置包括一个X线管和一个检测器组成。
X线束被准直成单线束形式，X线管和检测器围绕受检体作同步平移-旋转扫描运动，如图7-5。
图7-5单束扫描方式
这种情况下，在一个固定角度上，探测器所得到的值是成像区域在该角度上的衰减后X射线强度值I，通过取对数，我们得到：
p=_In（）=」（x,y）dxdy
1o
（7.5）
我们称P为该角度下的投影（Projection）。
如果探测器进行360度的扫描，每次间隔1度。
则可获得360个投影。
利用这些投影求解出x,y，即可得到图像。
为方便不同扫描角度的表达，我们将投影由直角坐标系x,y变换到极
坐标系Rc表示，则扫描路径可以用直线方程表示
xcos^+ysin&=R（7.6）
R表示射线路径距离体层中心的距离，9表示扫描角度。
在B角的投影表示为
P（R,日）=仃4（x,y）dxdy（7.7）
使用单位脉冲函数的筛选性质表示某一9角的投影值为
Pg（R,8）=jJ見（x,y）芳（xcos8+ysin6-R）dxdy（7.8）
在断层图像重建中，一个具有指导意义的数学理论，即中心切片理论指出，吸收系数函数丄:
i.x,y在某一方向上的投影Pe（R）的一维傅立叶变换函数Ge（p，是原吸收系数函数Kx，y）的二维傅立叶变换函数F（p9在（p,9平面上的沿同一方向上过频域空间原点的直线上的值，如图7-6所示。
图7-6中心切片理论
即对吸收系数Kx，y）分布进行二维傅立叶变换并进行（p,9域表示，并对其在频域空间的形式过原点“切一刀”，则切出的切面函数，等于所切相同角度下的投影函数进行（p,9表示并进行一维傅立叶变换的值。
或者说，在角度
e得到的投影值的一维傅立叶变换，等于物体的二维傅立叶变换过频域中心同样
角度的值，但要投影值和物体吸收系数均在（P,9坐标系中表示。
中心切片理论的公式描述如下：
F»（x,y）】=F（P,日）（7.9）
FJP）=F[G0（P）]（7.10）
如使用直角坐标系，则中心切片理论可描述为：
Fg（x,yL,yJJg（x,y）e2（u®dxdyU占（7.11）
此公式即为零频率准则在二维情况下的等价。
基于这个理论，我们只要采集尽可能多的投影数据，将投影进行一维傅立叶变换，在频率域中，将这些变换值按投影角度排布，并进行适当的高频区域插值。
当360个或180个投影值的傅立叶变换填充完频率域后，将频率域数据进行二维反傅立叶变换，即得到原始的吸收系数分布，求解得图像。
对于中心切片理论，我们可以通过一个特殊角度的投影重建，简单验证一下。
设对某一组织进行平行于y轴的扫描，如图7-7，
图7-7特殊角度投影
则投影值为
（7.12）
QO
Px,0=fx,ydy
-SO
取其傅立叶变换为
Pu二px,0e'jFxdx二fx,ye—2「uxdxdy（7.13）
原组织的吸收系数的二维傅立叶变换在同角度下的取值为
QOoOoOoO
F（u,v）v」=JJf（x,ydxdyv兰=JJf（x,ye^dxdy（7.14）
3_oO-j=O二
则证明射线束平行y轴时，中心切片理论成立。
对于中心切片理论的数学来源和详细推导，这里并不做更多的叙述。
对于
实际的计算机断层成像来说，中心切片理论指出了重建图像的数学方法。
第二节医学图像重建算法
一、方程联立法
X线束具有一定的能量和穿透能力，当X线束遇到物体时，物体对射入的X线有着衰减作用，即物体对X线的吸收。
普通X线成像正是利用不同组织对X线衰减不同，将穿过人体后X线自然形成的对比度转化为图像对比度的，其成像过程不需要进行数学计算。
而CT成像时，需要获得入射和出射X线的强度值来进行重建运算。
若X线穿过非均匀物体，将沿着X线束通过的物体分割成许多小体素，令每个体素的厚度相等，记为d。
设d足够小，使得每个体素可认为是均匀的，其吸收系数为常值，如图7-8所示。
b////////【
—nnW~
图7-8X线透射多个小单元组织
当入射X线强度为I。
时，透过第一个体素的X线强度Ii为：
I1=I。
e一*d（7.15）
卩1是第一个体素的吸收系数。
对于第二个体素来说，Ii就是入射的X线强度。
设第二个体素的吸收系数为，X线经第二个体素透射出的强度I2为：
I2=11e一d
将I1的表达式代入上式，有：
I2二l°e」de_2d=loe—J^d
经过第三个体素的投射出的强度为13：
二I°e-—
等式两边取对数，化简得:
（7.18）
所以可以
表示为求和形式:
dIn
此处的P值，就是上一节数理原理处提到的投影。
因为矩阵较小,使用累加来离散表示吸收系数分布，不必使用积分表示。
在简化的情况下看，得到P值，就可以建立一个n元一次方程，只要能获得足够多的方程，即可求解出
n个X线通过路径上的吸收系数，得到肢体成像区域的吸收系数二维分布，将吸收系数对应灰度显示，即可获得影像。
CT成像系统通过从不同方向上进行多次
X线投射，即扫描，来获取足够的方程联立求解吸收系数。
早期CT的图像矩阵较少时，可以使用方程联立求解吸收系数。
但现在的
CT图像矩阵往往大于等于512X512，如果采用方程联立，一个等式既有512个未知吸收系数，这种情况下方程联立求解的矩阵过大，运算量惊人。
同时由于扫描要求尽可能缩短扫描时间，因此导致得到非正方矩阵，不能满秩，方程数不足。
二、迭代法
迭代法是使用多次迭代运算，逐步逼近吸收系数真实值的重建方法，广泛应用于CT、PET等断层成像系统。
迭代先从一个假设的近似图像开始，将人为假设的图像进行理论计算得到投影值，同实际扫描组织获得的投影值进行比较，采
用迭代的方法不断修正逼近，并按照某种最优化准则寻找最佳求解
迭代法的优点在于计算量相对简化，在迭代过程中可以将校正因子包含进最优化准则中，方便进行衰减校正，降低伪影。
常用的迭代重建算法有：
代数重建迭代（Algebraicreconstructiontechnique,ART）、同时迭代、最大似然法等。
代数迭代包括加法迭代和乘法迭代，加法迭代算法的公式为：
厂气i,j）=pN（i,j）+PkW）—RkW）（7.19）
Mk（日）
0*（i,j）与》N（i,j）表示第N+1次迭代和第N次迭代，R（日）表示某一角度
照射组织获得的实际投影值，Rk是假设图像在迭代过程中的计算投影值，
Mk二是射线束穿过的体素个数。
这里采用一个简单的2X2矩阵（如图7-9）及其投影来说明迭代过程，
11
图7-92x2矩阵
图中数值为真实组织的吸收系数和投影值，我们可以得到组织在6个方向上
的投影真实值，现在根据真实值迭代求解原始4个像素的吸收系数。
我们最先假
设各像素值均为0,计算其6个投影，并与真实投影值进行比较，按照公式计算
真实投影和假设投影之差。
并将差值除以每条线上的两个单元，再加到每个像素中。
考虑垂直方向投影：
叫（i,j）=卜3=0+=5.5;
2
巴（i,j）=巴=0+=4.5;
2
考虑水平方向投影：
»（i,j）-5.5+121°-6.5;
2
212-10比（i,j）=4.5+=5.5;
2
28—10
%i,j=5.54.5;
J42i,j=4.5^2^=3.5;
考虑对角线方向投影：
叮i,j=6.5=5;
叮i,j=5.5=7;
」3I,jv=4.52"=6;
J43i,j=3.52=2
由此重建得到原来像素的真实吸收系数值。
一般要重建的图像矩阵当然要大的多，这时需要对同一批数据进行多次迭代
（如改变迭代的次序），以得到符合的收敛。
为了节约时间和硬件，往往在真实投影值与计算投影值之差足够小时即可停止迭代。
迭代过程中可以根据一些先验知识设定条件，如吸收系数不能为负值，一旦得到负值则重置像素系数为零。
也可参考扫描区域的一般图像特征，设定几何形状约束和平滑性约束条件。
乘法迭代是对加法迭代的改进，其迭代公式为：
严（i,jiN（i,j）•阳（7.20）
某些CT系统中，将反投影法同迭代法相结合，可以综合二者的优点，适
应更高的CT扫描速度，而纯粹的迭代法在现在的CT系统中已不采用。
三、二维傅立叶变换法
傅里叶变换法是直接应用CT的数理原理（Radon理论和中心切片理论）进
行吸收系数求解的重建方法，因此也叫直接求解方法。
傅立叶变换法采用积分式
描述投影函数P,设fx是沿着X线束路径，随X连续变化的物体吸收系数，是x的函数。
X射线穿过非均匀物体获得投影的形式可写为：
切i
P=1/仗加=-1n厂（7・21）
上式中的P是对连续函数x变化的积分，重建图像的过程，即是由P求
解吸收系数分布函数」x的过程。
由于人体断面图像的建立是二维图像的计算过程，需要将这一体层平面设定
在直角平面坐标系（X-丫坐标系）中。
在体层平面上每一点的吸收系数是坐标（x，y）的函数，设为」x,y。
当CT进行扫描时，X线束是围绕着体层平面的中心点进行平移或旋转的，X线的投影P也总是与X线束路径L有关。
为此，我们引进一个新的坐标系，极坐标R-9来描述X线束路径L的位置和角度。
设X线束路径L到坐标中心0的距离为R,与y轴夹角为9,则X线束路径L的直线方程为：
xcos。
+ysin日=R（7.22）
或xcosT+ysinT_R=0（7.23）
式中9可以从0〜2n之间变化，R从中心点至被测人体体面最大外缘间变化。
X线的投影是随着扫描方向和穿过路径的不同而变化的，经过坐标变换后，X线束穿过吸收系数为丄:
Xy的物体，变换到R-9坐标平面上的投影是关于自变量（R，9）的函数，记为PRd。
当在某一9角度时：
P日（Rp）=JJ4（x,ydxdy（7.24）
设有扫描一个半径为a，吸收系数为卩的匀质圆形物体。
若令X线束与y轴
平行，v-0，X线束路径到坐标中心点的距离为R。
可得它的投影PR^为:
Ja2_R2；—22
P0（R,日）=J尸（X,ydxdy=卩（dy=2»Ja-R（7.25）
--a-R
由于均匀圆形物体各个方向上的投影均相同，可以用上式来表示。
投影函数PR^随R变化的曲线如图7-10所示
图7-10圆形物体的X线投影
在实际CT成像时，CT系统扫描物体获得足够多投影函数后，求解」x,y的过程依据于中心切片理论，是由Radon关于投影重建图像理论中的一个核心部
分演化得来。
根据上节中中心切片理论的公式，我们可以将密度函数」x,y的二维傅里叶变换为：
F（u,v）=f[f（x,y0-j^Cx4vydxdy
式中x，y为空间直角坐标系的坐标，4（x,y为二维图像的吸收系数，u、v为傅里叶空间频率坐标系的坐标。
若空间频率坐标用极坐标来表示，即
Fu,v二F厂，其中:
=PcosP
v=PsinP
则二维傅里叶变换式可写为：
F（P,P）=仃4（x,yb—汐呎xcos%sinPdxdy（7.26）
要得到扫描直线为到原点的距离为R，与y轴夹角为B的路径丨的表示，可以利用狄拉克函数（咅函数）的筛选性质，即J八：
xcosrysin，-R为路径l的吸收系数分布，其投影值表示为：
Pei（R,日）=ff卩（x,yQ（xcosT+ysin日一Rdxdy（7.27）
按照中心切片理论，图像在某一B角度上投影的傅里叶变换，正好等于该图像吸收系数）x,y二维傅里叶变换形式在相同角度（3=®直线上的值。
如果将所有角度投影值的一维傅里叶变换，
并填满整个极坐标平面，再改为空间直角坐标，将完整的F转化为
Fu,v表示，就等同于得到衰减系数」x,y分布的二维傅里叶变换，再由二维傅里叶反变换即可得重建原图像的吸收系数分布函数，有：
f（x,y）=JJF（u,v）ej2血严4vybudv（7.29）
以上即CT图像重建的二维傅里叶变换法，其信号处理过程如图7-110
图7-11二维傅立叶变换法重建的信号处理过程
二维傅里叶变换法按照CT数理原理和中心切片理论进行重建，算法严谨，重建结果较准确。
但需要进行正、反两次傅里叶变换，计算量大，要耗费较长时间，不利于快速扫描成像；在极坐标形式的数据转换为直角坐标形式表示时，需
要进行插值，这也增大了运算量。
现代CT追求更快的扫描速度和重建速度，傅里叶算法已不适应这一要求，所以逐渐不再被使用。
但它仍是理解CT图像重建
最直观的算法之一。
四、反投影法
反投影法包括基本反投影法、滤波反投影法（Filteringbackprojection,FBP）、卷积反投影法等，应用比较普遍的是滤波反投影法。
1、基本反投影法：
反投影法的基本原理是将投影数值P按其原扫描路径反方向投影，将值平均地分配到每一个体素中，各个投影在影像处进行叠加，从而推断出原图像。
设被测人体断面上器官或组织的吸收系数分布为1x,y,X线束扫描时在某
B角度方向的投影表示为：
则在B角度的反投影可表示为：
b^（x,y）=J卩护,8©（xcos日+ysin日-RpR（7.30）
式中的b^x,y是由Rj沿反方向进行反投影所产生的吸收系数，》函
数起筛选角度作用。
将上式全部角度上的反投影值相加，即对应B从0变化到
n所有反投影值加在一起，可得到图像重建的吸收系数分布为：
Ji肛说
4b（x,y）=Jb日（x,y门日=Jd日〕p/R,日©（xcos日+ysin日-RJdR（7.31）
00
重建图像后组织的吸收系数Jbx,y与实际的吸收系数丄：
；：
x,y不完全相同，会形成伪影，需要进行滤波。
滤波后达到与实际物体一定的近似程度，可以认为得到重建图像。
反投影法存在着缺点，即只有反投影数量愈多，重建图像才会愈接近于真实断面。
但反投影个数毕竟是有限，这就会造成在图像上呈现出星形伪影，使影像边缘处不清晰，如图7-12。
利用反投影法重建图像时，这种使边缘部分模糊不清的星形伪影必然存在，只能通过滤波的方法来改善，而无法完全消除。
口口
图7-12反投影法重建造成的伪影
2、滤波反投影法：
是对基本反投影法的改进，通过卷积滤波因子的方法修正模糊伪影。
其思路是先在频率域修正每一个投影值，在将投影值转换到空间域
重建，即先修正再反投。
反投影重建图像的吸收系数％x,y可描述为：
1
%（x,y）=^（x,y”—（7.32）
r
式中**表示二维卷积。
反投影的吸收系数》b（x,y）与实际的卩（x,y）之间存在
一个1,1称为模糊因子，是造成图像边缘模糊的主要原因。
rr
消除模糊因子的影响，可以采取对每一投影的傅里叶变换值用加权，
1/|冃是1的傅里叶变换形式，即：
卩（x,y）=/d日严F,P日（只月护黑呻心日"n^P（7.33）
这就是滤波反投影方法，即用投影的一维傅里叶变换［与一维滤波函数門进行有效地滤波，消除1因子的干扰，再经反傅里叶变换、反投影叠加来重建图像。
滤波反投影还可以采用空间域滤波的形式，即在空间域中直接消除模糊因
子。
这种方法也称卷积反投影法，它直接使用一个近似的空间滤波函数，去消除1，而不需要将投影值进行傅立叶变换。
但卷积计算时，绿波函数无法只能做到r
部分消除1，所以滤波函数的选择就决定了图像质量的好坏和伪影的程度。
此外
r
选择滤波函数时还要考虑系统带宽、信噪比等问题，因此不同厂家CT系统中的选用的滤波函数也就不尽相同。
常见的CT滤波函数有CosineHamming、R-L函数和SheppLogan函数等。
滤波反投影算法可以较好的校正普通反投影算法的模糊伪影。
相对于二维傅里叶变换法，滤波反投影法只需做一维傅里叶变换甚至不需要，运算量大大减少，提高了重建速度。
它是目前CT系统常用的图像重建算法之一。
第三节图像三维可视化
随着多排螺旋CT的应用，被检者一次检查获得的可用图像数量得到爆炸性的增长。
一次扫描往往获得几十乃至上百幅断层图像，这就使的使用三维形式显示组织和器官变得可行且必要。
图像三维显示技术可以更好的显示数据和诊断信息，为医生提供逼真的显示手段和定量分析工具，在辅助医生诊断、手术仿真、引导治疗等方面发挥重要作用。
同时三维显示还可以避免医生陷入二维图像的数据“海洋”，防止过多浏览断层图像而造成漏诊率上升。
图像三维可视化也称三维重建，是指通过对获得的数据或二维图像信息进行
处理，生成物体的三维结构，并按照人的视觉习惯进行不同效果的显示。
在医学
成像及医学图像处理中，图像三维可视化基于医学成像设备获得的大量二维断层图像，如C
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