数学建模教材7第七章对策论.docx
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数学建模教材7第七章对策论
§1引言
社会及经济的发展带来了人与人之间或团体之间的竞争及矛盾，应用科学的方法来解决这样的问题开始于17世纪的科学家，如C.，Huygens和W.，Leibnitz等。
现代对策论起源于1944年J.，VonNeumann和O.，Morgenstern的著作《TheoryofGamesandEconomicBehavior》。
对策论亦称竞赛论或博弈论。
是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
一般认为，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学中的一个重要学科。
对策论发展
的历史并不长，但由于它所研究的现象与人们的政治、经济、军事活动乃至一般的日常生活等有着密切的联系，并且处理问题的方法又有明显特色。
所以日益引起广泛的注意。
在日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为。
具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。
在这类行为中。
参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标和利益。
为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。
对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。
表1中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。
如果两名疑犯均担心对方供认并希望受到最轻的惩罚，最保险的办法自然是承认制造了伪币。
从这一简单实例中可以看出对策现象中包含有的几个基本要素。
2.1对策的基本要素
（i）局中人在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者，称为局
中人。
通常用I表示局中人的集合．如果有n个局中人，则I={1,2,L,n}。
一般要求一个对策中至少要有两个局中人。
在例1中，局中人是A、B两名疑犯。
（ii）策略集一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。
参
加对策的每一局中人i，i∈I，都有自己的策略集Si。
一般，每一局中人的策略集中至少应包括两个策略。
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§4零和对策的线性规划解法
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@for（player1（i）:
@sum（player2（j）:
c（i,j）*y（j））@sum（player1:
x）=1;
@sum（player2:
y）=1;end
由定理4知，混合对策问题的求解问题可以转化为求不等式约束的可行点，而
LINGO软件很容易做到这一点。
我们编写如下Lingo程序求解上述问题。
model:
sets:
player1/1..3/:
x;player2/1..3/:
y;game（player1,player2）:
c;endsets
data:
c=0.33333330.5-0.3333333
-0.40.2-0.5
0.5-0.60.3333333;
enddata
@free（u）;u=@sum（game（i,j）:
c（i,j）*x（i）*y（j））;
@for（player1（i）:
@sum（player2（j）:
c（i,j）*y（j））@for（player2（j）:
@sum（player1（i）:
c（i,j）*x（i））>u）;
@sum（player1:
x）=1;
@sum（player2:
y）=1;end
§5二人非常数和对策
所谓常数和对策是指局中人I和局中人II所赢得的值之和为一常数。
显然，二人零和对策是二人常数和对策的特例，即常数为零。
对于二人常数和对策，有纯策略对策和混合策略对策，其求解方法与二人零和对策是相同的。
二人非常数和对策也称为双矩阵对策。
也有纯策略对策和混合策略对策两种策略。
5.1纯策略问题例1给出了典型的二人非常数和对策，每人的赢得矩阵是不相同的，因此称为双矩
阵对策。
问题分析这是一个二人非常数和对策问题。
从表面上看，两犯罪嫌疑人拒不供认，只能被
判18个月徒刑，结果是最好的。
但仔细分析，却无法做到这一点。
因为犯罪嫌疑人A如果采用不供认策略，他可能被判刑的刑期为18个月或7年，而犯罪嫌疑人B可能判的刑期为0或18个月。
而A选择供认，他被判的刑期为0或3年，此时，犯罪嫌疑人B可能判的刑期为3年或7年。
因此，犯罪嫌疑人A一定选择供认。
基于同样的道理，犯罪嫌疑人B也只能选择供认。
选择供认是他们最好的选择，各自被判3年。
按照上面的论述，对于一般纯策略问题，局中人I、II的赢得矩阵如表2所示。
其中局中人I有m个策略α1,L,αm，局中人II有n个策略β1,L,βn，分别记为
S1={α1,L,αm}，S2={β1,L,βn}
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假定各运动员在比赛中都发挥正常水平，又比赛第一名得5分，第二名得3分，第
三名得1分，问教练员应决定让自己队健将参加哪两项比赛，使本队得分最多？
（各队参加比赛名单互相保密，定下来后不准变动）
解分别用α1、α2和α3表示甲队中李姓健将不参加蝶泳、仰泳、蛙泳比赛的策略，分别用β1、β2和β3表示乙队中王姓健将不参加蝶泳、仰泳、蛙泳比赛的策略。
当甲队采用策略α1，乙队采用策略β1时，在100米蝶泳中，甲队中赵获第一、钱获第三得6分，乙队中张获第二，得3分；在100米仰泳中，甲队中李获第二，得3分，乙队中王获第一、张获第三，得6分；在100米蛙泳中，甲队中李获第一，得5分，乙队中王获第二、张获第三，得4分。
也就是说，对应于策略（α1,β1），甲、乙两队各自的得分为（14,13）。
表4给出了在全部策略下各队的得分，计算的Matlab程序如下：
clc,clear
a=[59.763.257.158.661.464.8
67.268.463.261.564.766.5
74.175.570.372.673.476.9];m=3;n=3;kk=3;T=1000;
sc1=[5:
-2:
1,zeros（1,3）];%1-6名的得分
sc2=repmat（sc1,kk,1）;fori=1:
m
forj=1:
n
b=a;
b（i,3）=T;b（j,4）=T;%不参加比赛，时间成绩取为充分大[b,ind]=sort（b,2）;%对b的每一行进行排序
fork=1:
m
sc2（k,ind（k,:
））=sc1;%计算得分
end
A_sc（i,j）=sum（sum（sc2（:
1:
m）））;%统计得分
B_sc（i,j）=sum（sum（sc2（:
m+1:
end）））;
endendA_sc,B_sc
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按照定理8，求最优混合策略，就是求不等式约束（5）的可行解，写出相应的LINGO
程序如下：
model:
sets:
pa/1..3/:
x;
pb/1..3/:
y;link（pa,pb）:
c1,c2;endsets
data:
c1=@file（txt2.txt）;c2=@file（txt2.txt）;enddata
v1=@sum（link（i,j）:
c1（i,j）*x（i）*y（j））;
v2=@sum（link（i,j）:
c2（i,j）*x（i）*y（j））;
@for（pa（i）:
@sum（pb（j）:
c1（i,j）*y（j））@for（pb（j）:
@sum（pa（i）:
c2（i,j）*x（i））@sum（pa:
x）=1;@sum（pb:
y）=1;
@free（v1）;@free（v2）;end
求得甲队采用的策略是α1、α3方案各占50％，乙队采用的策略是β2、β3方案各占
50％，甲队的平均得分为12.5分，乙队的平均得分为14.5分。
习题七
1.表5是一双矩阵对策，试求局中人A,B的最优策略。
2.有三张纸牌，点数分别为1，2，3，显然按大小顺序为3>2>1。
先由A任抽一张，看过后反放在桌上，并任喊大（H）或小（L）。
然后由B从剩下纸牌中任抽一张，看过后，B有两种选择：
第一，弃权，付给A1元；第二，翻A的牌，当A喊H
时，得点数小的牌者付给对方3元，当A喊L时，得点数大的牌者付给对方2元。
要
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表6中的数字为双方各种阵容下甲队的得分数。
这次团体赛双方各采取什么阵容比较稳
妥？
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