三角形的知识点三角形三条中线的交点.docx
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三角形的知识点三角形三条中线的交点
三角形的知识点-三角形三条中线的交点
三角形三条高线交于一点的证明？
三角形三条高线交于一点的证明？
证法一：
运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。
已知：
△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。
求证：
P、Q、O三点重合 证明：
如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴ ABAE ＝，ACAF FA EB 即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC ∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴ AFAPAEAD ＝＝，ADABADAQ D C 即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP ∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP ∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合 ∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。
证法二：
连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。
已知：
△ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。
求证：
CF⊥AB。
证明:
∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E ∴A、B、D、E四点共圆∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1 D C A ∴∠2＝∠ABE ∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。
注：
证法一和证法二是证明共点线的常用方法。
证法三：
证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。
证明：
如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A（0, a）,B（b,0）,C（c,0）,由两条直线垂直的条件 kBE 1kAC c1b ,kCFakABa 则三条高的直线方程分别为：
AD：
x0 c BE：
y（xb） ab CF：
y（xc） a ca
（1）
（2）（3） ba 解和得（xb）（xc）,（bc）x0 bc（b0,c0） ∴x0 这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。
注：
有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。
证法四：
转化为证明另一个三角形的三条中垂线交于一点。
已知：
AD、BE、CF是△ABC的三条高。
求证：
AD、BE、CF相交于一点。
证明：
过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL ∵AM∥BC，MB∥AC ∴四边形AMBC是平行四边形 ∴AM＝BC 同理，AL＝BC ∴AM＝AL ∵AD⊥ML ∴AD是ML的垂直平分线 同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点 ∴AD、BE、CF相交于一点。
注：
三角形的三条中线相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方法必须让学生理解掌握。
N B A F E L D C 证法五：
运用锡瓦定理证明。
已知：
AD、BE、CF是△ABC的三条高。
求证：
AD、BE、CF相交于一点。
证明：
如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E ∴△ABD∽△CBF∴ BDAB ＝ BFCB B F A E O D C 同理，由△ADC∽△BEC得 CECB＝， CDCA 由△AFC∽△AEB AFAC＝ AEAB BDCEAFABCBAC 1三式相乘得 BFCDAECBCAAB BDCEAF 1即 DCEAFB ∴AD、BE、CF相交于一点。
注：
锡瓦定理是证明共点线的有力工具，虽然中学不作要求，但对于学有余力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。
锡瓦定理可以用梅涅劳定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到。
在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力。
垂心是三角形三条高的交点 垂心是三角形三条高的交点内心是三角形三条内角平分线的交点重心是三角形三条中线的交点外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心即内接圆的圆心 旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点 正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!
垂心定理：
三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心内心定理：
三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
重心定理：
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：
三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
三角形中线一条性质的探究 三角形中线一条性质的探究、应用与拓展 2016-01-0317:
18:
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平行于三角形一边的直线被另两边所截得的线段被这边上的中线平分。
如图，△ABC中，AD平分BC，EF∥BC，求证：
AD平分EF. 证明：
∵EF∥BC ∴EG∶BD=AG∶AD；FG∶CD=AG∶AD ∴EG∶BD=FG∶CD ∵BD=CD ∴EG=FG. 结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”. 这条性质的运用，现举例如下：
例1.△ABC中，DE∥BC，CD交BE于F，求证：
AF平分DE和BC. 分析：
根据 “三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二. 证明：
过B作BG∥DC，交AF延长线于点G，连CG. ∵BG∥DC，DE∥BC ∴AD∶AB=AF∶AG；AD∶AB=AE∶AC ∴AF∶AG=AE∶AC ∴CG∥BE ∴BGCF为平行四边形 ∴BN=CN ∵DE∥BC ∴DM=EM. 例2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，M、N分别为AD、BC的中点，求证：
MN=1/2（BC-AD）. 证明：
延长 BA、CD交于点E，连接EN. ∵BN=CN，AD∥BC， 据“三角形中线性质定理”，EN平分AD，即EN过点M. ∵∠B+∠C=90°， ∴EN=1/2BC. 同理，Rt△EAD中，EM=1/2AD. ∴MN=1/2（BC-AD）. 例3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为CD中点，AE延长线交BC于点F，FG⊥ AB于G，求证：
FG2=FC·FB. 证明：
延长 GF与AC延长线交于点H. ∵CD⊥AB，FG⊥AB ∴CD∥FG ∵CE=DE ∴FG=FH ∵∠ACB=90° ∴∠HCF=∠FGB=90° ∵∠HFC=∠BFG ∴△HFC∽△BFG ∴FG∶FC=FB∶FH ∴FG·FH=FC·FB ∴FG2=FC·FB. 显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广（如图所示）：
1.△ABC中，EF∥BC，若BD∶DC=k，则EG∶FG=k（如图1）. 2．△ABC中，GH∥BC，若BD∶DE∶EF∶…=a∶b∶c∶…，则GM∶MN∶NP∶…=a∶b∶c∶…（如 图2）.三角形三条高相交于一点的一点思考
（1） 一道课本习题引发的思考 李守峰（山东临沂沂州实验学校） 新人教版选修2-3在命题证明一章中，有这样一道例题：
如图三角形ABC的三条高相较于点，垂足分别为D、E、F求证：
FDAEDA 这是一道普通的题，很可能不会引起人们的重视，因为他太简单，不需老师讲，学生一看就会。
但是，如果仅仅停留在一个例题上来看待的话，他的数学功能就是去了99%。
下面就以这道题的背景出发，探究他的辐射功能！
如图高BE、CF相交于M，求证：
AM⊥BC一、证法思考1.几何证明 易知A、F、M、E，B、C、E、F四点共圆所以：
∠1=∠3，∠2=∠3所以∠1=∠2所以∠BDA=∠AEB=直角故AM⊥BC 2.解析坐标法 建立直角坐标系如图易知：
AB:
xyxy1 AC:
1bcac 所以过点B且垂直于AC的直线为 xyb BE:
cac 过点C且垂直于AB的直线为 xya CF:
cbc 由消去y得：
axabyccbxabycc 两式相加得x=0 这就说明，BECF的交点在BC边的高线上，故三线共点．3.向量法 uuuruuuruuruuur 假设：
CFAB,BEAC，BE、AC交于M uuuruuuruuuruuuruuruuur则AMBC（ABBM）（BAAC）uuuruuruuuruuruuuruuuruuuruuurABBABMBAABACBMACuuuruuruuuruuruuuruuur ABBABMBAABAC0 uuuruuuruuruuuruuur（ABBM）BAABAC uuuruuruuuruuuruuuuuruuururuuuruuur AMBAABACAB（ACAM）ABCM0 所以AM⊥BC 二、蕴含结论 1.A、F、H、E；B，D，H，F；C，E，H，D；A，B，E，D；B，C，E，F；C，A，F，D均四点共圆 2.AFABAHADAEAC BFBABHBEBDBCCECACHCFCDCB 3.H为垂足三角形的内心 证明：
易得：
FDHFBEFCEHDE 所以H在角FDE的平分线上，同理H在角DFE的平分线上，所以H为内心． 4.三垂足，三边中点，垂心与三顶点连线的中点，这九点共圆，且半径为外接圆半径的二分之一．证明：
如图作四边形OQTS则OQ∥BC,ST∥BC所以OQ∥BC∥ST同理：
QS∥AH∥QT又AH BC 所以OSTQ为矩形，所以OSTQ共圆，且SQ为直径 如图，易知1=3，2=4 又易知3=4，所以1=2所以SDQBDH900又SEQ900 SDQSTQSEQ900 所以S、D、T、E、O共圆． 如图利用中位线定理可知SP∥FC,PQ∥AB,又AB⊥CF所以SPQ900 所以P在以SQ为直径的圆上 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得1=3，2=4 又易知3=4，所以1=2所以SFQ900 所以F在以SQ为直径的圆上． 如右图利用中位线定理可知SR∥AB,RQ∥FC,又AB⊥CF所以SRQ900 所以R在以SQ为直径的圆上综上所述，九点共圆问题证毕． 证法总结：
首先找出圆的直径，然后利用三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得其余各点对直径的张角均为直角． 下面证明九点圆的直径等于外接圆的半径 先证一个结论：
三角形顶点到垂心的距离等于外心到其对边距离的两倍．如图，弦心距OD 1 CH2 证明，作辅助线如图所示则BM2OD 又MBABCHAB所以MB∥CH同理：
MC∥BH 所以BMCH为平行四边形 利用上述结论证明半径关系 如右图，有上述结论可知OQ平行些等于BH的一半，故有OQ平行且等于BS 所以OBSQ为平行四边形所以OB=SQ 即外接圆的半径等于九点圆的直径． 如右图由上述结论易知OSHQ也为平行四边形，所以OH、SQ相互平分，所以九点圆的圆心O1为OH的中点，即九点圆的圆心在欧拉线上，且位于外心与垂心的中点． 三、问题延伸1.结论拓展 如图1见蕴含结论3证明方法1运用共圆证明略 证明方法2运用解析法证明 建立坐标系如图所示 因为kAB cckACba 所以AB:
cxbybc AC:
cxayac CF:
bxcyab BE:
axcyab 消去常数项得DE：
a（cxby）c（bxcy）0 即：
c（ab）x（c2ab）y0 消去常数项得DF：
b（cxay）c（axcy）0 即：
c（ab）x（c2ab）y0 由此可见DE、DF斜率互为相反数，故有12． 2.条件推广 设H为高AD所在直线上的一点，直线BH交直线AC于点F，直线CH交直线AB于点E，则∠FDA=∠EDA．证明：
如图所设xy 1
（1）则直线AB:
bcxy 直线CH:
1
（2） amxy 直线AC:
1 （3） acxy1（4）直线BH:
bm xyxyxxyy 即：
（1）
（2）消常得DE：
bcamabcmxyxyxxyy 即;（）（3）（4）消常得DF：
acbmabcm 由此可见：
由此可见DE、DF斜率互为相反数，故有12． 3.逆命题考察 如图，AD为高，H为平面内一点，且∠FDA=∠EDA则H必在高AD所在直线上．证明：
如图所设则直线AB:
xy 1
（1） bc 直线CH:
mx（sa）yam
（2）直线AC:
xy 1 （3）ac 直线BH:
mx（sb）ybm（4）
（1）
（2）消常得DE：
am（ xy ）mx（sa）ybc 即：
abmybc（sa）yacmxbcmx（3）（4）消常得DF：
bm（ xay ）mx（sb）y0c 即：
abmyac（sb）y（bcmxacmx） 由题意知：
DE、DF斜率互为相反数，故有abmybc（sa）yabmyac（sb）y．即（ab）csy0，它对任意的y恒成立，而（ab）c0，所以s0，所以点H在高线AD上． 4.关注三点、四线、两正三角形 三点费马点、布洛卡点、拿破仑点费马点：
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点．
（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角．所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心．
（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点．一种简捷的证明：
设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。
将圆P视作一面镜子。
显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点。
而AO’=AO，就会有AO’+BO’+CO与三角形两角平分线交点有关的几个命题 ＝ｏ－Ａ一Ａ～Ａ ｌ一／Ｃ／Ｂ１衄８￣ＢＣ 。
－＿ ＝ ＝ ÷Ｂ／Ｓ Ｃ，÷ ＋Ｃ）８－Ａ一Ａ一一Ｚ＿ＣＩ ． Ａ ：
ｌ＋ ３ ＝｜—１Ｚ ４ ＿ ＝一Ｂ Ａ ＿＿ ＋Ａ）÷＿Ａ＋Ｃ Ａ ：
＋ ＨＢ＝－，ＰＤ－Ａ／Ｃ｝ ＿／＿ 命题４过三角形一边的两个顶点分别作一内角 与一外角的平分线相交于一点，这点作这边的平行线 过与其他两边相截，截线段长等于每个截点到同一边上 则 往个顶占 问的终毋长的善． ÷１一曰８ ｏ ＿ ＝９０。
＋１／ Ｂ． 在ＡＡＣ中，ＤＤ／ＡＣ：
１０８。
一 ＝ １一ｏ÷Ｂ８０９＋ 。
９０。
一１ＬＢ ． 已知 如图，是△ＡＣ Ｂ ＝ 的内角／ＡＣ与外角／ＡＭ ＿ＢＣ的平分线Ｂ与Ｃ的交点，ＤＤ 过ＤＤ Ｂ ＥｉＣ。
交Ａ于 ，ＡＢ交Ｃ于ＦＢ 求证ＥＦ＝Ｂ—Ｆ．ＥＣ Ｃ ￣ＺＡ＿ＤＣ：
９。
０一ｌＺ ． Ｂ． 命题６过三角形一边的两个顶点分别作两个外 角的平分线相交于一点，这点作这边的平行线与其他 过两边的延长线相截，则截线段的长等于每个截点到同一 ｛卜缸个顶占 闻的绊毋长的和 力 证明 ． 由命题３知 １＝／３／ＦＣ：
／４ ，Ｄ， ＤＥ：
ＢＥ．Ｃ：
ＦＤ．Ｆ ＥＦ＝ＥＤ—ＦＤ＝ＥＢ—Ｆｅ 已知 如图．是ＡＡＣＤＢ ’ ．． 的两个外角ＺＥＣ与／ＡＦ．ＡＣ 即ＥＦ＝朋一Ｆ Ｃ． 的平分线ＡＤ与Ｃ的交点，Ｄ过 Ｄ作 ∥Ｂ交ＢＣ，Ａ的延长线 于Ｅ交Ｂ，Ｃ的延长线于 求证 ．。
．． 三、角形两外角平分线的交点 三 命题５三角形两外角平分线的夹角等于９。
第 ｏ与 三角一半的差． 已知如图，是／ＡＣ的 ＤＸＢ 证明 由 已知Ａ平分 Ｄ 蕊数掌大世界 ．。
。
。
７∞ Ｅ ＋・Ｆ＝ ．＋＋＋。
．．＋．＋。
。
。
．．。
。
。
； 两外角／ＥＣ和ＺＡＦ的平分 ＿Ａ＿．Ｃ ＥＣＥ＃ＡＡ．ＦＣ：
知 １＝２．３＝ ２． 。
线 Ｄ和ｃＤ的交点． 求证 厦 Ｃ ． ． ／Ｄ＝９。
一 ＿ＡＣ０ １ ． ． ／１：
３． ＥＤ：
Ｅ．Ａ 同理可证：
Ｄ＝Ｆ．ＦＣ ＥＦ：
Ｅ１）＋ＦＤ＝ＥＡ＋ＦＣ． 证明 由已知条件知 ＢⅡＥＦ＝Ｅ＋Ｆ．ＡＣ １－Ｃ ＝／Ｅ￣－Ａ＿ 饕 琏 ５ ’・‘一。
一’＋ ・’・－一－一－一－ ９一‘・’一’一‘一。
一。
一。
一。
一－一・ 一 遗 三角形的高、中线角平分线知识点与练习 三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：
认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高：
CBB C 2、上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：
三角形的三条高线所在的直线相交于点；锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；直角三角形的三条高相交三角形的 ；交点我们叫做三角形的垂心。
练习一：
如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是． 知识点二：
认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的中线 BCB C 2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD= =1 ，2 3、由作图可得出如下结论：
三角形的三条中线相交于点；锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；交点我们叫做三角形的重心。
练习二：
如图，D、E是边AC的三等分点，图中有 个三角形，BD是三角 形 中 边上的中线，BE是三角形 中________上的中线； 知识点三：
认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题：
1、作出下列三角形三角的角平分线：
B CBC 2、AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：
三角形的三条角平分线相交于点；锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ； 直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；交点我们叫做 三角形的内心。
练习三：
如图，已知∠1=1∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的平分线为 ，2 ∠ABC的平分线为 . 总结：
三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。
三、综合练习 1．三角形的角平分线是． A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对 2．下列说法：
①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等 的角和相等的线段。
CBFED 4在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长 分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长
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