low=mid+1；
else
high=mid-1；
}
return0;
}
【性能分析】
折半查找过程可用一棵判定树来描述。
判定树中每一结点对应表中一个记录，但结点值不是记录的关键字，而是记录在表中的位置序号。
根结点对应当前区间的中间记录，左子树对应前一子表，右子树对应后一子表。
例：
对于下面有序表进行折半查找的判定树如下：
（05,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92）
查找表中任一元素的过程，即是判定树中从根到该元素结点路径上各结点关键码的比较次数，也即该元素结点在树中的层次数。
对于n个结点的判定树，树高为k，则有k<=┗log2n┛+1。
因此，折半查找在查找成功时，所进行的关键码比较次数至多为┗log2n┛+1。
查找失败时和给定值进行比较的关键字的个数也超不过┗log2n┛+1。
折半查找成功时的平均查找长度为：
折半查找的时间复杂度为O（logn）
优点：
比较次数少，查找速度快，平均性能好。
缺点：
要求待查的表为有序顺序表，插入、删除不方便。
9.2.4索引顺序表的查找（分块查找）
索引顺序表的组织：
首先将列表分成若干个块（子表）。
一般情况下，块的长度均匀，最后一块可以不满。
每块中元素任意排列，即块内无序，但块与块之间有序。
构造一个索引表。
其中每个索引项对应一个块并记录每块的起始位置，和每块中的最大关键字（或最小关键字）。
索引表按关键字有序排列。
例：
下图为一个索引顺序表
分块查找的基本过程为：
1）首先，将待查关键字K与索引表中的关键字进行比较，以确定待查记录所在的块。
具体的可用顺序查找法或折半查找法进行。
2）进一步用顺序查找法，在相应块内查找关键字为K的元素。
分块查找的平均查找长度由两部分组成：
即查找索引表时的平均查找长度为LB，以及在相应块内进行顺序查找的平均查找长度LW。
ASLbs=LB+LW
假定将长度为n的表分成b块，且每块含s个元素，则b=n/s。
又假定表中每个元素的查找概率相等，则每个索引项的查找概率为1/b，块
中每个元素的查找概率为1/s。
若用顺序查找法确定待查元素所在的块，则有：
若用顺序查找法确定待查元素所在的块，则有：
当s=
时，ASLbs取最小值
+1。
若用顺序查找法确定待查元素所在的块，则有：
ASLbs=LB+LW=log2（b+1）/2-1+（s+1）/2
≈log2（n/s+1）+s/2
9.3.1二叉排序树
1.二叉排序树定义
二叉排序树（BinarySortTree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（3）左右子树也都是二叉排序树。
二叉排序树又称为二叉查找树。
由定义可知，对二叉排序树进行中序遍历，可得到一个按关键码递增有序的序列。
例：
下面的树不是二叉排序树
2.二叉排序树上的查找
从其定义可见，二叉排序树的查找过程为：
①若查找树为空，查找失败。
②查找树非空，将给定值kx与查找树的根结点关键码比较。
③若相等，查找成功，结束查找过程，否则，
a．当kx小于根结点关键码，查找将在左子树上继续进行，转①
b．当kx大于根结点关键码，查找将在右树上继续进行，转①
例：
在下面的二叉排序树中查找关键字等于100、40的记录。
二叉排序树（查找表）的类型定义：
typedefintKeyType;//设关键字的类型可直接进行比较
typedefstruct node{
KeyType key;/*关键字的值*/
……/*其它字段的值*/
structnode *lchild,*rchild;/*左右指针*/
}BitNode,*BiTree;
递归算法：
BiTreeSearchBST（BiTreeT,KeyTypekey）{
if（!
T）||（T->key==key）returnT;/*查找成功*/
elseif（keykey）
returnSearchBST（T->lchild,key）;
else
returnSearchBST（T->rchild,key）;
}
非递归算法：
BiTreeSearchBST（BiTreeT,KeyTypekey）{
p=T;
while（P）{
if（p->key==key）
returnp;/*查找成功*/
elseif（keykey）
p=p->lchild;
else
p=p->rchild;
}
returnNULL;/*查找失败*/
}/*SearchBST*/
3.二叉排序树的插入和生成
二叉排序树中插入一个结点：
设待插入结点的关键码为kx，先在二叉排序树中进行查找，若查找成功，不用插入；查找不成功时，则插入之。
因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。
构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
例：
记录的关键码序列为：
63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造的一棵二叉排序树为：
二叉排序树中插入结点的递归算法：
voidInsertBST（BiTree&T,KeyTypekey）{
if（T==NULL）{
s=（BiTree）malloc（sizeof（BitNode））;
s->key=key;s->lchild=NULL;s->rchild=NULL;T=s;
}
elseif（keykey）
InsertBST（T->lchild,key）;
elseif（key>T->key）
InsertBST（T->rchild,key）;
}
二叉排序树中插入结点的非递归算法：
voidInsertBST（BiTree&T,KeyTypekey）{
p=NULL;q=T;
while（q!
=NULL）{
if（kx==q->key）return;
elseif（kxkey）{p=q;q=q->lchild;}
else{p=q;q=q->rchild;}
}
s=（BiTree）malloc（sizeof（BitNode））;
s->key=key;s->lchild=NULL;s->rchild=NULL;
if（p==NULL）T=s;
elseif（keykey）p-lchild=key;
elsep-rchild=key;
}
创建二叉排序树的算法：
voidCreateBST（BiTree&T）
{T=NULL;
scanf（"%d",&key）;
while（key!
=ENDKEY）/*ENDKEY为自定义常数*/
{
InsertBST（bst,key）;
scanf（"%d",&key）;
}
}
4.二叉排序树的删除
从二叉排序树中删除一个结点，必须保证删除后所得的二叉树仍然满足二叉排序树的性质不变。
删除操作：
首先确定被删除的结点是否在二叉排序树中。
若不在，则不做任何操作；否则，假设要删除的结点为p，结点p的双亲结点为f，并假设结点p是结点f的左孩子（右孩子的情况类似）。
下面分三种情况讨论：
（1）若p为叶结点，则可直接将其删除：
f->lchild=NULL；free（p）；
（2）若p结点只有左子树，或只有右子树，则可将p的左子树或右子树直接改为其双亲结点f的左子树。
即：
f->lchild=p->lchild（或f->lchild=p->rchild）；free（p）；
（3）若p既有左子树，又有右子树，如下图（a），则处理的方法有两种：
方法一：
首先找到p结点在中序序列中的直接前驱s结点，如图（b）所示，然后将p的左子树改为f的左子树，而将p的右子树改为s的右子树：
f->lchild=p->lchild；s->rchild=p->rchild；free（p）；结果如图（c）所示。
方法二：
首先找到p结点在中序序列中的直接前驱s结点，如图（b）所示，然后用s结点的值，替代p结点的值，再将s结点删除。
即：
原s结点的左子树改为s的双亲结点q的右子树：
p->data=s->data；q->rchild=s->lchild；free（s）；结果如图（d）所示。
例：
从下图（a）的二叉排序树中依次删除11、13、插入13、删除5、删除9，画出每步操作后的二叉排序树。
5.二叉排序树的查找分析
在二叉排序树上的查找和折半查找类似，恰是走了一条从根到该结点的路径，和给定值比较的关键字个数不超过树的深度。
含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关，而树的形态和初始序列有关。
二叉排序树的各分支越均衡，树的深度浅，其平均查找长度ASL越小。
因此，二叉排序树查找的最好时间复杂度为O（log2n），最坏的时间复杂度为O（n），一般情形下，其时间复杂度大致可看成O（log2n），比顺序查找效率要好，但比二分查找要差。
9.3.2平衡二叉树
1.问题的提出
为使二叉排序树的检索效率最高，就要使二叉排序树在插入和删除后仍能维持好的形态。
2.平衡二叉树的概念
平衡二叉树（balancedbinarytree）是由阿德尔森一维尔斯和兰迪斯（Adelson-VelskiiandLandis）于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。
一棵平衡二叉树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：
（1）左子树与右子树高度之差的绝对值小于等于1；
（2）左子树和右子树也是平衡二叉排序树。
平衡因子BF（BalanceFactor）：
结点的左子树深度与右子树深度之差。
3.非平衡二叉树的平衡处理
处理的原则:
对失去平衡的最小子树（最小不平衡子树）进行平衡化处理，使其变为平衡。
设与插入结点最近、且平衡因子的绝对值超过1的祖先结点为A，则以A为根结点的子树称为最小不平衡子树。
处理的方法：
分四种情况处理：
（1）LL型的处理（左左型）
条件：
A的左孩子的左子树上插入结点后，导致失衡。
调整方法：
（单右旋）。
即以B为轴，对A做一次顺时针旋转。
A成为B的右子树，而原来B的右子树则变成A的左子树。
（2）RR型的处理
条件：
A的右孩子的右子树上插入结点后，导致失衡。
调整方法：
（单左旋）。
即以B为轴，对A做一次逆时针旋转。
A成为B的左子树，而原来B的左子树则变成A的右子树。
（3）LR型的处理
条件：
A的左孩子的右子树上插入结点后，导致失衡。
调整方法：
（先左旋后右旋）。
即先以C为轴，对B做一次左旋，然后以C为轴，对A做一次右旋。
（4）RL型的处理
条件：
A的右孩子的左子树上插入结点后，导致失衡。
调整方法：
（先右旋后左旋）。
即先以C为轴，对B做一次右旋，然后以C为轴，对A做一次左旋。
实例：
例1：
给定关键字序列（13,24,37,90,53），构造AVL树。
例2：
给定关键字序列（5,3,4,7,6,8,2,1），构造AVL树。
为什么当平衡的二叉排序树因插入结点而失去平衡时，仅需对最小平衡子树进行平衡化处理即可？
由于平衡化处理后，以B或C为的新子树为平衡二叉树，且它的深度与插入之前以A为根的子树相同，因而不影响插入路径上的所有祖先结点的平衡度。
4.平衡二叉树查找的分析。
平衡二叉树本身就是一棵二叉排序树，故它的查找与二叉排序树完全相同。
时间复杂度为O（logn）。
9.3.3B-树和B+树
1.问题的提出
2.B-树的定义。
B-树（B树）是一种平衡的多路查找树。
一棵m阶的B-树，或是空树，或是满足以下条件的m叉树：
（1）树中每个结点至多有m棵子树；
（2）若根结点不是叶子结点，则至少有二棵子树；
（3）除根结点外的所有非终端结点至少有┌m/2┐棵子树；
（4）所有结点包含信息（n,A0,K1,A1,…Kn,An）其中Ki为关键字且有序，Ai为指向子树根结点的指针，Ai所指子树中所有结点的关键字均小于Ki+1,An所指子树中所有结点的关键字均大于Kn；
（5）所有叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（为空）。
3.B-树的查找及分析。
例：
在图9.14中查找47和23的过程。
性能分析:
在B-树是进行查找包含两种基本操作：
（1）在B-树中找结点：
通常在磁盘上进行；
（2）在结点中找关键字：
在内存中进行。
因此在磁盘上进行查找的次数（即待查关键字所在结点在B-树是的层次数），是决定B-树查找效率的关键因素。
含n个关键字的m阶B-树的最大深度为logm/2（（n+1）/2）+1
最坏的情况：
O（logm/2n）
4.B-树的插入。
深度为h的m阶B树，首先检索到第h层，确定插入结点位置。
（1）若被插入结点中关键码个数小于m-1，则插入。
（2）若被插入结点中关键码个数等于m-1，则引起
结点“分裂”。
例：
在下面的3阶B-树中依次插入30、26、85和7。
5.B-树的删除。
1）在最下层结点中删除一个关键字
⏹当结点中的关键字数大于m/2-1时，可直接删除（关键字Ki和Ai）。
⏹当结点中关键字数等于m/2-1时，如果其右（左）兄弟中关键字数目大于m/2-1，则需将其兄弟结点中的最小（或最大）关键字上移至双亲结点中，而将其双亲结点中大于（或小于）且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在的结点中。
⏹当最下层待
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