洛伦兹变换详细推导.docx

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洛伦兹变换详细推导

第三节洛伦兹变换式

教案内容：

1.洛伦兹变换式的推导；

2.狭义相对论的时空观：

同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓;重点难点：

狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：

1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；

2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；

3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

vt

X一vt

-（Vc）2

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1.时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P在S系和S系中的时空坐标（x，y，z，t）、（x',y'，z'，t'），因S'相对于S以平行于X轴的速度v作匀速运动，显然有y'=y,z'=z。

在S系中观察S系的原点，x=0；在S'系中观察该点，X'=-vt'，即x'+vt'=O。

因此X=X'+Vt'。

在任意的一个空间点上，可以设：

X=k（x'+vt'），k是一比例常数。

同样地可得到：

X'=k'（X-Vt）=k'（x+（-v）t）

根据相对性原理，惯性系S系和S系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。

2・由光速不变原理可求出常数k

设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：

x=ct,x'=ct'，贝,

xx=c2tt二k2x-vtxvt二k2ct-vtctvt

二k2ttc2

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3.讨论

（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。

故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形一低速极限。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

（）（FFF）

设物体在s、s'系中的的速度分别为Ux,uy,Uz，Ux,uy,Uz，根据洛仑兹

变换式可得：

讨论

（1）当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即

（2）

假设两个事件Pi和P2，在s系和S系中测得其时空坐标为:

S：

人，y1，弓，t1,x2，y2，z2，t2

S:

x，yi，W，ti“2，y2，Z2，t2

由洛伦兹变换得：

t2-VX2c2

在S系和S系中测得的时间间隔为七2一t1和（t2-ti），它们之间的关系为:

/2

.._氏-匕）-V（X2-X1）/Ct^t1■

t2十"X2J

-（v，c）2

r

（1）在S系中同时发生：

t2=ti,但在不同地点发生，X2

这就是同时的相对性。

t-XVc2

因为v>c,u>c,所以与At同号。

即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

tVuvc

u一

也t丿

有:

h-（Vc）2

得到

（4）上述情况是相对的。

同理在s'系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同样也是不同时的。

（5）当v5寸，人tt，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）

假设一刚性棒AB静止于S系中1X2_X1，在S系中同时t1

"x2"X1。

由洛伦兹坐标变换式:

、x1-vt1、x2-vt2

X1）vc2，「1-vc

得:

I=IJ-（v/c）2

1.

固有长度

观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长（或原长），用Io表示。

即

I=

2.洛伦兹收缩（长度缩短）

观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的

倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩

短）。

讨论:

（1）长度缩短效应具有相对性。

若在s系中有一静止物体，那么在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有

r=iJ1_（v/c）2

即看人家运动着的尺子变短了。

（3）当v<

三、时间膨胀（时间延缓）

中的时间间隔为"t=t?

一ti,事件Pi、P2在s'系中的时间间隔为"t"t^t1o如果在S'系中两事件同地点发生，即x2=xi,则有：

i.固有时间（原时）的概念

在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。

T

用0表示，且：

2.时间膨胀

心tXC

在S系看来：

0,称为时间膨胀。

3.讨论

（i）时间膨胀效应具有相对性。

若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为

At（称为原时），则同理有

（2）当vvvc时，有’tt

（3）实验已证实

卩子，n介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。

例i：

在惯性系S中，有两个事件同时发生，在XX轴上相距

3

i.0i0m处，从另一惯性系S中观察到这两个事件相距

3

2.0i0m。

问由s'系测得此两事件的时间间隔为多少？

例2:

半人马星座

a星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3汉10m。

设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座a星之间。

若宇宙飞船的速度为0.999

_s_24.31016一厂0.9993108

c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？

如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？

At解：

以地球上的时钟计算：

8

=2.87109a（a为annual之首字母）；

=t=.

若以飞船上的时钟计算：

（原时），因为

所以得宀t一*t

-vc2二2.87108\1-0.9992

1.28107s二0.4a