河北中考数学教材知识梳理 31 函数及其图象含答案.docx

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河北中考数学教材知识梳理31函数及其图象含答案

第三章　函数及其图象

第一节　函数及其图象

河北8年中考命题规律）

年份

题号

考查点

考查内容

分值

总分

2013

16

函数图象的判断

以梯形边上的动点为背景，判断符合时间与面积关系的函数图象

3

3

2011

11

函数图象的判断

以矩形截取圆柱为背景，判断符合矩形长与宽的函数图象

3

3

2010

9

函数图象的判断

以轮船往返于甲乙两地为背景，判断行驶时间与路程关系的函数图象

2

2

命题

规律

纵观河北8年中考，只有三年考查了函数及其图象的内容，并且以选择题的题型出现，其中与实际问题结合的函数图象考查了1次，分值2分；与几何图形结合的图象考查了2次，其中与动点结合考查1次，与一般的几何图形结合考查了1次，分值3分．

命题预测

预计2017年河北中考，本课时的重点考查对象

为函数图象的

判断，可能会与其他知识结合，特别是与几何图形相结合的图象，题型以选择题为主.

河北8年中考真题及模拟）

　与实际问题结合的函数图象（1次）

1．（2010河北9题2分）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h）

，航行的路程为s（m），则s与t的函数图象大致是（　C　）

A）

B）

C）

D）

　与几何图形结合的函数图象（2次）

2．（2011河北11题3分）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　A　）

A）　　

B）

C）　　

D）

3．（2013河北16题3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD—DC—CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为ts，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是（　A　）

A）

B）

C）

D）

4．（2016河北石家庄四十三中二模）小丽从家开车出发前去观看某比赛活动，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s.下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（　B　）

A）

B）

C）

D）

5．（2016沧州八中一模）某栏目的一名记者乘汽车赴360km外的农

村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　C　）

A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h

B．乡村公路总长为90km

C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h

D．该记者在出发后4.5h到达采访地

6．（2016石家庄二十八中一模）在平面直角坐标系中点P（－a2－1，2），在（　B　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

7．（2015石家庄二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．若设y＝PC2，运动时间为ts，则能反映y与t之间函数关系的图象大致是（　A　）

A）　　　

B）

C）　　　

D）

8．（2016河北石家庄二十八中一模）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为__（2，－3）__．

9．（2016承德一模）函数y＝

＋

中，自变量x的取值范围是__x<1且x≠0__．

10．（2016保定十七中二模）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（m）与时间t（min）的函数图象，则小明回家的速度是__80__m/min.

11．（2016保定十七中二模）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x[如图

（1）]，y关于x的函数图象如图

（2）所示．Q（1，

）是函数图象上的最低点．请仔细观察图

（1），图

（2），解答下列问题：

（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；

（2）求∠B的度数；

（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．

解：

（1）由图

（1）及Q（1，

）是函数图象的最低点，知AH＝

，BH＝1，∴AB＝

＝2；

（2）当点P运动到点H时，此时BH＝1，AH＝

，在Rt△ABH中，AH＝

，BH＝1，tanB＝

，故∠B＝60°；

（3）①当∠APB为钝角时，此时可得0

②如图：

过点A作AP⊥AB，则BP＝

＝4，

由题意，知BC＝6.

即当4

综上，可得0

中考考点清单）

　平面直角坐标系及点的坐标

1．有序实数对：

坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．

【方法技巧】一般地，点P（a，b）到x轴的距离为|b|；到y轴的距离为|a|；到原点的距离为

.

2．平面直角坐标系中点的坐标特征

各象限点的坐标的符号特征

第一象限（＋，＋）；第二象限①__（－，＋）__；第三象限（－，－）；第四象限②__（＋，－）__

坐标轴上点的坐标特征

x轴上的点的纵坐标为③__0__，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为（0，0）

各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的横、纵坐标④__互为相反数__

对称点的坐标特征

点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为⑤__（－a，b）__；点P（a，b）关于原点对称的点的坐标为P′（－a，－b）

平移点的

坐标特征

将点P（x，y）向右或向左平移a个单位，得到对应点的坐标P′是（x＋a，y）或（x－a，y）；将点P（x，y）向上或向下平移b个单位，得到对应点的坐标P′是（x，y＋b）或（x，y－b）；将点P（x，y）向右或向左平移a个单位，再向上或向下平移b个单位，得到对应点P′是⑥__（x＋a，y＋b）或（x－a，y－b）__，简记为：

左减右加，上加下减

　函数的相关概念

3．变量：

在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．

4．常量：

在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．

5．函数：

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．

　函数自变量的取值范围

6.

解析式

取值范围

整式型

取全体实数

分式型，如y＝

分母不为0，即x≠0

根式型，如y＝

被开方数大于等于0，即x≥0

分式＋根式型，

如y＝

同时满足两个条件：

①被开方数大于等于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0

　函数的表示方法及其图象（河北中考10，11，13年考查了本考点）

函数图象的判断近8年共考查3次，题型都为选择题，出题背景有：

（1）与实际问题结合；

（2）与几何图形结合；（3）与几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是”．

7．表示方法：

数值表、图象、解析式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．

8．图象的画法：

知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象．

（1）取值．根据函数的解析式，取自变

量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表；

（2）画点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；

（3）连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．

9．已知函数解析式，判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法：

若点P（x，y）的坐标适合函数解析式，则点P（x，y）在其图象上；若点P（x，y）的坐标不适合函数解析式，则点P（x，y）不在其图象上．

【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法

（1）与实际问题结合：

判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：

①找起点：

结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：

即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：

判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：

即此时另外一个量为0.

（2）与几何图形（含动点）结合：

以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解

题思路为设时间为t，找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．

（3）分析函数图象判断结论正误

分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：

①分段函数要分段讨论；②转折点：

判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：

函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．

中考重难点突破）

　平面直角坐标系中

点的坐标特征

【例1】（2016白银中考）已知点P（0，m）在y轴的负半轴上，则点M（－m，－m＋1）在（　　）

A．第一象限　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【解析】由坐标轴上点的坐标特征确定m的取值范围，再判断点M的坐标符号，从而判断点M在第几象限．

【学生解答】A

1．（2016重庆中考）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（－3，2），则点P所在的象限是（　B　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

　函数自变量的取值范围

【例2】（2016内江中考）在函数y＝

中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x>3B．x≥3

C．x>4D．x≥3且x≠4

【学生解答】D

2．（2016保定二模）函数y＝

＋

中，自变量x的取值范围是__x≥－1且x≠0__．

　函数图象的判断

【例3】（2016营口中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A）

B）

C）

D）

【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE＝

×3＝2.①点P在AD上时，△APE的面积y＝

x·2＝x（0≤x≤3）；②点P在CD上时，S△APE＝S四边形AECD－S△ADP－S△CEP＝

×（2＋3）×2－

×3×（x－3）－

×2×（3＋2－x）＝5－

x＋

－5＋x＝－

x＋

，所以y＝－

x＋

（3＜x≤5）；③点P在CE上时，S△APE＝

×（3＋2＋2－x）×2＝－x＋7，所以y＝－x＋7（5＜x≤7），纵观各选项，只有A选项图形符合．

【学生解答】A

【方法指导】根据动点P的运动路径A→D→C→E可得，在计算△APE的面积时应该分为3种情况，①当P在AD上时；②当P在DC上时；③当P在CE上时，分别计算出即可．要注