考研数学一真题与解析.docx
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考研数学一真题与解析
2015年考研数学一真题
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数f（x）在（,）上连续，其二阶导数f（x）的图形如右
图所示，则曲线yf（x）在（,）的拐点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导
数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x0．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两
侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）
2．设y1e2x（x1）ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，则
23
（A）a3,b2,c1（B）a3,b2,c1
（C）a3,b2,c1（D）a3,b2,c1
【详解】线性微分方程的特征方程为r2arb0，由特解可知r12一定是特征方程的一个实根．如
果r21不是特征方程的实根，则对应于f（x）cex的特解的形式应该为Q（x）ex，其中Q（x）应该是一
个零次多项式，即常数，与条件不符，所以r21也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
a（21）3,b212，同时y*xex是原来方程的一个解，代入可得c1应该选（A）
３．若级数
an条件收敛，则x
3,x3依次为级数
nan（x1）n的
n1
n1
（Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点
（Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点
【详解】注意条件级数
an条件收敛等价于幂级数
anxn
在x
1处条件收敛，也就是这个幂级数的
n1
n
1
收敛为1，即lim
an1
1，所以
nan（x
1）n的收敛半径
R
lim
nan
1，绝对收敛域为
n
an
n1
n
（n
1）an1
（0,2），显然x
3,x
3
依次为收敛点、发散点，应该选（
B）
４．设D是第一象限中由曲线
2xy
1,4xy
1与直线y
x,y
3x所围成的平面区域，函数f（x,y）在
1
D上连续，则
f（x,y）dxdy（
）
D
1
（Ａ）
3
d
sin2
1
4
2sin2
1
（Ｃ）
3
d
sin2
1
4
2sin2
1
f（rcos
rsin
）rdr（Ｂ）
3d
sin2
f（rcos
rsin
）rdr
1
4
2sin2
1
f（rcos
rsin
）dr（Ｄ）
3
d
sin2
f（rcos
rsin
）dr
1
4
2sin2
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
2xy
1
2r2
sin
cos
1
r2
1
r
1
2
sin2
sin
4xy
1
4r2
sin
cos
1
r2
1
r
1
2sin2
2sin2
也就是D：
4
1
3
1
r
2sin
sin
1
所以f（x,y）dxdy
3
d
sin2
f（rcos,rsin
）rdr，所以应该选（B）．
1
D
4
2sin2
1
1
1
1
5．设矩阵A
1
2
a,b
d
，若集合
1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要
1
4
a2
d2
条件是
（A）a
d
（B）a
d
（C）a
d
（D）a
d
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B（A,b）12
ad
0
1a1d1
0
1
a1
d1
14
a2
d2
0
3a2
1d2
1
0
0
（a1）（a2）（d1）（d2）
方程组无穷解的充分必要条件是
r（A）
r（A,b）
3，也就是（a1）（a
2）
0,（d1）（d
2）
0同时成
立，当然应该选（
D）．
6．设二次型f（x1,x2,x3）在正交变换
x
Py下的标准形为
2y12
y22
y32
，其中P
e,e,e，若
1
2
3
Qe1,e3,e2
，则f（x1,x2,x3）在x
Qy下的标准形为
（A）2y12
y22
y32
（B）2y12
y22
y32
2
（C）2y12
y22
y32
（D）2y12
y22
y32
1
0
0
1
0
0
1
0
0
【详解】Q
e1,e3,e2
e1,e2,e3
0
0
1
P00
1，QT
00
1PT
0
1
0
0
1
0
0
1
0
2
fxTAx
yTPAPy
yT
1
yT
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
1
0
0
2
所以QTAQ
001PTAP00
1
001
1
00
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
故选择（A）．
7．若A,B为任意两个随机事件，则（
）
（A）P（AB）P（A）P（B）
（B）P（AB）P（A）P（B）
（C）P（AB）
P（A）P（B）
（D）P（AB）
P（A）P（B）
2
2
【详解】P（A）
P（A）P（B）
P（AB）,P（B）P（AB）,所以P（AB）
2
故选择（C）．
8．设随机变量X,Y不相关，且EX
2,EY1,DX
3，则E（X（X
Y2））
（
）
（A）3
（B）3
（C）
5
（D）5
【详解】E（X（X
Y2））
E（X2）
E（XY）
2EX
DX（EX）2
EXEY
2EX
5
故应该选择（D）．
二、填空题（本题共
6小题，每小题
4分，满分
24分.把答案填在题中横线上）
ln（cosx）
9．lim
x
2
x0
【详解】lim
ln（cosx）
tanx
1
2
lim
．
x
0
x
x
0
2x
2
10．
2
sinx
xdx
．
21
cosx
【详解】只要注意
sinx
为奇函数，在对称区间上积分为零，
1cosx
3
sinx
2
所以2
x
dx
2
2xdx
.
1
cosx
4
2
0
11．若函数z
z（x,y）是由方程ez
xyz
x
cosx
2确定，则dz|（0,1）
．
【详解】设F（x,y,z）
ez
xyz
x
cosx
2，则
Fx（x,y,z）
yz1
sinx,Fy
（x,y,z）
xz,Fz
（x,y,z）
ez
xy
且当x
0,y
1时，z
0，所以
z
Fx
（0,1,0）
z
Fy
（0,1,0）
x|（0,1）
Fz
（0,1,0）
1,
y|（0,1）
Fz
（0,1,0）
0,
也就得到dz|（0,1）
dx.
12．设
是由平面x
y
z
1和三个坐标面围成的空间区域，则
（x
2y
3z）dxdydz
．
【详解】注意在积分区域内，三个变量
x,y,z具有轮换对称性，也就是
xdxdydz
ydxdydz
zdxdydz
（x
2y
3z）dxdydz
6
zdxdydz
1
zdz
dxdy
1
z）2dz
1
6
3z（1
0
Dz
0
4
2
0
L
0
2
1
2
L
0
2
13．n阶行列式
MO
O
M
M
．
0
0
L
2
2
0
0
L
1
2
【详解】按照第一行展开，得
Dn
2Dn1
（
1）n
12（
1）n1
2Dn1
2
，有Dn
2
2（Dn
1
2）
由于D
2,D
2
6，得Dn
2n1（D1
2）22n1
2．
1
14．设二维随机变量
（X,Y）服从正态分布
N（1,0;1,1;0），则P
XY
Y
0
．
【详解】由于相关系数等于零，所以
X，Y都服从正态分布，
X
~N（1,1）,Y~N（0,1），且相互独立．
则X1~N（0,1）．
PXYY0
PY（X1）0
PY0,X10PY0,X10
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
三、解答题
15．（本题满分10分）设函数
f（x）
x
aln（1
x）
bxsinx，g（x）
kx3在x
0时为等价无穷小，
4
求常数a,b,k的取值．
【详解】当x
0时，把函数
f（x）x
aln（1x）
bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得
f（x）xa（x
x2
x3
o（x3））bx（x
1x3
o（x3））
2
3
6
（1a）x（
a
b）x2
（a）x3
o（x3）
2
3
1a0
a
由于当x0时，f（x）,g（x）是等价无穷小，则有b0，
2
a
k
3
解得，a
1,b
1
1
.
2
k
3
16．（本题满分10分）
设函数y
f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的
x0
I，曲线y
f（x）在点（x0,f（x0））处的
切线与直线x
x0及x轴所围成区域的面积恒为
4，且f（0）
2，求f（x）的表达式．
【详解】y
f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程为
y
f（x0）（x
x0）
f（x0）
令y0
，得x
x0
f（x0）
f（x0）
曲线y
f（x）在点（x0,
f（x0））处的切线与直线x
x0及x轴所围成区域的面积为
S
1
f（x0）（x0
（x0
f（x0））4
2
f
（x0）
整理，得y
1
y2，解方程，得
1
C
1
x，由于
f（0）
2，得C
1
8
y
8
2
所求曲线方程为
y
8
.
4
x
17．（本题满分10分）
设函数f（x,y）
xy
xy，曲线C:
x2
y2
xy
3，求f（x,y）在曲线C上的最大方向导数．
5
【详解】显然
f
1y,f
1x．
x
y
f
f
f（x,y）xyxy在（x,y）处的梯度gradf
1y,1x
x
y
f（x,y）在（x,y）处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模
gradf
（1
y）2
（1
x）2
所以此题转化为求函数
F（x,y）
（1
x）2
（1
y）2在条件C:
x2
y2
xy
3下的条件极值．用拉格朗
日乘子法求解如下：
令L（x,y,）（1x）2
（1y）2
（x2
y2
xy3）
Fx
2（1
x）
2x
y
0
解方程组
Fy
2（1
y）
2y
x
0，得几个可能的极值点
1,1,（
1,
1）,（2,1）,（1,2），
x2
y2
xy
3
进行比较，可得，在点x2,y1或x1,y2处，方向导数取到最大，为93.
18．（本题满分10分）
（1）设函数u（x）,v（x）都可导，利用导数定义证明（u（x）v（x））u（x）v（x）u（x）v（x）；
（2）设函数u1（x）,u2（x）,L,un（x）都可导，f（x）u1（x）u2（x）Lun（x），写出f（x）的求导公式．
【详解】
（1）证明：
设y
u（x）v（x）
y
u（xx）v（x
x）u（x）v（x）
u（x
x）v（xx）u（x）v（xx）u（x）v（xx）u（x）v（x）
uv（xx）u（x）v
y
uv（x
x）u（x）u
x
x
x
由导数的定义和可导与连续的关系
y'lim
y
lim[
uv（x
x）u（x）u]u'（x）v（x）u（x）v'（x）
x
0
x
x0
x
x
（2）f（x）u1（x）u2（x）Lun（x）
6
f（x）u1（x）u1（x）u2（x）Lun（x）u1（x）u2（x）Lun（x）L
u1（x）u2（x）Lun（x）
19．（本题满分10分）
已知曲线
L
的方程为
z
2
x2
y2
，起点为
A（0,2,0），终点为B（0,
2,0）
，计算曲线积分
z
x
（yz）dx（z2
x2
y）dy（x2
y2）dz．
L
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