七年级上册数学同步培优第14讲 相交线与平行线尖子班.docx

七年级上册数学同步培优第14讲 相交线与平行线尖子班.docx

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七年级上册数学同步培优第14讲相交线与平行线尖子班

第14讲相交线与平行线

知识点1相交线

相交线：

两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．常考相交线交点个数的问题．

【典例】

1.平面内观察下列图形：

第一个图2条直线相交，最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交，最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____

【方法总结】

n条相交线交点最多的个数：

（1）发现规律（根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律）,

（2）根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：

1+2+3+4+5+…+（n﹣1）,

（3）求出1+2+3+4+5+…+（n﹣1）和为

，即n条相交线交点最多的个数为

．

一般地：

n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=

个交点，最少有1个交点．

【随堂练习】

1．（2017春•肥城市期中）平面内有不重合的4条直线，请指出这4条直线交点个数的所有情况，并画出相应的草图．

知识点2垂线段最短

1．线段的性质：

两点之间，线段最短．

2．垂线段最短

（1）垂线段：

从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．

（2）垂线段的性质：

垂线段最短．

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

【典例】

1.如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________

【方法总结】

实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择，上述例题应用的理论依据是“垂线段最短”

【随堂练习】

1．（2018•突泉县一模）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）

A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短

C．垂线段最短D．两点确定一条直线

知识点3点到直线的距离

1．点到直线的距离

（1）点到直线的距离：

直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．

【典例】

【题干】下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【方法总结】

点到直线的距离：

直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

注意是垂线段的长度，不是垂线段．

【随堂练习】

1．（2018春•禅城区期末）已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm，则点P到直线MN的距离（　　）

A．等于3cmB．等于2cmC．等于3.5cmD．不大于2cm

2．（2018春•东西湖区期中）若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　）

A．0＜d＜3B．0≤d＜3C．0＜d≤3D．0≤d≤3

知识点4同位角、内错角、同旁内角

1．同位角

同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

2．内错角

内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

3．同旁内角

同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

4．三线八角

三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”

【典例】

1.如图，直线a，b被直线c所截，与∠1是同位角的角是（　　）

【方法总结】

同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．

2.如图中∠1与∠2是内错角的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【方法总结】

内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．

3.如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1和∠2是一对_______

【方法总结】

同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．

4.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？

请把它们全部写出来．

【方法总结】

识别“三线八角”中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：

有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上

【随堂练习】

1．（2018春•无锡期中）如图，按各组角的位置判断，下列结论：

①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

2．（2016秋•商水县期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是____．

3.（2018春•江岸区校级月考）已知：

如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：

一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：

从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：

∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．

路径2：

∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．

试一试：

（1）从起始∠1跳到终点角∠8；

（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？

4．（2017春•邢台县月考）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM=120°，∠EMB=

∠COF．

（1）求∠FOG的度数；

（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；

（3）求∠AMO的度数．

综合集训

1.两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么21条线段最多______个交点

2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使水沟最短，其依据是（　　）

3.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）

4．如图，体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是________．

5.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是　_____cm，点A到BC的距离是______cm，C到AB的距离是______cm．

6.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？

画图表示，并说明设计的理由．

7.作图并写出结论：

如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．

8.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．

（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．

（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．

9.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

10.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？

它们各是什么角？

11.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．

（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．

（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．

（3）∠9还与哪些角成内错角？

（4）图形继续发展变化，图中共有几对同旁内角？