高 等 数 学教学大纲.docx

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高等数学教学大纲

高等数学

教学大纲

（数学系计算机专业）

《高等数学》

教学大纲

（计算机专科）

说明

一、目的和要求

1．课程是高等师范学校计算机科学与技术专业的一门基础课，它是学习计算机科学与技术的基础和工具。

基本内容包括：

数学分析、空间解析几何、常微分方程、级数。

通过学习，应使学生掌握高等数学的基本理论、基础知识和基本方法，具有较熟练的计算能力和分析解决实际问题的能力，从而能运用数学工具解决计算机专业学习中的问题，并为学习计算机专业课程打下必要的基础。

2．本课程应把重点放在培养学生正确理解和运用基本概念与基本方法上，注意理论联系实际，力求反映基本概念的实际背景及其应用，着重培养分析问题和解决问题的能力。

3．各章节均需配备一定数量的习题，以加强基本技能的训练。

二、内容选取和实施中应注意的问题

1．教材的选取与课堂讲授要贯彻少而精的原则，着重基本概念、基本理论的讲授和基本技能的培养，不要追求内容的完备和全面。

2．在不影响基本要求的情况下，教师在使用大纲时对本大纲所列的章节的次序和教学时数安排可根据具体情况适当调整。

3．本课程的总学时数为136学时，学时分配如下：

1）函数4学时

2）极限12学时

3）函数的连续性4学时

4）导数与微分14学时

5）导数应用10学时

6）不定积分16学时

7）定积分极其应用16学时

8）常微分方程14学时

9）空间解析几何12学时

10）多元函数微分学12学时

11）重积分6学时

12）曲线积分、曲面积分8学时

13）级数12学时

大纲内容

一、函数（4学时）

（一）目的和要求

1．掌握函数的概念，函数的几种特性，基本初等函数极其图形。

2．理解复合函数、反函数、初等函数的概念。

3．了解双曲函数的定义。

（二）主要内容

1．函数的概念：

函数的定义、函数的各种表示方法、分段函数、函数定义域的确定。

2．函数的几种特性：

单调性、有界性、周期性、奇偶性。

3．复合函数和反函数。

4．初等函数：

基本初等函数、初等函数。

二、极限（12学时）

（一）目的和要求

1．掌握数列极限、函数极限、无穷小量与无穷大量的概念。

2．理解并正确叙述极限的性质：

唯一性，有界性（或局部有界性）

3．掌握极限四则运算法则、极限存在判别法、两个重要极限、无穷小与无穷大的性质，并应用它们熟练地求极限。

4．了解无穷小的比较。

（二）主要内容

1．数列极限的定义及其几何意义。

2．收敛数列的简单性质：

唯一性、有界性、保号性。

3．收敛数列的四则运算。

4．数列收敛的判别法：

两边夹定理、单调有界原理及重要极限

。

5．函数极限概念、左极限、右极限极其与极限的关系。

6．函数极限的性质：

唯一性、局部有界性、保号性。

7．函数极限的四则运算。

8．两边夹定理、函数极限存在判别法及两个重要极限

，

。

9．无穷小量、无穷大量及它们的性质、无穷小量的阶。

附注：

极限这一章是微积分的基础，因而必须把极限思想与极限概念讲清楚。

但由于内容多时间少，建议在讲这一章时，可重点讲数列极限、性质、四则运算，而在讲授函数极限时，只需把函数极限的概念讲清楚，同时指出函数极限的性质、四则运算与数列类同。

极限村子准则及两个重要极限也可采用不证的方法。

三、函数的连续性（4学时）

（一）目的和要求

1．掌握连续、间断的概念。

2．能正确叙述并简单应用闭区间上连续函数的性质。

3．了解初等函数的连续性。

（二）主要内容

1.函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点极其分类。

2.闭区间上连续函数的性质：

有界性、最值性、零点定理、介值定理。

3.连续函数的四则运算，复合函数的连续性及反函数的连续性，基本初等函数及初等函数的连续性。

附注：

在讲授“初等函数连续性”时，应介绍“幂指函数”的概念。

四、导数与微分（12学时）

（一）目的和要求

1．掌握导数与微分的概念，了解导数与微分的几何意义及一阶导数、二阶导数的物理意义。

2．熟练地运用导数基本公式与求导法则求函数的导数。

3．了解一阶微分形式的不变性。

4．会求高阶导数和高阶微分。

5．了解微分在近似计算和误差估计中的应用。

（二）主要内容

1．导数的概念

概念引入实例（切线问题与瞬时速度问题）导数定义，单侧导数，导数的几何意义。

导函数，高阶导数。

2．求导法则

四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，隐函数的导数，参数方程表示的函数的导数，高阶导数。

3．微分

微分概念，可微与可导的关系，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分。

微分在近似计算和误差估计中的应用。

五、中值定理、导数的应用（10学时）

（一）目的和要求

1．掌握中值定理的内容，会用中值定理研究一些恒等式与不等式，判断某些方程根的存在性。

2．熟练地运用洛必达法则求不定式的极限。

3．了解函数的泰勒公式（麦克劳林公式）

4．掌握函数单调性、凹凸性、极值、拐点及其判定方法，了解函数作图的步骤。

5．会求函数的最值，能利用导数处理应用题中的最大、最小、最省等实际问题。

（二）主要内容

1．中值定理

洛尔定理、拉格郎日定理、柯西定理（不证）。

2．洛必达法则

不定式，

型不定式，

，

，

，

，

型不定式。

3．泰勒公式

泰勒定理，皮亚诺余项，拉格郎日余项，麦克劳林公式。

4．导数的应用

单调性、凹凸性、拐点、极值、最大值与最小值、渐近线，函数作图。

六、不定积分（16学时）

（一）目的和要求

1．理解原函数与不定积分的概念。

2．熟练掌握换元积分法与分部积分法。

3．掌握有理函数和三角函数有理式的积分方法。

4．会计算简单无理函数的积分。

（二）主要内容

1．原函数同样不定积分概念，基本积分表线性运算法则。

2．换元积分法、分部积分法。

3．有理函数积分法，三角函数有理式积分，简单无理函数的积分。

附注：

连续函数的原函数存在性在讲授中进行介绍。

七、常微分方程（16学时）

（一）目的和要求

1．理解微分方程中的基本概念：

微分方程、阶、解、通解、特解、初始条件。

2．熟练掌握可分离变量，一阶齐次方程、一阶线性微分方程，贝努里方程。

3．二阶微分方程

的方程。

二阶线性微分方程

的解的结构。

二阶线性常系数齐次与非齐次方程。

欧拉微分方程。

简单的高阶微分方程。

八、定积分极其应用（14学时）

（一）目的和要求

1．理解定积分的概念。

2．了解某些可积函数类。

3．掌握定积分的性质、掌握积分上限函数的性质。

4．熟练应用牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法，分部积分法计算定积分。

5．了解梯形法和抛物线法求定积分的方法。

6．掌握定积分的几何应用。

7．掌握定积分在物理上的某些应用。

8．在应用中逐步掌握“微元法”。

9，掌握无穷积分和无界函数积分收敛和发散的概念，会求收敛的无穷积分和无界函数积分的值。

10．了解无穷积分和无界函数积分的简单性质。

（二）主要内容

1．定积分的概念

概念的引入，函数可积的必要条件，可积函数类。

2．定积分的性质

线性性质，积分区间的可加性，单调性，积分中值定理。

3．微积分学基本定理

积分上限函数及其可导性，牛顿—莱布尼兹公式。

4．定积分的计算

换元积分法，分部积分法。

5．定积分的几何应用

微元法，平面图形的面积，已知截面面积的立体体积，旋转体的体积，平面曲线的弧长与弧微分。

6．定积分的物理应用

重心，转动惯量，变力作功，液体压力。

7．无穷积分

无穷积分及其收敛、发散的概念，性质。

8．无界函数的积分

无界函数的积分及其收敛、发散的概念，性质。

九、空间解析几何（12学时）

（一）目的和要求

1．掌握空间直角坐标系的概念，会求空间两点的距离。

2．理解矢量概念，掌握矢量的各种运算及其规律。

3．熟练地利用矢量的坐标进行计算。

4．掌握两矢量夹角余弦公式及两矢量平行、垂直的充要条件。

5．掌握平面点法式和一般式方程。

6．掌握直线的标准式和一般式方程。

7．了解平面与平面、直线与直线、平面与直线的夹角公式，了解点到平面的距离公式及点到直线的距离公式，了解直线与平面平行、垂直的充要条件。

8．掌握常见二次曲面的方程及图形特点。

（二）主要内容

1．空间直角坐标系

空间直角坐标系，空间两点间的距离。

2．矢量代数

矢量、矢量的加减法、数乘矢量、矢量在轴上的射影、矢量的坐标表示、矢量的数量积、矢量积、混合积、两矢量夹角余弦公式及两矢量平行或垂直的充要条件。

3．平面与直线

平面的点法式方程，截距式方程，点到平面的距离，两平面的互相关系。

直线的参数方程，标准方程，一般方程，两直线的夹角，点到直线的距离，直线与平面的关系。

4．常见的二次曲面

球面、柱面、锥面、旋转曲面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面。

一十、多元函数微分学（12学时）

（一）目的和要求

1．理解多元函数的概念，会求二元函数、三元函数的定义域，理解二元函数极限及连续的概念。

2．掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数的概念及其求法。

了解偏导数的几何意义，了解全微分、偏导数、连续三者之间的关系，了解全微分在近似计算中的应用。

3．了解隐函数存在定理，会求隐函数的导数或偏导数。

4．会求曲面的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。

5．了解二元函数的泰勒公式，会求多元函数的极值和条件极值及某些简单的最值问题。

（二）主要内容

1．偏导数、全微分的概念及偏导数的几何意义，可微条件。

2．复合函数的微分法，隐函数的微分法。

3．高阶偏导数。

4．空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。

5．方向导数。

6．二元函数的极值和条件极值、最值。

十一、重积分（6学时）

（一）目的和要求

1．理解二重积分的概念、性质和几何意义，了解三重积分的概念及物理意义。

2．掌握二重积分的计算方法。

3．会求曲面的面积、物体的质量、重心、转动惯量。

（二）主要内容

1．二重积分的概念

概念的引入、定义、性质。

2．二重积分的计算

在直角坐标系下计算二重积分，在极坐标系下计算二重积分。

3．三重积分的概念及计算

直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下计算三重积分。

4．重积分的应用

曲面面积、质量、中心转动惯量。

十二、曲线积分（8学时）

（一）目的和要求

1．掌握两类曲线积分的概念。

2．了解两类曲线积分的性质。

3．掌握格林公式的内容和某些应用。

4．掌握曲线积分与路径无关的几个充要条件。

5．会计算某些曲线积分。

（二）主要内容]

1．第一型曲线积分的概念与计算。

2．第二型曲线积分的概念与计算及其与第一型曲线积分的关系。

3．格林公式、曲线积分与路径无关的条件。

十三、级数（12学时）

（一）目的和要求

1．理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛等概念，了解收敛级数的性质。

2．能够用正项技术与任意项级数敛散性的判别法判断级数的敛散性。

3．理解函数项级数，幂级数，收敛域等概念。

4．了解和函数的分析性质。

5．会求幂级数的收敛半径与某些幂级数的收敛域。

6．会将某些函数展开成幂级数。

7．了解幂级数在近似计算中的应用。

（二）主要内容

1．函数项级数及其敛散性

级数的概念、级数收敛、发散概念。

收敛级数的基本性质，级数收敛的必要条件。

等比级数，调和级数。

2．正项级数

正项级数的概念，正项级数收敛的充要条件，比较判别法，P—级数，比值判别法。

3．任意项级数

交错级数，莱布尼兹判别法，任意项级数，绝对收敛，条件收敛的概念，绝对收敛判别法。

4．幂级数

函数项级数及幂级数的概念，收敛域，发散域，收敛半径与收敛区间，收敛半径的求法，几个初等函数的幂级数展开式。

计算机专业《高等数学》

考试大纲

一、考试命题要求

1．考试命题范围

考试命题应涵盖教学大纲中规定内容的绝大部分。

课时较多的章节在试卷中所占比例也应适当加大。

2．考试命题难度

考试应重点考察学生对三基的掌握程度。

考试命题应难易适中，其中较易题目约占30℅，中等难度题目约占50℅，难度较大题目约占20℅。

3．考试命题题型

考试命题题型应采用标准化试题和传统题目相结合的方法，建议各种题型所占比例如下：

填空题、判断题、选择题约占40℅，计算题约占35℅。

证明题、综合题约占25℅。

二、各章考试要点

1．函数

函数的概念，函数的几个特性，初等函数。

2．极限数列极限与函数极限的概念与简单性质，极限的四则运算，两个重要极限：

，

。

无穷小，无穷大的概念及其有关定理，无穷小的比较。

3．函数的连续性，函数连续的概念，间断点的分类，初等函数的连续性。

4．导数与微分

导数与微分的概念、几何意义，可导、可微、连续的关系，导数与微分的运算法则，复合函数，反函数，参数方程和隐函数所确定的函数的导数，高阶导数。

5．中值定理及导数的应用

罗尔定理，拉格朗日定理，

的麦克劳林展开式，函数单调性的判别法，函数极值的概念，极值和最值的求法，曲线凹凸的判别法及拐点求法，用洛必达法则求

及

型的不定式极限。

6．不定积分

原函数和不定积分的概念及性质，换元积分法，分部积分法，简单有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，简单无理函数的不定积分。

7．常微分方程

常微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，一阶齐次微分方程，一阶线性微分方程，二阶常系数齐次和非齐次方程。

8．定积分及其应用

定积分的概念及性质，积分上限函数概念及可导性，牛顿—莱布尼兹公式，用换元法和分部积分法计算定积分。

面积，体积，弧长，功，路程，压力，重心，转动惯量。

广义积分收敛和发散的概念，收敛的广义积分的计算判别广义积分的收敛性。

9．矢量代数与空间解析几何

空间两点间的距离，矢量概念及计算（加法、减法、数乘、点积、叉积），两矢量夹角余弦公式及两矢量平行或垂直的条件，平面点法式和一般式方程，直线的标准方程和一般方程，球面，柱面，锥面，旋转曲面，抛物面，单叶双曲面，双叶双曲面。

10．多元函数微分法及其应用

多元函数的概念及其定义域，偏导数的定义及求法，全微分的概念，复合函数的微分法，二元函数的极值概念及其求法，一般简单的实际问题最值的求法。

11．重积分

二重积分的概念及几何意义，在直角坐标系下求二重积分。

12．曲线积分

第一、第二型曲线积分的概念、性质及计算方法，格林公式，平面曲线与路径无关的条件。

13．级数

判别数项级数的敛散性，绝对收敛、条件收敛、幂级数的收敛区间、收敛域、和函数、函数的幂级数展开式。