普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题 文科解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题文科解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一.选择题：
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A={1,3,5,7},B={x2x5},则AB=（）
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
【答案】B
考点：
集合的交集运算
【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.
（2）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=（）
（A）－3（B）－2（C）2（D）3
【答案】A
【解析】
试题分析：
（1+2i）（a+i）=a-2+（1+2a）i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,故选A.
考点：
复数的概念及复数的乘法运算
【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：
复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类
问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i2=-1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.
（3）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2
种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）
【答案】C
1
（A）
3
1
（B）
2
2
（C）
3
5
（D）
6
考点：
古典概型
【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.
（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cosA=2,则b=（）
3
（A）
【答案】D
【解析】
（B）
（C）2（D）3
试题分析：
由余弦定理得5=b2+4-2⨯b⨯2⨯2,解得b=3（b=-1舍去）,故选D.
33
考点：
余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的1,则该椭
4
圆的离心率为（）
（A）1
3
（B）1
2
（C）2
3
（D）3
4
【答案】B
【解析】
试题分析：
如图,由题意得在椭圆中,OF=c,OB=b,OD=1⨯2b=1b
42
在Rt∆OFB中,|OF|⨯|OB|=|BF|⨯|OD|,且a2=b2+c2,代入解得
a2=4c2,所以椭圆得离心率得e=1,故选B.
2
x
考点：
椭圆的几何性质
【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e.
（6）若将函数
π的图像向右平移1个周期后,所得图像对应的函数为（）
y=2sin（2x+）
64
（A）
π（B）
π（C）
π（D）π
y=2sin（2x+）
4
y=2sin（2x+）
3
y=2sin（2x–）
4
y=2sin（2x–）
3
【答案】D
考点：
三角函数图像的平移
【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.
（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是（）
3
（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π
【答案】A
【解析】
考点：
三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.
（8）若a>b>0,0（A）logaccb
【答案】B
【解析】
试题分析：
由0b>0,所以logca本题也可以用特殊值代入验证.
考点：
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
（9）函数y=2x2-ex在[-2,2]的图像大致为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
考点：
函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
（10）执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足（）
（A）y=2x
（B）
y=3x
（C）
y=4x
（D）
y=5x
【答案】C
【解析】
试题分析：
第一次循环：
x=0,y=1,n=2,
第二次循环：
x=1,y=2,n=3,
2
第三次循环：
x=3,y=6,n=3,此时满足条件x2+y2≥36,循环结束,x=3,y=6,满足
22
y=4x．故选C
考点：
程序框图与算法案例
【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果.
（11）平面α过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点Aα//平面CB1D1,α平面ABCD=m
α平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为（）
（A）
2
【答案】A
（B）
2
（C）
3
（D）1
3
考点：
平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：
平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
（12）若函数f（x）=x-1sin2x+asinx在（-∞,+∞）单调递增,则a的取值范围是（）
3
（A）[-1,1]
（B）⎡-1,1⎤
（C）⎡-1,1⎤
（D）⎡-1,-1⎤
【答案】C
⎣⎢3⎥⎦
⎣⎢33⎥⎦
⎣⎢3⎥⎦
考点：
三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
（22）题~第（24）题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共3小题,每小题5分
（13）设向量a=（x,x+1）,b=（1,2）,且a⊥b,则x=.
【答案】-2
3
【解析】
试题分析：
由题意,
a⋅b=0,x+2（x+1）=0,∴x=-2.
3
考点：
向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆
公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：
若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则
a⋅b=x1y1+x2y2.
（14）已知θ是第四象限角,且sin（θ+π
4
【答案】-4
3
）=3
5
则tan（θ–π
4
）=.
【解析】
试题分析：
由题意sin⎛θ+π⎫=sin⎡⎛θ-π⎫+π⎤=cos⎛θ-π⎫=3,
ç4⎪⎢ç4⎪2⎥ç4⎪5
⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭
因为2kπ+3π<θ<2kπ+2π（k∈Z）,所以2kπ+5π<θ-π<2kπ+7π（k∈Z）,
4
因此tan
4
．故填
4
4
5
4
3
3
2
从而sin
444
．
⎭
考点：
三角变换
【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.
（15）设直线y=x+2a与圆C：
x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,
则圆C的面积为
【答案】4π
考点：
直线与圆
【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、
⎛l⎫2
r2=d2+ç⎪
圆心到弦的距离d之间的关系：
⎝2⎭在求圆的方程时常常用到.
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料
150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
【答案】216000
【解析】
试题分析：
设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么
⎧1.5x+0.5y150,
⎪
⎪x+0.3y90,
⎨5x+3y600,①
x
⎪
⎪0,
⎪⎩y0.
目标函数z=2100x+900y.
⎧10x+3y=900
⎩
取得最大值.解方程组⎨5x+3y=600
得M的坐标（60,100）.
所以当x=60,y=100时,zmax=2100⨯60+900⨯100=216000.
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.考点：
线性规划的应用
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：
纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
三.解答题：
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（17）.（本题满分12分）已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足
b=1，b=1，ab+b=nb,.
123nn+1n+1n
（I）求{an}的通项公式；
（II）求{bn}的前n项和.
【答案】（I）a
=3n-1（II）3-1.
n22⨯3n-1
（II）由（I）和ab+b=nb
得b=bn,因此{b}是首项为1,公比为1的等比数列.
nn+1n+1n
n+13n3
记{bn}的前n项和为Sn,则
1-1n
（3）31
Sn=
1-1
3
=-
22⨯3
n-1.
考点：
等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
（18）.（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P
在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．
4
【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为
3
试题解析：
（I）因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.
所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.
（II）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下：
由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由（I）知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=
2CG.
3
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE//PC,因此
PE=2PG,DE=1PC.
33
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
114
所以四面体PDEF的体积V=⨯⨯2⨯2⨯2=.
323
考点：
线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.
（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有
一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如
果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集
并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19,求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损
零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1
台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
⎧3800,
【答案】（I）y=⎨
x≤19,
（x∈N）（II）19（III）19
⎩500x-5700,x>19,
（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损
零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损
零件上所需费用的平均数为
1
100
（4000⨯90+4500⨯10）=4050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.考点：
函数解析式、概率与统计
【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中,直线l:
y=t（t≠0）交y轴于点M,交抛物线C：
y2=2px（p>0）于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？
说明理由.
【答案】（I）2（II）没有
【解答】
试题分析：
先确定N（t
p
2t2
t）,ON的方程为y=
2t2
px,代入y2
t
=2px整理得px2
|OH|
-
2t
2x=0,
解得x1=0,x2=
得H（
p
2t）,由此可得N为OH的中点,即=2.（II）
p|ON|
把直线MH的方程y-t=
px,与y2=2px联立得y2-4ty+4t2=0,解得y=y
=2t,
2t12
即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：
直线MH的方程为y-t=
px,即x=2t（y-t）.代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得
2tp
y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
考点：
直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：
证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个零点,求a的取值范围.
【答案】见解析（II）（0,+∞）
【解析】
试题分析：
（I）先求得f'（x）=（x-1）（ex+2a）.再根据1,0,2a的大小进行分类确定f（x）的
单调性；（II）借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为（0,+∞）.
试题解析：
（I）f'（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.（i）设a≥0,则当x∈（-∞,1）时,f'（x）<0；当x∈（1,+∞）时,f'（x）>0.所以在（-∞,1）单调递减,在（1,+∞）单调递增.（ii）设a<0,由f'（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.
2
①若a=-e,则f'（x）=（x-1）（ex-e）,所以f（x）在（-∞,+∞）单调递增.
②若a>-e,则ln（-2a）<1,故当x∈（-∞,ln（-2a））（1,+∞）时,f'（x）>0；
2
当x∈（ln（-2a）,1）时,f'（x）<0,所以f（x）在（-∞,ln（-2a））,（1,+∞）单调递增,在
（ln（-2a）,1）单调递减.
③若a<-e,则ln（-2a）>1,故当x∈（-∞,1）（ln（-2a）,+∞）时,f'（x）>0,当
2
x∈（1,ln（-2a））时,f'（x）<0,所以f（x）在（-∞,1）,（ln（-2a）,+∞）单调递增,在
（1,ln（-2a））单调递减.
考点：
函数单调性,导数应用
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：
互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
1
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,
2
（I）证明：
直线AB与O相切；
OA为半径作圆.
（II）点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：
AB∥CD.
【答案】（I）见解析（II）见解析
在Rt∆AOE中,OE=1AO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与⊙O
2
相切．
（Ⅱ）因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心,设O'是A,B,C,D四点
所在圆的圆心,作直线OO'．
由已知
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