材料力学答案6.docx
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材料力学答案6
曲折应力6-1求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。
题6-1图
解：
（a）Mmm
m
Mmax
KN
m
Jx
d4
104
108
10
8m4
64
64
A
103
4
10
2
20.37MPa
（压）
10
8
103
5
10
2
max
490.8
10
8
（b）Mmm
60KN
m
Mmax
m
Jx
bh3
12
183
108
5832108m4
12
12
A
60
103
6
102
MPa
（压）
5832
10
8
67.5
103
9
10
2
max
5832
108
（c）Mmm
1KN
m
Mmax
1KNm
Jx
108m4
Wx
106m3
yA
A
1
103
10
2
38.67MPa
（压）
10
8
max
1
103
128.2MPa
10
8
6-2图示为直径D＝6cm的圆轴，其外伸段为空心，内径
d＝4cm，求轴内最大正应力。
解：
Wx1
D3
（1
4）
32
63
106
1（4）4
32
6
106m3
Wx2
D3
63
106
104m3
32
32
1
0.9
103
52.88MPa
17.02
10
6
1
103
MPa
21.21
10
6
max
55.26MPa
6-3T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。
试求梁内最大拉应力与最大压应力。
已知Iz=10170cm4，h1，h2。
解：
A截面：
max1
40
103
8
102
Mpa（拉）
10170
10
min1
40
103
8
102
Mpa（压）
10170
10
E截面
max2
20
103
10
2
10170
10
8
min2
20
103
8
10
2
10170
10
30.19Mpa（拉）Mpa（压）
6-4一根直径为d的钢丝绕于直径为
D的圆轴上。
（1）求钢丝因为曲折而产生的最大曲折正应力（设钢丝处于弹性状态）
（2）若d＝lmm，资料的折服极限
s=700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生
剩余变形的轴径D。
解：
1
M
EJ
M
EJ
Ed4
32D
max
M
32M
E
d
W
d3
D
D
Ed
210
109
1
103
700
106
30cm
s
6-5矩形悬臂梁如图示．已知
l=4
m，b
2，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。
h
3
试确立此梁横截面尺寸。
解：
Mmax
1ql2
1
10
42
80KN
m
2
2
6h2
2
h
h
2
h3
W
3
6
6
9
M
M
80
103
h2
W
10
106
9
W
h
0.416m
41.6cm
b
27.7cm
6-620a工字钢梁的支承和受力状况如下图。
若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。
解：
W
237cm3
2
P
2PKN
3
Mmax
m
3
M
W
160106
2371062P
3
3
P
23756.880KN
160
2
（M图）
2
P
3
n6-7压板的尺寸和载荷状况如下图。
资料为45钢，s＝380MPa，取安全系数。
试校核压板强度。
1
30
203
30
123
1568mm
2
解：
W
（
12
）
10
12
M18103
20
103
360N
m
M
360
229.6MPa
W
1568109
6-8由两个槽钢构成的梁受力如图示。
已知资料的许用应力
[σ]＝150MPa，试选择槽
钢号码。
解：
Mmax
60KN
m
Wx
Mmax
60
103
103m3
400cm3
150
106
查表：
（22a，Wx
217.6cm3
200cm3）
60KNm
20KNm
（M图）
6-9割刀在切割工件时，遇到P＝1kN的切销力的作用。
割刀尺寸如下图。
试求割刀内最大曲折应力。
解：
M
p8
10
3
8N
m
M
p
30
103
30Nm
W
2.5
132
70.42mm
3
6
W
4
152
150mm3
6
ax
max
M
8
W
10
M
30
W
150
10
9
9
MPaMPa
6-10图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。
试问
（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h、b分别为什么值？
（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又分别为什么值？
bh2b（D2b2）
解：
W
66
dW
0
db
D2
3b2
0
6
b2
D2
3
h2
D2D2
2D2
3
3
从强度讲：
b
J
bh2
b
（D2
b2）3
12
12
dJ
0
db
3
3
1
（D2
b2）2
b
（D2
b2）2
（2b）0
2
从刚度讲b
h
D
6－11
T字形截面的铸铁梁受纯曲折如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的
3倍，
巳知h=12cm
，t=3cm，试确立其翼板宽度b之值。
压
y上
max
＝3
解：
拉
y下
max
y上＝3y下y上＋y下＝h12
y下＝12
＝
3cm
4
S（b3）（3
3）（93）0
9
3
4
.5
2
27cm
b
3
6-12
图示简支梁，由
工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面
A处梁底面的纵
向正应变
3.0104，试计算梁的最大曲折正应力σ
max。
已知钢的弹性模量
E=200GPa,
a=1m。
解：
A
E
200
109
104
60MPa
max
Mmax
3/4
2
MA
3/8
A
max
2A
2
60
120MPa
3qa2
3qa2
4
8
1qa2
4（M图）6-13试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。
解：
1－1截面KN
M
KN
m
J
bh3
153
2109.375cm
4
12
12
M
103
10
2
a
y
108
J
6.03MPa
3.63641037.510210812.93MPa
QS
103
（4
7.5）
106
a
10
8
102
Jb
MPa6-14计算在均布载荷q＝10kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在哪处。
解：
Mmax
1ql2
1
10
103
12
8
8
103N
m
Qmax
1ql
1
10
103
1
2
2
5103N
M
103
max
W
5
3
10
6
32
101.86MPa
在跨中点上、下面缘
Q
4
5
103
4
max
A
3
2
43
5
4
10
25.46MPa
在梁端，中性轴上
6-15试计算
6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
3qa2
1
解：
8
60MPa
W
qa
4
W185cm3
60
106
185
10
6
8
29.6KN/m
3qa
q
3
12
4
Qmax
3qa
3
29.6
1
KN
（Q图）
4
4
QS
103
22.12MPa
max
Jt
10
2
10
3
6-16矩形截面木梁所受载荷如图示，资料的许用应力[σ]=10Mpa。
试选择该梁的截面尺寸，设h:
b2:
1
19KN141KNm8KN9KN
1KN
8KNm
21KN
（Q图）
（M图）
解：
RA
19KN
RB
29KN
W
1bh2
h3
6
12
max
M
14
103
W
h3
12
h
3
14
103
12
0.256m
25.6cm
106
10
b12.8cm
Q
1.5
21103
MPa
max
1.5
25.6
10
4
A
12.8
6-17试为图示外伸梁选择一工字形截面，资料的许用应力
[σ]=160MPa，[τ]＝
80Mpa。
解：
W
M
20
1000
125cm3
160
106
取I16
，W
141cm3
J:
S13.8（cm）
QS
15
103
0.181MPa
Jt
6103
故取No16工字钢
Q（x）15KNM（x）20KNm
5KN
10KNm
10KN
（Q图）
（M图）
6-18
图示起重机安装在两根工字形钢梁上，
试求起重机在挪动时的最危险地点及所采
用工字型钢的号码。
已知
l＝10m，a＝4m，d=2m。
起重机的重量
W＝50kN，起重机的
吊重P=10kN，钢梁资料的许用应力［σ］
=160MPa，[τ]=100Mpa。
解：
轻压：
10KN
，50KN
1
50（10
x）10（8
x）
586x
R
10
M（x）
Rx
（58
6x）
x
dM
58
12x
0
0
dx
x
4.833m
Mmax
（58
6
）
4.833
140.17KNm
M
max
140.17103
W
160
106
103m3
876cm3
取
两个I28aWz
508.15cm3
W
438cm3
2
10KN50KNd10m6-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h。
用应变仪测得其上面的纵向线应变142106，下面的纵向线应变214106。
试求此截面形心的地点。
解：
上
＝
M
y1
E1
Jb
下＝My2
E
2
Jb
1
＝
y1
42
3
y2
14
2
y1
y2
h
3y2
y2
h
y2
1
y1
3
h
h
4
4
6-20简支梁蒙受均布载荷
q，截面为矩形b
h，资料弹性模量E，试求梁最基层纤维
的总伸长。
解：
M（x）
ql
qx2
2
x
2
M（x）
（x）
Ebh2
6
l
（x）dx
6q
l
l
x2
ql3
l
（
2
）dx
0
Ebh2
0
2
2Ebh
2
6-21矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若设想沿中性层把梁分开为上下两部分：
1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，拜见图（b）；2）试说明梁被截下的部分是如何均衡的？
解：
（1）x
3Q
3qx
2A
2bh
（2）由
产生的协力为T
T
l
xbdx
l
3
qx
3ql2
2
bh
bdx
0
0
4h
由曲折产生的轴间力为N
h/2Mmax
ql
2
y
h/2
h/22
N
bdy
bdy（自证）
bdy
J
b
0
0
0
3
h
12
jql24h
T
6-22正方形截面边长为
a，设水平对角线为中性轴。
试求
（1）证明切去边长为
a的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；
9
（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？
（提示：
计算
Iz时可
按图中虚线分三块来办理）。
解：
本来正方形：
a4
Jz0
12
y0max
a
2
Wz0
2a3
a3
12
削去x后：
（a
x）4
（2x）（ax）3
ax
（a
x）2
2
2
Jz
12
12
2x
2
2
2
Wz
Jz
Jz
2
2
（a3x）
ymax
a
x
（ax）
12
2
dW
0
9x2
10ax
a2
0
dx
a
x
9
Wx
2（8a）2（12a）
8
2a3
a3
12
9
9
81
max新＝Wz0
0.844（倍）
max原
Wz
6-23悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。
横截面为正方形
aa，中性轴即
正方形的对角线。
试计算最大剪应力τ
max值及其所在地点。
解：
Q
（P
ql）
QS
a4
Jzb
Jz
12
b
2（
2a
y）
2
S（2ay）（2ay）
y
1（2ay）
2
2
3
2
Pql
（2ay）（2a
2y）
a4
2
2
6
3
12
6（Pql）
（1a2
2ay
2y2）
a4
6
6
3
d
0
y
2a
dy
8
QS
（P
ql）
（
2
2
max
Jzb
a
4
2
a
a）
a
2
2
8
2
（
a）
12
2
8
（
2
2
（
2
2
2
9（P
ql）
a
a）
a
3
a）
8a
2
2
8
6
8
6-24试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出曲折中心的大概地点。
解：
6-25确立张口薄壁圆环截面曲折中心的地点。
设环的均匀半径R0，壁厚t，设壁厚t与半径R0对比很小。
解：
dS
R0dt
R0
sin
S
0
tR0
2sin
d
tR0
2（1cos）
J
z
2tRd
（Rsin）2
tR3
0
0
0
0
2
2
tR0（1cos）R0R0d
e
0
3
tR06-26试导出图示不对称工字形截面的曲折中心地点时）。
假定厚度t与其余尺寸对比很小。
2R0（当在垂直于对称轴的平面内曲折
解：
e1e11Jz
（2b）2h2t4Jz22
bht
h2th3
2（3bt）
412
e
e
1
11
3b2h2t
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