数学建模教材18第十八章变分法模型.docx

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数学建模教材18第十八章变分法模型

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制

函数使某个泛函达到极值。

当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。

求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。

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§2生产设备的最大经济效益

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。

一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。

那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

2.1问题分析与假设

（i）设备的转卖价是时间t的函数，记为x（t）。

x（t）的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。

记初始转卖价x（0）=x0。

（ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。

t时刻设备的磨损程度可以

用t时刻转卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m（t）。

（iii）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。

如果u（t）是单位时间的保养费，g（t）是t时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为g（t）u（t）。

另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W，则u（t）∈W。

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§3产品最佳价格调整问题

3.1问题提出

物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格p（t）由现在的p0=70元调整到p1=100元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。

某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销售量s与其价格p和价格变化率p&有着密切的联系，公司想利用这种关系制定一个A产品的调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。

在如下假设条件下：

（1）物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会发生对A产品的其它调价决策，A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化；

（2）公司多年经营A产品关于“每周销售量s与其价格p和价格变化率p&的关系”

的信息是可靠的，不妨假设s=s（p,p&）；

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经济上看是否更为合算？

如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？

4．渔场中的鱼的数量由鱼的自然增长和捕捞量决定。

设鱼的自然增长服从logistic模型，而单位时间的捕捞量是当时鱼的总数的一个确定的函数。

设1t鱼的价格为p，捕捞1t鱼的费用是鱼总数的一个已知函数，鱼越多费用越省。

试建立数学模型求使渔场长期效益最好的捕捞策略。

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