人教新版数学小学四年级上册简单的多项式乘法与速算.docx
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人教新版数学小学四年级上册简单的多项式乘法与速算
人教新版数学小学四年级上册
简单的多项式乘法与速算
多项式乘法的妙用
（一）
两个一位数相乘，可以用乘法口诀来计算。
十几乘十几该怎么算呢？
常规方法是用竖式来计算。
不用竖式也能计算吗？
让我们来探讨下面的问题：
设：
a和b都是一位数
则（10+a）×（10+b）
=102+10a+10b+ab
=10（10+a+b）+ab
式子中（10+a）或（10+b）一定是参与计算的其中一个因数。
用这个因数加上另一个因数的个位数字，再在末尾添一个0（即乘10），最后加上两个个位数字的乘积即为所求。
例1：
13×16
=10×（16+3）+3×6
=190+18
=208
例2：
19×18
=10×（19+8）+9×8
=270+72
=342
引伸一下，我们用上面的方法来计算稍复杂的习题吧。
例3：
12×23（本题a=2b=13）
=10×（23+2）+13×2
=250+26
=276
例4：
24×28
=10×（28+14）+14×18
=420+10×（18+4）+4×8
=420+220+32
=672
例5：
83×12
=10×（83+2）+73×2
=850+146
=996
我们发现a和b的取值并非局限于一位数，可以根据具体情况灵活掌握。
上面的例4还可以这样计算：
24×28
=20×（28+4）+4×8
=640+32
=672
总之我们可以举一反三，把已经掌握的知识逐步拓展，慢慢地扩大其应用范围，这就是所谓的把知识用活。
多项式乘法的妙用
（二）
前面探讨过接近整十的两个数相乘的方法。
其实接近整百、整千、整万……的两个数相乘，也是可以速算的。
下面以接近100的两个数相乘为例来进行讨论：
设a和b是接近100的两个整数。
1、当两个因数都小于100时有：
（100-a）×（100-b）
=1002-100a-100b+ab
=100×（100-a-b）+ab
上式中（100-a）或（100-b）是两个因数中的一个，用这个因数减去100与另一个因数的差，再在末尾添两个0（即乘100）。
然后加上两个因数相对于100的两个补数的乘积ab。
例1：
98×93（这里a=2b=7）
=100×（93-2）+2×7
=9100+14
=9114
例2：
0.99×9.7
=[100×（97-1）+1×3]÷1000
=960.3
例3：
998×987
=1000×（987-2）+2×13
=985026
例4：
996×97（把97扩大10倍得970，最后再把积缩小10倍）
=100×（996-30）+4×3
=96612
2、一个因数小于100，另一个因数大于100时有：
（100-a）×（100+b）
=1002-100a+100b-ab
=100×（100-a+b）-ab
例5：
92×107
=100×（92+7）-8×7（注：
92+7=107-8=99可灵活计算）
=9900-56
=9844
例6：
87×112
=100×（87+12）－13×12
=9900－156
=9744
例7：
89×1.083
=[100×（1083－110）－11×83]÷1000
=[97300－913]÷1000
=96.387
3、当两个因数都大于100时有：
（100+a）×（100+b）
=1002+100a+100b+ab
=100×（100+a+b）+ab
上面的式子是说用一个因数加上另一个因数与100的差，然后乘100，再加上两个因数与100的两个差的乘积。
例8：
102×103（a=2b=3）
=100×（102+3）+2×3
=10500+6
=10506
例9：
114×119（a=14b=19）
=100×（119+14）+10×（19+4）+4×9
=13300+230+36
=13566
例10：
196×187
=100×（196+87）+100×（87－4）+4×13
=28300+8300+52
=36652
例10还可以按照下面的方法计算：
196×187
=200×（187－4）+4×13
=36652
数学知识的灵活较强，多加练习，融会贯通，还是能从中找到很多乐趣的。
多项式乘法的妙用（三）
我们都知道爱因斯坦是世界最著名的物理学家。
只是很少人知道他的速算方法也是一流的。
传说有一次他因病住院，他的朋友去看望。
他请朋友出一道数学题以检验生病期间高烧对大脑的影响。
朋友随口出了一题：
2974×2926=？
爱因斯坦马上回答是8701924。
朋友懵了，恐怕大多数人都会发懵。
他怎么就算得这么快呢？
我们还是从最简单的问题说起吧。
1、同头尾合十。
意思就是两个两位数，它们的十位数字相同，个位数字相加得十。
如24和26、87和83等等。
类似这样的两个两位数相乘是可以速算的。
设两个两位数的十位数字是a，个位数字分别是b和c,且b+c=10
则：
（10a+b）×（10a+c）
=100a2+10ab+10ac+bc
=100a2+10a×（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
=100a×（a+1）+bc
上面的结果说明：
用十位上的数字乘比十位数字多1的数，再在后面添上两个个位数字的乘积就是计算结果。
例1、计算87×8371×79
87×83=100×8×（8+1）+7×3=7221熟练了后可以省略计算过程。
如：
71×79=5609（这里的0起占位的作用）
例2、计算294×296、1885×1815
解：
294×296
=100×29×（29+1）+4×6
=87000+24
=87024
解：
1885×1815（请注意本题是同头尾合百，要乘1002）
=1002×18×（18+1）+85×15
=1002×18×19+15×（100－15）
=3420000+1500－225
=3421275
你找到一点点爱因斯坦的灵感吗？
2、同尾头合十。
如38和78、29和89。
设：
两个两位数的十位数字分别为a和b,个位数字为c,a+b=10
则（10a+c）×（10b+c）
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c×（a+b）+c2
=100ab+100c+c2
=100×（ab+c）+c2
上面的运算结果说明：
同尾头合十的两个两位数相乘，可用两个十位数字的积加上个位数字，再把个位数字的平方写在后面即可。
若个位数字的平方是一位数，要用0占十位。
例3、计算：
38×78
38×78
=100×（3×7+8）+82
=2900+64
=2964
例4、计算：
62×42
62×42
=100×（6×4+2）+22
=2600+4
=2604
3、两个两位数，一个头尾合十，一个头尾相等。
设：
a+b=10
则：
（10a+b）×（10c+c）
=100ac+10ac+10bc+bc
=100ac+10c×（a+b）+bc
=100ac+100c+bc
=100c×（a+1）+bc
例5、82×77
=100×7×（8+1）+2×7
=6314
例6、91×66
=100×6×（9+1）+1×6
=6006
俗话说熟能生巧，请大家在实践中去领会吧！
乘法公式的妙用（四）
对于任意两位数的平方，可以用乘法公式来速算。
1、因为a2-b2=（a+b）（a-b）
所以a2=（a+b）（a-b）+b2
例1、计算
322
492
解：
322=（32+2）（32-2）+22=34×30+4=1024
492=（49+1）（49-1）+12=50×48+1=2401
2、合理运用公式（a
b）2=a2
2ab+b2
例2、计算
（1）722
（2）792（3）1272（4）8732（5）35962
解：
（1）722=（70+2）2=702+2×70×2+22=4900+280+4=5184
（2）792=（80-1）2=802-2×80×1+12=6400-160+1=6241
（3）1272=（130-3）2
=1302-2×130×3+32
=16900-780+9
=16129
（4）8732=（870+3）2
=8702+2×870×3+32
=756900+5220+9
=762129
（5）35962=（100×35）2+2×100×35×96+962
=12250000+672000+9216
=12931216
多项式乘法与速算（五）
有些较复杂的分数运算、较复杂的多位数四则运算，也可以利用多项式乘法原理来速算。
例1、计算（1+
）（
+
－（1+
+
（
）
解：
设
=a
+
=b
原式=（1+a）×b－（1+b）×a
=b+ab－a－ab
=b－a
=
+
－（
）
=
例2、计算387×496－385×498
解：
设a=386b=497
原式=（a＋1）×（b－1）－（a－1）×（b＋1）
=ab+b-a-1-ab+b-a+1
=2×（b-a）
=2×（497-386）
=2×111
=222
例3、比较
（1+
）（
）和
（1+
）（
）的大小。
解：
设a=
b=
则
－
=（1+a）×b－（1+b）×a
=b＋ab－a－b
=b－a
=（
）－（
）
>0
所以
>
结束语：
简算、速算和巧算内容，看似难，实则是有法度可依的。
我一贯主张同学们不要盲目计算，计算也要审题。
用合适的方法去计算才能提高计算能力，养成良好的计算习惯。
最后送大家一句话：
举一反三，学无止境。
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