高二数学《平均变化率》学案.docx
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高二数学《平均变化率》学案
高二数学《平均变化率》学案
1、通过对实例分析,理解平均变化率的实际意义与数学意义；
2、掌握平均变化率在实际生活中的运用以及在函数中的运用;
3、理解平均变化率的意义,初步了解“以直代曲”的数学思想,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景、教学重点平均变化率的实际意义与数学意义教学难点
1、平均变化率的实际意义与数学意义;
2、了解“以直代曲”的数学思想,为后续学习打好基础、教学过程
一、创设情境[情境一]根据条件,观看乐园过山车的视频录像,让学生谈谈乘过山车的亲身体会师生互动:
①乘过山车时,什么情形下会感到刺激、惊险？
②乘坐时,又在什么情形下不会感到害怕？
分析：
在陡峭的轨道上过山车运动的速度变化快,在平缓的轨道上过山车运动的速度变化慢、[情境二]某市2004年4月20日最高气温为,而此前的两天,4月19日和4月18日最高气温分别为和,短短两天时间,气温“陡增”,闷热中的人们无不感叹：
“天气热得太快了！
”但是,如果我们将该市2004年3月18日最高气温与4月18日最高气温进行比较,我们发现两者温差为,甚至超过了、而人们却不会发出上述感叹、分析:
如何量化陡峭的程度?
二、新课讲授平均变化率的概念及几何意义
1、平均变化率一般地,函数f（x）在区间上的平均变化率为、2、学生活动
（1）连结AB,计算气温在区间[1,32]上的平均变化率为
（2）结合对气温曲线图的数与形分析,比较区间[1,32]上的平均变化率0、5和[32,34]上的平均变化率
7、4,感知平均变化率量化曲线的陡峭程度、3、平均变化率几何意义77
三、例题讲解例
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图（见课本图3-1-2）所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率、例
2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙（如图见课本图3-1-3所示）,后容器甲中水的体积（单位）,计算第一个内的平均变化率、例
3、已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
（1）
[1,3];
（2）
[1,2];（3）
[1,
1、1];（4）
[1,
1、001]、例
4、已知函数分别计算在区间上及的平均变化率、
四、巩固练习
1、课本练习
2、求函数在区间上的平均变化率并指出几何意义、3、已知函数在区间上的平均变化率为,求函数在区间上的平均变化率、
五、课堂小结
1、一般地,函数f（x）在区间上的平均变化率为
2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”、3、平均变化率的几何意义、78学生作业班级学号姓名
1、函数的图象如图所示,在图中作线段表示：
（1）；
（2）；（3）；（4）、2、已知函数的图象上一点及邻近的一点,则等于、3、如果质点按规律运动,则在一小段时间中的平均速度是、4、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度（单位:
）与起跳的时间（单位:
）的函数关系式则正确的有、
（1）
（2）（3）（4）运动员在这段时间内处于静止状态、5、若函数在区间上的平均变化率为3,则等于、6、函数在上的平均变化率为,在上的平均变化率为,则大小关系为、
7、已知在家庭装修完工后的天内,甲醛的剩余量（单位:
）为,设在区间上的平均变化率为,则一定是、
（1）递减等差数列
（2）递减等比数列（3）递增等差数列（4）递增等比数列
8、函数在的平均变化率为、7
99、一种粮食的价格（单位:
元/千克）与时间（单位:
年）的函数关系式,则（填写“>”,“<”,“=”）、
10、已知自由落体运动的方程为、求:
（1）
落体在到这段时间内的平均速度;
（2）
落体在到这段时间的平均速度、
11、蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为其中为体温（单位：
℃）,t为太阳落山后的时间（单位：
min）、
（1）从t=0到t=10min,蜥蜴的体温下降了多少？
（2）从t=0到t=10min,蜥蜴的体温的平均变化率是多少？
8021课时
3、1、2瞬时变化率导数
（1）教学目标
1、了解曲线的切线的概念,会求一具体曲线在一点处的切线的斜率与切线方程;
2、了解平均速度、瞬时速度与瞬时加速度的概念,会求某一时刻的瞬时速度与瞬时加速度、教学重点
1、理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义;
2、正确理解瞬时速度与瞬时加速度的概念、教学难点
1、割线逼近切线的思想方法;
2、光滑曲线的切线斜率、瞬时速度是导数概念的实际背景、教学过程
一、问题情境
（1）将曲线上一点附近的曲线放大再放大,想象会有什么结果？
（2）光线射到曲线上一点,如何反射？
（3）圆与圆锥曲线的切线定义:
与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线
二、讲解新课：
１、曲线的割线与切线如图,设曲线是函数的图象,点是曲线上一点作割线PQ当点Q沿着曲线无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线在点P处的切线
2、确定曲线在点处的切线斜率的方法设割线PQ的倾斜角为,切线PT的倾斜角为,既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线,所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=
3、瞬时速度与瞬时加速度81
三、讲解例题例1曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P（1,2）处的切线的斜率,以及切线的方程、解：
k=∴切线的斜率为2,切线的方程为y=2x、例
2、质点M按规律作直线运动、若质点M在时的瞬时速度为,求常数的值、例
3、设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设时的速度为、求时轿车的加速度、
四、巩固练习
1、课本练习、
2、求曲线f（x）=x3+2x+1在点（1,4）处的切线方程、
五、课堂小结82学生作业班级学号姓名
1、已知则曲线在点处的切线斜率等于、2、若质点的运动方程为（位移单位:
时间单位:
）则当时,质点的平均速度为、3、曲线在点处的切线方程是、4、曲线在点处的切线方程是、5、已知曲线在点处的切线过点则切点的坐标是、6、一物体运动方程为,则物体运动的初速度为、7、质点按运动,则在一小段时间[2,
2、1]中的平均速度是、8、质点按运动,则在时的瞬时速度为、9、已知曲线:
在点处的切线斜率是,那么曲线在点处的切线方程是、
10、求曲线上一点处的切线的倾斜角、83
11、一架航天飞机在发射后的一段时间内,上升的高度（单位:
）与时间（单位:
）的函数关系式为、
（1）h（0）、h
（1）分别表示什么?
（2）求第1s内的平均速度、（3）求第1s末的瞬时速度、（4）经过多少时间航天飞机的速度达到75m／s?
12、在抛物线上哪一点处的切线平行于直线哪一点处切线垂直于这条直线?
8422课时
3、1、2瞬时变化率导数
（2）教学目标
1、使学生在了解割线逼近切线与瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率,建立导数的概念;
2、掌握用导数的定义求函数导数的一般方法、教学重点运用割线逼近切线的思想与瞬时速度抽象出瞬时变化率,在此基础上建立导数的概念;教学难点导数的概念的建立;教学过程
一、复习回顾平均变化率、曲线上一点处的切线斜率、瞬时速度与瞬时加速度
二、课前检测
1、函数的图象在点处切线的方程为、2、已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比例、若车轮启动后转动第一圈所用的时间为,则转动开始后的第角速度为、3、在高台跳水运动中,时运动员相对于水面的高度是,则运动员在的瞬时速度、瞬时加速度分别是、、
三、讲授新课瞬时变化率导数的概念
（1）
函数在某点处的可导
（2）函数在某点处的导数（3）函数在某区间上的导数（4）导数的物理意义与几何意义85
三、例题讲解例
1、已知函数、
（1）求在处的导数；
（2）求在处的导数、例
2、已知函数、分别是奇函数、偶函数,且函数在处的导数为,求的图象在的切线的倾斜角、例
3、求函数在处的导数,并求、例
4、（边际函数问题）设成本函数为每天生产的产品数、
（1）若每天生产产品数有1000件改为1001件,成本的绝对增加值是多少?
（2）处的边际成本是多少?
、
四、课堂小结86学生作业班级学号姓名
1、已知,则的值为、2、已知函数在点处的切线方程为则等于、3、一质点从坐标原点出发沿轴运动,若距原点的距离为时,时间为,且、满足则当时,质点的平均速度为,当时,质点的瞬时速度为,当,质点的平均加速度为,当时,质点的瞬时加速度为、4、一质点的运动方程是的单位:
的单位:
）,且在时的速度为3,则在时质点的速度为、5、若函数的图象在点处的切线方程为则等于、6、若函数,则、7、已知函数,求与、8
78、求曲线在点处的切线斜率,并写出直线方程、9、当无限趋近于时,,无限趋近于多少?
呢?
10、生产某塑料管的利润函数为,其中为工厂每月生产该塑料管的根数,利润的单位为元、
（1）求边际利润函数
（2）求使的值;（3）解释
（2）中的值的实际意义、8823课时
3、2、1常见函数的导数教学目标
1、能根据定义求简单函数的导数,加深对导数概念的理解,体会算法思想;
2、能利用导数公式表求简单函数的导数;
3、体会建立数学理论的过程,感受学习数学的方法,发展思维能力、教学重点能利用导数公式求简单函数的导数教学难点体会数学理论的建立过程,感受学习与研究的数学的一般方法,发展思维能力、教学过程
一、复习回顾导数的概念及求导数的步骤（可用流程图表示）
二、新课讲授根据流程图求下列函数的导数：
1、
2、
3、
4、结论简单函数求导公式12（C为常数）345由公式3,4,5推出（为常数）、5、基本初等函数求导公式（见书本69-70页）只要求记结论,推导过程不作要求、89
三、讲解例题例
1、利用定义求下列函数的导数、
（1）
（2）例
2、已知,求、
四、巩固练习1、用定义求导数、
（1）
（2）
2、已知,求的值、3、处理课本练习、
五、课堂小结90学生作业班级学号姓名
1、曲线在处切线的斜率为、2、曲线在处的导数为,则等于、3、函数的导函数等于、4、函数在处的导数等于、5、函数在处的导数为、6、若函数,则=、7、函数的导函数=、8、函数在处的导数、9、函数在处的导数、
10、函数的导函数=、
11、曲线在处的切线斜率为,则、
12、求曲线在点处的切线方程、91
13、利用公式求下列函数的导数、
（1）
（2）
（3）
（4）
14、求曲线在处的切线方程、9224课时
3、2、2函数的和、差、积、商的导数教学目标
1、进一步掌握常见函数的求导公式;
2、能利用导数公式表及四则运算法则求简单函数的导数;
3、体会数学理论的建立过程,感受数学学习和研究的方法,发展思维能力、教学重点利用导数公式表及四则运算法则求简单函数的导数教学难点体会数学理论的建立过程,发展思维能力、教学过程
一、复习回顾
1、函数的求导公式;
2、已知、,怎样求?
二、新课讲授
1、新课导入利用求导定义求的导数、
2、结论:
即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和、类似地,也可以得到函数的差、积、商的求导法则（推导过程不要求掌握）、3、导数的四则运算法则93
三、讲解例题例
1、求下列函数的导数、
（1）、
（2）例
2、求下列函数的导数:
（1）
（2）
四、巩固练习课本练习
五、课堂小结;94学生作业班级学号姓名
1、求下列函数的导数:
（1）
（2）;（3）
（4）、（5）；（6）
3、求曲线在处的切线方程、4、已知函数
（1）求,使
（2）解释
（1）中及的意义、9
55、设求及
（1）
（2）
6、质点的运动方程是
（1）求时的速度;
（2）求质点运动的加速度、7、火车开出车站一段时间内,速度与行驶时间之间的关系是
（1）求火车运动的加速度；
（2）第几秒钟时加速度为（3）时,火车开过的路程是多少？
附加题、设曲线,直线及围成的封闭图形的面积为,求、96
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