高等数学下考试题库附答案1.docx
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高等数学下考试题库附答案1
《高等数学》试卷1（下）
一.选择题（3分
10）
1.点M1
2,3,1
到点M22,7,4
的距离M1M2
（
）.
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量a
i
2j
k,b
2i
j，则有（
）.
A.a∥b
B.a⊥b
C.a,b
3
D.a,b
4
3.函数y
2
x2
y2
1
的定义域是（
）.
x2
y2
1
A.
x,y1x2
y2
2
B.
x,y1x2
y2
2
C.x,y1x2
y2
2
Dx,y1x2
y2
2
4.两个向量a与b垂直的充要条件是（
）.
A.ab0B.a
b0
C.ab0D.ab0
5.函数z
x3
y3
3xy的极小值是（
）.
A.2
B.
2
C.1
D.
1
6.设z
xsiny，则
z
＝（
）.
y1,
4
A.
2
B.
2
C.
2
D.
2
2
2
7.若p级数
1
收敛，则（
）.
n1np
A.p1
B.p
1
C.p
1
D.p
1
8.幂级数
xn
的收敛域为（
）.
n1n
A.
1,1
B
1,1
C.
1,1
D.
1,1
x
n
9.幂级数
在收敛域内的和函数是（
）.
n02
A.
1
B.
2
C.
2
D.
1
x
x
x
x
1
2
1
2
10.
微分方程xy
ylny
0的通解为（
）.
A.
y
cex
B.y
ex
C.y
cxex
D.y
ecx
二.填空题（4分5）
1.一平面过点A0,0,3
且垂直于直线
AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.
2.函数zsinxy的全微分是______________________________.
3.设z
x3y2
3xy3
xy1，则
2z
_____________________________.
xy
1
的麦克劳林级数是___________________________.
4.
2
x
5.微分方程y
4y
4y0的通解为_________________________________.
三.计算题（5分6）
1.设zeusinv，而uxy,vxy，求z,z.
xy
2.已知隐函数z
zx,y
由方程x2
2y2
z2
4x
2z
50确定，求
z,
z.
x
y
3.计算sinx2
y2d
，其中D:
2
x2
y2
4
2
.
D
4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（
R为半径）.
5.求微分方程y3ye2x在yx00条件下的特解.
四.应用题（10分2）
1.要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？
1
2..曲线yfx上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点1,，
3
求此曲线方程
.
试卷1参考答案
一.选择题CBCADACCBD
二.填空题
1.2xy2z60.
2.cosxy
ydx
xdy.
3.
6x2y
9y2
1
.
4.
1n
x
n
.
n
1
n0
2
5.yC1
C2xe2x
.
三.计算题
1.
z
exy
ysinx
y
cosxy，
z
exyxsinxycosxy.
x
y
2.
z
2
x,
z
2y
.
x
z
1
y
z
1
2
2
sin
d
62.
3.
d
0
4.16R3.
3
5.ye3xe2x.
四.应用题
1.长、宽、高均为32m时，用料最省.
2.y
1x2.
3
《高数》试卷2（下）
一.选择题（3分10）
1.点M14,3,1
，M2
7,1,2的距离M1M2
（
）.
A.12
B.13
C.14
D.15
2.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.
A.
B.
C.
3
D.
6
4
2
3.函数z
arcsinx2
y2
的定义域为（
）.
A.
x,y0x2
y2
1
B.
x,y0x2
y2
1
C.x,y0x2
y2
D.x,y0x2
y2
2
2
4.点P
1,
2,1到平面x
2y
2z
5
0的距离为（
）.
A.3
B.4
C.5
D.6
5.函数z
2xy
3x2
2y2的极大值为（
）.
A.0
B.1
C.
1
1
D.
2
6.设z
x2
3xyy2，则
z
1,2
（
）.
x
A.6
B.7
C.8
D.9
7.若几何级数
arn
是收敛的，则（
）.
n0
A.r
1
B.r
1
C.r
1
D.r
1
8.幂级数
n
1xn的收敛域为（
）.
n
0
A.
1,1
B.
1,1
C.
1,1
D.
1,1
9.级数
sinna
是（
）.
n1
n4
A.条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.不能确定
10.微分方程xy
ylny
0
的通解为（
）.
A.y
ecx
B.
ycex
C.y
ex
D.ycxex
二.填空题（4分
5）
x
3
t
1.直线l过点A2,2,
1且与直线
y
t
平行，则直线l
的方程为__________________________.
z
1
2t
2.函数z
exy的全微分为___________________________.
3.曲面z
2x2
4y2在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.
1
的麦克劳林级数是______________________.
4.
1x2
5.微分方程xdy
3ydx
0在yx11
条件下的特解为______________________________.
三.计算题（5分
6）
1.设ai
2j
k,b2j3k，求ab.
2.设z
u2v
uv2
，而u
xcosy,v
xsiny，求
z,
z.
x
y
3.已知隐函数z
zx,y
由x3
3xyz
2确定，求
z,
z.
x
y
4.如图，求球面
x2
y2
z2
4a2与圆柱面x2
y2
2ax（a
0）所围的几何体的体积.
5.求微分方程y3y2y0的通解.
四.应用题（10分2）
1.试用二重积分计算由
yx,y2x和x
4所围图形的面积.
2.
如图，以初速度
v0
将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律
x
xt.
d2x
g.
（提示：
当t0
dt2
时，有xx0，
dx
v0）
dt
试卷2参考答案
一.选择题CBABACCDBA.
二.填空题
x2y2z1
1..
112
2.exyydxxdy.
3.8x8yz4.
4.1nx2n.
n0
5.yx3.
三.计算题
1.8i
3j
2k.
2.
z
3x2sinycosycosysiny,
z
2x3sinycosysinycosyx3sin3ycos3y.
x
y
z
yz
z
xz
3.
x
xyz2,
y
xyz2.
4.
32a3
2
.
323
5.yC1e2xC2ex.
四.应用题
16
1..
3
1gt2
2.x
v0tx0.
2
《高等数学》试卷3（下）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1、二阶行列式2-3的值为（）
45
A、10
B、20
C、24
D、22
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k
，则a与b的向量积为（
）
A、i-j+2k
B、8i-j+2k
C、8i-3j+2k
D、8i-3i+k
3、点P（-1、-2、1）到平面
x+2y-2z-5=0的距离为（
）
A、2
B、3
C、4
D、5
4、函数z=xsiny在点（1，
）处的两个偏导数分别为（
）
4
A、
2,
2,B、
2,
2
C、
2
2
2
2
5、设x2+y2+z2=2Rx，则
z,
z分别为（
）
x
y
2
2
D、
2
2,
2
2
2
2
A、xR,
y
B、
xR,
y
C、
xR,y
D、xR,y
z
z
z
z
z
z
z
z
6、设圆心在原点，半径为
R，面密度为
x2
y2的薄板的质量为（
）（面积A=
R2）
2
B、
2
2
1
2
A、RA
2RA
C、3RA
D、
RA
2
7、级数
（
1）
nxn
）
n
的收敛半径为（
n1
A、2
B、
1
C、1
D、3
2
8、cosx的麦克劳林级数为（
）
A、
（1）
n
x2n
B、
（1）
nx2n
C、
（1）
nx2n
D、
（1）
nx2n1
（2n）!
（2n）!
（2n）!
（2n1）!
n
0
n
1
n0
n0
9、微分方程（y``）4+（y`）5+y`+2=0的阶数是（）
A、一阶
B、二阶
C、三阶
D、四阶
10、微分方程y``+3y`+2y=0
的特征根为（
）
A、-2，-1
B、2，1
C、-2，1
D、1，-2
二、填空题（本题共
5小题，每题
4分，共20分）
1、直线L1
：
x=y=z与直线L：
x
1
y
3
z的夹角为
___________。
2
2
1
直线L3：
x1
y2
z与平面3x2y
6z0之间的夹角为____________。
2
1
2
2、（0.98）2.03的近似值为________,sin100
的近似值为___________。
3、二重积分
d,D:
x2
y2
1的值为___________。
D
4、幂级数
n
xn
n!
x的收敛半径为__________，
的收敛半径为__________。
n
0
n0n!
5、微分方程y`=xy的一般解为___________，微分方程xy`+y=y
2的解为___________。
三、计算题（本题共
6小题，每小题
5分，共30分）
1、用行列式解方程组
-3x+2y-8z=17
2x-5y+3z=3
x+7y-5z=2
2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.
3、计算
xyd
，其中D由直线y
1,x
2及y
x围成.
D
4、问级数
（1）
n
sin
1收敛吗
若收敛
，
则是条件收敛还是绝对
收敛
？
n
？
n1
5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数
6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解
四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。
2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫
做衰变。
由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）
已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。
参考答案
一、选择题
1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B
10,A
二、填空题
1、arcos
2,arcsin8
2、0.96，0.17365
18
21
3、л
4
、0，+
x2
1
5、y
ce2
cx
1
y
三、计算题
1、
-32-8
解：
△=2-5
3
=
（-3）×-53
-2
×2
3+（-8）2-5=-138
1
7
-5
7
-5
1
-5
172-8
△x=
3-53=17
×-53-2
×33+
（-8）×3-5=-138
2
7-5
7-5
2-5
27
同理：
-3
17-8
△y=
233=276,
△z=414
1
2-5
所以，方程组的解为x
x
1,y
y
2,z
z
3
2、解：
因为x=t,y=t2,z=t3,
所以xt=1,yt=2t,z
t=3t2，
所以xt|t=1=1,yt|t=1=2,z
t|t=1=3
故切线方程为：
x1
y1
z1
1
2
3
法平面方程为：
（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0
即x+2y+3z=6
3、解：
因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，
所以
D：
1≤y≤2
y≤x≤2
2
2
2
3
xyd
（2y
y）dy
11
故：
[
y
xydx]dy
1
D
1
2
8
4、解：
这是交错级数，因为
Vn
sin
1
0，
所以
，Vn1Vn,
且
1
，所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。
n
limsin
0
n
1
sin1
1
发散，从而
1
发散。
当x趋于时
，
x
x
，
，
n
，又级数
sin
又
所以
n1
5
sin
sin
~
lim
n
n
n
0
1
1
n
1
n
n1
n
所以，原级数条件收敛
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