三角形的知识点三角形三条中线的交点.docx

1、三角形的知识点三角形三条中线的交点三角形的知识点-三角形三条中线的交点 三角形三条高线交于一点的证明？ 三角形三条高线交于一点的证明？ 证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。 已知：ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。 求证：P、Q、O三点重合 证明：如图，BEAC，CFAB AEB = AFC = 90 又BAE = CAF ABE ACF ABAE ， ACAF FA EB 即ABAF = ACAE 又ADBC AEQ ADC，AFP ADB AFAPAEAD ， ADABADAQ D C 即ACAE = ADAQ，ABAF = AD

2、AP ABAF = ACAE，ACAE = ADAQ，ABAF = ADAP ADAQ = ADAP AQ = AP 点Q、P都在线段AD上 点Q、P重合 AD与BE、AD与CF交于同一点 两条不平行的直线只有一个交点 BE与CF也交于此点 点Q、P、O重合。 证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。 已知：ABC的两条高AD、BE相交于点O，第三条高CF交高AB于点F，连结CO交AB于点F。 求证：CFAB。 证明:ADBC于E，BEAC于E A、B、D、E四点共圆 1ABE 同理21 D C A 2ABE ABE+BAC90， 2+BAC90 即CFAB。 注：证法一

3、和证法二是证明共点线的常用方法。 证法三：证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。 证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件 kBE 1kAC c1b ,kCF akABa 则三条高的直线方程分别为： AD：x 0 c BE：y (x b) ab CF：y (x c) a ca (1)(2) (3) ba 解和得(x b) (x c),(b c)x 0 b c(b 0,c 0) x 0 这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。 注：有时候考虑直角

4、坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问题。 证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线交于一点。 已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。 求证：AD、BE、CF相交于一点。 证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL AMBC，MBAC 四边形AMBC是平行四边形 AMBC 同理，ALBCAMAL ADML AD是ML的垂直平分线 同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线 而三角形的三条垂直平分线相交于一点 AD、BE、CF相交于一点。 注：三角形的三条中线相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明，把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三

5、条中线相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方法必须让学生理解掌握。 N B A F E L D C 证法五：运用锡瓦定理证明。 已知：AD、BE、CF是ABC的三条高。 求证：AD、BE、CF相交于一点。 证明：如图，ADBC于E，BEAC于E ABD CBF BDAB BFCB B F A E O D C 同理，由ADC BEC得 CECB， CDCA 由AFC AEB AFAC AEAB BDCEAFABCBAC 1 三式相乘得 BFCDAECBCAAB BDCEAF 1 即 DCEAFB AD、BE、CF相交于一点。 注：锡瓦定理是证明共点线的有力工具，虽然中学不作要求，但对于学

6、有余力的学生不妨引导他们自己研究，激发他们的学习兴趣。 锡瓦定理可以用梅涅劳定理证明，而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到。在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力。垂心是三角形三条高的交点 垂心是三角形三条高的交点 内心是三角形三条内角平分线的交点 重心是三角形三条中线的交点 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 即内接圆的圆心 旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点 正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合! 垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形

7、的内心。 旁心定理： 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。 该点叫做三角形的 旁心。三角形有三个旁心。 重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。该 点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。三角形中线一条性质的探究 三角形中线一条性质的探究、应用与拓展 2016-01-03 17:18:50| 分类： | 标签： |字号大中小 订阅 性质：平行于三角形一边的直线被另两边所截得的线段被这边上的中线平分。 如图，ABC中，AD平分BC，EFBC，求证：AD平分EF. 证明： EFBC EGBD

8、=AGAD；FGCD=AGAD EGBD= FGCD BD=CD EG = FG. 结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”. 这条性质的运用，现举例如下： 例1. ABC中，DEBC，CD交BE于F，求证：AF平分DE和BC. 分析：根据 “三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二. 证明：过B作BGDC，交AF延长线于点G，连CG. BGDC，DEBC ADAB=AFAG；ADAB =AEAC AFAG =AEAC CGBE BGCF为平行四边形 BN=CN DEBC DM=EM. 例2 如图，梯形ABCD中，ADBC，B+C=90，M、N分别为AD、BC的中点，求

9、证：MN= 1/2(BC-AD). 证明：延长 BA、CD交于点E，连接EN. BN=CN，ADBC， 据“三角形中线性质定理”，EN平分AD，即EN过点M. B+C=90， EN=1/2BC. 同理，RtEAD中，EM=1/2AD. MN=1/2(BC-AD). 例3 如图，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，E为CD中点，AE延长线交BC于点F，FG AB于G，求证：FG2=FCFB. 证明：延长 GF与AC延长线交于点H. CDAB，FGAB CDFG CE=DE FG=FH ACB=90 HCF=FGB=90 HFC=BFG HFCBFG FGFC=FBFH FGFH =FCFB

10、 FG2=FCFB. 显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)： 1. ABC中，EFBC，若BDDC=k，则EGFG=k (如图1). 2ABC中，GHBC，若BDDEEF= abc，则GMMNNP= abc(如 图2).三角形三条高相交于一点的一点思考(1) 一道课本习题引发的思考 李守峰 ( 山东临沂沂州实验学校 ) 新人教版选修2-3在命题证明一章中，有这样一道例题： 如图三角形ABC的三条高相较于点，垂足分别为D、E、F 求证： FDA EDA 这是一道普通的题，很可能不会引起人们的重视，因为他太简单，不需老师讲，学生一看就会。但是，如果仅仅停留在一个例

11、题上来看待的话，他的数学功能就是去了99%。 下面就以这道题的背景出发，探究他的辐射功能！ 如图 高BE 、CF相交于M，求证：AMBC 一、证法思考 1.几何证明 易知A、F、M、E， B、C、E、F四点共圆 所以：1=3，2=3 所以1=2 所以BDA=AEB=直角 故AMBC 2.解析坐标法 建立直角坐标系如图 易知：AB: xyxy 1AC: 1 bcac 所以过点B且垂直于AC的直线为 xyb BE: cac 过点C且垂直于AB的直线为 xya CF: cbc 由消去y得： axab y ccbxab y cc 两式相加得x=0 这就说明，BE CF 的交点在BC边的高线上，故三线共

12、点 3.向量法 uuuruuuruuruuur 假设：CF AB, BE AC，BE 、AC交于M uuuruuuruuuruuuruuruuur则AM BC (AB BM) (BA AC) uuuruuruuuruuruuuruuuruuuruuur AB BA BM BA AB AC BM AC uuuruuruuuruuruuuruuur AB BA BM BA AB AC 0 uuuruuuruuruuuruuur (AB BM) BA AB AC uuuruuruuuruuuruuuuuruuururuuuruuur AM BA AB AC AB (AC AM) AB CM 0 所以

13、AMBC 二、蕴含结论 1. A、F、H、E； B，D，H，F； C，E，H，D；A，B，E，D； B，C，E，F； C，A，F，D均四点共圆 2. AF AB AH AD AE AC BF BA BH BE BD BC CE CA CH CF CD CB 3. H为垂足三角形的内心 证明：易得： FDH FBE FCE HDE 所以H在角FDE的平分线上，同理H在角DFE的平分线上，所以H为内心 4.三垂足，三边中点，垂心与三顶点连线的中点， 这九点共圆，且半径为外接圆半径的二分之一 证明： 如图 作四边形OQTS 则OQBC,STBC 所以OQBCST 同理：QSAHQT 又AH BC 所

14、以OSTQ为矩形，所以OSTQ共圆，且SQ为直径 如图，易知 1= 3， 2= 4 又易知 3= 4，所以 1= 2 所以 SDQ BDH 900 又 SEQ 900 SDQ STQ SEQ 900 所以S、D、T、E、O共圆 如图利用中位线定理可知 SPFC,PQAB,又ABCF 所以 SPQ 900 所以P在以SQ为直径的圆上 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 1= 3， 2= 4 又易知 3= 4，所以 1= 2 所以 SFQ 900 所以F在以SQ为直径的圆上 如右图利用中位线定理可知 SRAB,RQFC,又ABCF 所以 SRQ 900 所以R在以SQ为直径的圆上 综上

15、所述，九点共圆问题证毕 证法总结：首先找出圆的直径，然后利用三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得其余各点对直径的张角均为直角 下面证明九点圆的直径等于外接圆的半径 先证一个结论：三角形顶点到垂心的距离等于外心到其对边距离的两倍 如图，弦心距OD 1 CH 2 证明，作辅助线如图所示 则BM 2OD 又MB AB CH AB 所以MBCH 同理：MCBH 所以BMCH为平行四边形 利用上述结论证明半径关系 如右图，有上述结论可知OQ平行些等于BH的一半， 故有OQ平行且等于BS 所以OBSQ为平行四边形 所以OB=SQ 即外接圆的半径等于九点圆的直径 如右图 由上述结论易

16、知OSHQ也为平行四边形，所以OH 、SQ相互平分，所以九点圆的圆心O1为OH的中点，即九点圆的圆心在欧拉线上，且位于外心与垂心的中点 三、问题延伸 1.结论拓展 如图1 见蕴含结论3 证明方法1 运用共圆证明 略 证明方法2 运用解析法证明 建立坐标系如图所示 因为kAB cc kAC ba 所以AB:cx by bc AC:cx ay acCF:bx cy abBE:ax cy ab 消去常数项得DE：a(cx by) c(bx cy) 0 即：c(a b)x (c2 ab)y 0 消去常数项得DF：b(cx ay) c(ax cy) 0 即：c(a b)x (c2 ab)y 0 由此可见

17、DE、DF斜率互为相反数，故有 1 2 2.条件推广 设H为高AD所在直线上的一点，直线BH交直线AC于点F，直线CH交直线AB于点E， 则FDA=EDA 证明：如图所设 xy 1(1) 则直线AB: bcxy 直线CH: 1 (2) amxy 直线AC: 1 (3) acxy 1 (4) 直线BH: bm xyxyxxyy 即： (1)(2)消常得DE： bcamabcmxyxyxxyy 即; ( ) (3)(4)消常得DF： ac bmabcm 由此可见：由此可见DE、DF斜率互为相反数，故有 1 2 3.逆命题考察 如图，AD为高，H为平面内一点，且FDA=EDA 则H必在高AD所在直线

18、上 证明：如图所设 则直线AB: xy 1 (1) bc 直线CH:mx (s a)y am (2) 直线AC: xy 1 (3) ac 直线BH: mx (s b)y bm (4) (1)(2)消常得DE：am( xy ) mx (s a)y bc 即：abmy bc(s a)y acmx bcmx (3)(4)消常得DF：bm( xay ) mx (s b)y 0 c 即：abmy ac(s b)y (bcmx acmx) 由题意知： DE、DF斜率互为相反数，故有abmy bc(s a)y abmy ac(s b)y 即(a b)csy 0，它对任意的y恒成立，而(a b)c 0，所以s

19、 0，所以点H在高线AD上 4.关注三点、四线、两正三角形 三点 费马点、布洛卡点、拿破仑点 费马点：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点 (1)若三角形ABC的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心 (2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点 一种简捷的证明 ： 设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点。而AO= AO，就会有 AO+ BO+ CO 与三角形两角平分线交点有关的几个命题 一 一 衄

20、 。 ， ） 一 一一 ： 一 ） ： ， 命 题 过 三 角 形 一 边 的 两 个 顶 点 分 别 作 一 内 角 与一 外 角 的平 分 线 相 交 于一 点 ， 这 点 作 这 边 的 平 行 线 过 与其 他 两 边 相 截 ， 截线 段 长 等 于 每 个 截 点 到 同 一 边 上 则 往 个 顶 占 问 的 终 毋 长 的 善 一曰 。 在 中 ， ： 。一 一 。 。一 已知 如 图 ， 是 的 内 角 与 外 角 的平 分 线 与 的 交 点 ， 过 。 交 于 ， 交 于 求证 ： 。 一 命 题 过 三 角 形 一 边 的 两 个 顶 点 分 别 作 两 个 外 角的平

21、 分线 相交于一点 ， 这点作这边 的平 行线与其 他 过 两边 的延长线相 截 ， 则截线段 的长等 于每个截 点到同一 卜缸 个 顶 占 闻 的 绊 毋 长 的 和 力 证明 由命题 知 ： ， ， ： ： 已 知 如 图 是 的 两 个 外 角 与 即 朋 一 的平分线 与 的交点 ， 过 作 交 ， 的延长 线 于 交 ， 的延 长 线 于 求证 。 三 、 角 形 两外 角 平 分 线 的 交 点 三 命题 三角形两外角平分线 的夹角等 于 。 第 与 三角一半的差 已知 如 图 ， 是 的 证 明 由 已 知 平 分 蕊 数 掌大世 界 。 。 。 。 。 。 。； 两 外 角 和

22、 的 平 分 ：知 。 线和 的交点 求证 厦 。一 ： ： 同理 可 证 ： ： ） 证明 由 已知 条 件 知 饕 琏 一。 一 一 一 一 一 一 一 一。 一。 一。 一。 一 一 一 遗 三角形的高、中线角平分线知识点与练习 三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： C B B C 2、上面第1图中，AD是ABC的边BC上的高，则ADC= = 3、由作图可得出如下结论：三角形的三条高线所在的直线相交于 点；锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；直角三角形的三条

23、高相交三角形的 ；交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画ABC的一边上的高，下列画法正确的是 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、 作出下列三角形三边上的中线 B C B C 2、AD是ABC的边BC上的中线，则有BD =1， 2 3、由作图可得出如下结论：三角形的三条中线相交于 点；锐角三角形的三条中线相交于三角形的；钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；交点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D、E是边AC的三等分点，图中有 个三角形，BD是三角 形中 边上的中线，BE是三角形中_上的中线； 知识点三：认识并会画三角形

24、的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线： B C B C 2、AD是ABC中BAC的角平分线，则BAD= 3、由作图可得出如下结论：三角形的三条角平分线相交于 点；锐角三角形的三条角平分线相交三角形的；钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ； 直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；交点我们叫做 三角形的内心。 练习三：如图，已知1=1BAC，2 =3，则BAC的平分线为 ，2 ABC的平分线为. 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 1三角形的角平分线是 A直线 B射线 C线段 D以上都不对 2下列说法：三角形的角平分线、中线、高线都是线段；直角三角形只有一条高线；三角形的中线可能在三角形的外部；三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有 A1个 B2个 C3个 D4个 3.如图，AD是ABC的高，AE是ABC的角平分线，AF是ABC的中线，写出图中所有相等 的角和相等的线段。 C B F E D 4在ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长 分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长