212指数函数及其性质3.docx
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212指数函数及其性质3
第3课时指数函数及其性质（3）
导入新课
思路1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的图象之间的关系,由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对y=ax与y=ax+m（a>0,m∈R）有着怎样的关系呢?
在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?
这是我们本堂课研究的内容.教师点出课题:
指数函数及其性质（3）.
思路2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解决的问题——指数函数及其性质（3）.
推进新课
新知探究
提出问题
（1）指数函数有哪些性质?
（2）利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?
（3）对复合函数,如何证明函数的单调性?
（4）如何判断函数的奇偶性,有哪些方法?
活动：
教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容.
讨论结果：
（1）指数函数的图象和性质
一般地,指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a>1
0图象
图象特征
图象特征图象分布在一、二象限,与y轴相交,落在x轴的上方
都过点（0,1）
第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向右图象逐渐上升
从左向右图象逐渐下降
性质
（1）定义域：
R
（2）值域：
（0,+∞）
（3）过定点（0,1）,即x=0时,y=1
（4）x>0时,y>1;x<0时,0（4）x>0时,01
（5）在R上是增函数
（5）在R上是减函数
（2）依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形.即求f（x2）－f（x1）,通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
③定号.根据给定的区间和x2－x1的符号确定f（x2）－f（x1）的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.
④判断.根据单调性定义作出结论.
（3）对于复合函数y=f（g（x））可以总结为:
当函数f（x）和g（x）的单调性相同时,复合函数y=f（g（x））是增函数;
当函数f（x）和g（x）的单调性相异即不同时,复合函数y=f（g（x））是减函数;
又简称为口诀“同增异减”.
（4）判断函数的奇偶性:
一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子f（x）与f（-x）的关系,最后确定函数的奇偶性;
二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或y轴对称,则函数具有奇偶性.
应用示例
思路1
例1在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.
（1）y=2x+1与y=2x+2;
（2）y=2x-1与y=2x-2.
活动：
教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是（0,1）点,或用计算机作图.
解：
（1）列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x+1
0.25
0.5
1
2
4
8
16
2x+2
0.5
1
2
4
8
16
32
图2-1-2-12
比较可知函数y=2x+1、y=2x+2与y=2x的图象的关系为：
将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x+2的图象.
（2）列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x-1
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
2x-2
0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
图2-1-2-13
比较可知函数y=2x-1、y=2x-2与y=2x的图象的关系为：
将指数函数y=2x的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=2x-1的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2x-2的图象.
点评：
类似地,我们得到y=ax与y=ax+m（a>0,a≠1,m∈R）之间的关系:
y=ax+m（a>0,m∈R）的图象可以由y=ax的图象变化而来.
当m>0时,y=ax的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象;
当m<0时,y=ax的图象向右移动|m|个单位得到y=ax+m的图象.
上述规律也简称为“左加右减”.
变式训练
为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象（）
A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
答案：
B
点评：
对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.
例2已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的t∈R,不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）<0恒成立,求k的取值范围.
活动：
学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果有困难,教师可以提示,
（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f（0）=0,f（-1）=-f
（1）,
（2）在
（1）的基础上求出f（x）,转化为关于k的不等式,利用恒成立问题再转化.
（1）解：
因为f（x）是奇函数,
所以f（0）=0,即=0b=1,
所以f（x）=;
又由f
（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：
由
（1）知f（x）==+,易知f（x）在（-∞,+∞）上为减函数.
又因f（x）是奇函数,从而不等式：
f（t2-2t）+f（2t2-k）<0,
等价于f（t2-2t）<-f（2t2-k）=f（k-2t2）,因f（x）为减函数,由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0,
∴k<.
解法二：
由
（1）知f（x）=.
又由题设条件得<0,
即<0.
整理得>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,
上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,即k<-.
点评：
记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若f（x）为增（减）函数,则为减（增）函数.
思路2
例1
设a>0,f（x）=在R上满足f（-x）=f（x）.
（1）求a的值;
（2）证明f（x）在（0,+∞）上是增函数.
活动：
学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导.
（1）求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用f（-x）=f（x）可建立方程.
（2）证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式.
（1）解：
依题意,对一切x∈R有f（-x）=f（x）成立,即+aex=.
所以=0对一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.
又因为a>0,所以a=1.
（2）证明:
设0f（x1）-f（x2）===·.
由x1>0,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,
所以f（x1）-f（x2）<0,即f（x）在（0,+∞）上是增函数.
点评：
在已知等式f（-x）=f（x）成立的条件下,对应系数相等,求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观.
例2已知函数f（x）=3x,且x=a+2时,f（x）=18,g（x）=3的定义域为［0,1］.
（1）求g（x）的解析式;
（2）求g（x）的单调区间,确定其增减性并试用定义证明;
（3）求g（x）的值域.
解：
（1）因为f（x）=3x,且x=a+2时f（x）=18,
所以f（a+2）=3a+2=18.所以3a=2.
所以g（x）=3ax-4x=（3a）x-4x.
所以g（x）=2x-4x.
（2）因为函数g（x）的定义域为［0,1］,令t=2x,因为x∈［0,1］时,函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,
所以t∈［1,2］,则g（t）=t-t2=-（t2-t）=-（t-）2+,t∈［1,2］.
因为函数t=2x在区间［0,1］上单调递增,函数g（t）=t-t2在t∈［1,2］上单调递减,
所以函数g（x）在区间［0,1］上单调递减.
证明:
设x1和x2是区间［0,1］上任意两个值,且x1g（x2）-g（x1）===,
因为0≤x1≤x2≤1,
所以,且1≤<2,1<≤2.
所以2<<4.
所以-3<1-<-1,可知<0.
所以g（x2）所以函数g（x）在区间［0,1］上单调递减.
（3）因为函数g（x）在区间［0,1］上单调递减,
所以x∈［0,1］时,有g
（1）≤g（x）因为g
（1）=21-41=-2,g（0）=20-40=0,
所以-2≤g（x）≤0.
故函数g（x）的值域为［-2,0］.
点评：
此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.
知能训练
求函数y=（）|1+2x|+|x-2|的单调区间.
活动：
教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小,分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.
解：
由题意可知2与是区间的分界点.
当x<时,因为y=（）-1-2x-x+2=（）1-3x=23x-1=8x,
所以此时函数为增函数.
当≤x<2时,因为y=（）1+2x-x+2=（）3+x=2-3-x=（）x,
所以此时函数为减函数.
当x≥2时,因为y=（）1+2x+x-2=（）3x-1=21-3x=2（）x,
所以此时函数为减函数.
当x1∈［,2）,x2∈［2,+∞）时,因为2（）x2-（）x1=
=,
又因为1-3x2-（-3-x1）=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以1-3x2<-3-x1,
即2（）x2<（）x1.
所以此时函数为减函数.
综上所述,函数f（x）在（-∞,］上单调递增,在［,+∞）上单调递减.
拓展提升
设m<1,f（x）=,若0（1）f（a）+f（1-a）的值;
（2）的值.
活动：
学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第
（2）问要用到第
（1）问的结果,联系函数的知识解决.
解：
（1）f（a）+f（1-a）===
===1.
（2）
=［
=500×1=500.
点评：
第
（2）问是第
（1）问的继续,第
（1）问是第
（2）问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系.
课堂小结
本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了学习,要高度重视,在不断学习中升华提高.
作业
课本P59习题2.1A组5.
设计感想
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数,判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们找到解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,因此涉及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务.
习题详解
（课本54页练习）
1.a=,a=,a=,a=.
2.
（1）=x,
（2）=（a+b）,（3）=（m-n）,
（4）=（m-n）2,（5）=p3q,（6）=m=m.
3.
（1）（）=［（）2］=（）3=;
（2）2××=2×3×（）×（3×22）=2×3=2×3=6;
（3）aaa=a=a;
（4）2x（x-2x）=x-4x=1-4x-1=1.
（课本58页练习）
1.如图
图2-1-2-14
2.
（1）要使函数有意义,需x-2≥0,即x≥2,所以函数y=3的定义域为｛x|x≥2｝;
（2）要使函数有意义,需x≠0,即函数y=（）的定义域是｛x∣x≠0｝.
3.y=2x（x∈N*）
（课本第59页习题2.1）
A组
1.
（1）100;
（2）-0.1;（3）4-π;（4）x-y.
2解：
（1）===a0b0=1.
（2）===a.
（3）===m0=1.
点评：
遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.
3.解：
对于
（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.
答案：
1.7100;
对于
（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可.
答案：
2.8810;
对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.
答案：
4.7288;
对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.
答案：
8.8250.
4.解：
（1）aaa=a=a;
（2）aa÷a=a=a;
（3）（xy）12==x4y-9;
（4）4ab÷（ab）=（×4）=-6ab0=-6a;
（5）===;
（6）（-2xy）（3xy）（-4xy）=［-2×3×（-4）］x=24y;
（7）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）2-（3y）2=4x-9y;
（8）4x（-3xy）÷（-6xy）==2xy.
点评：
进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
5.
（1）要使函数有意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=23-x的定义域为R.
（2）要使函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=32x+1的定义域为R.
（3）要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=（）5x的定义域为R.
（4）要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}.
点评：
求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.
6.解：
设经过x年的产量为y,一年内的产量是a（1+）,两年内产量是a（1+）2,…,x年内的产量是a（1+）x,则y=a（1+）x（x∈N*,x≤m）.
点评：
根据实际问题,归纳是关键,注意x的取值范围.
7.
（1）30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y=3x,当x=0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
（2）0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
（3）1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
（4）0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.
（1）2m,2n可以看成函数y=2x,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2x在R上是增函数.因为2m<2n,所以m（2）0.2m,0.2n可以看成函数y=0.2x,当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函数y=0.2x在R上是减函数.因为0.2m<0.2n,所以m>n.
（3）am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为0n.
（4）am,an可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为am>an,所以m>n.
点评：
利用指数函数的单调性是解题的关键.
9.
（1）死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=（）.
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=（）=（）9≈0.002.
答:
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
（2）设大约经过t万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么（）<0.001,解得t>5.7.
答:
大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.
B组
1.当0＜a＜1时,
a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;
当a＞1时,
a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.
综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；
当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:
像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
解：
（1）设y=x+x,
那么y2=（x+x）2=x+x-1+2.
由于x+x-1=3,所以y=.
（2）设y=x2+x-2,
那么y=（x+x-1）2-2.
由于x+x-1=3,
所以y=7.
（3）设y=x2-x-2,
那么y=（x+x-1）（x-x-1）,
而（x-x-1）2=x2-2+x-2=,
所以y=±3.
点评：
整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.
3.解：
已知本金为a元.
1期后的本利和为y1=a+a×r=a（1+r）,
2期后的本利和为y2=a（1+r）+a（1+r）×r=a（1+r）2,
3期后的本利和为y3=a（1+r）3,
…
x期后的本利和为y=a（1+r）x.
将a=1000,r=0.0225,x=5代入上式得
y=a（1+r）x=1000×（1+0.0225）5=1000×1.02255≈1118.
答:
本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a（1+r）x,5期后的本利和约为1118元.
4.解：
（1）因为y1=y2,所以a3x+1=a-2x.
所以3x+1=-2x.
所以x=.
（2）因为y1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以当a>1时,3x+1>-2x.
所以x>.
所以当0（设计者：
刘玉亭）
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